# Digitale Signalverarbeitung
## Übung 09.11.2022
Gruppe 45
David Fankhauser - k12108700
Peter Kartaschov - k0556713
### Aufgabe 1.)

#### a.)
- **LTI-System** = Linear time invariant system
- **linear**
- f(a*x+b*y) = a\*f(x) +b\*f(y)
- Eine Funktion ist linear, wenn die Funktion, angewendet auf ein Eingangs-Signal x+y (die beiden x und y mit a und b gewichtet) das gleiche Ausgangs-Signal ergibt wie die selbe Funktion, angewendet auf x plus die selbe Funktion, angewendet auf y (das Ergebnis dieser Funktionsanwendungen jeweils wiederum mit a und b gewichtet)
- **time invariant**
- Zeitinvariant ist ein System, bei dem es keine Rolle spielt, ob man bei einem Eingangssignal x zB auf (x+5Sekunden) verschiebt und das in die Funktion einsetzt, also f(x(t+5s)), oder ob man x einsetzt, und danach um die 5 Sekunden verschiebt, also f(x(t)) ausrechnet, und dann f(x(t))+5s ansieht.

#### b.)
- I:
$$ y(t) = |x(t)|² $$
- **Linearität:**
Linear ist die gegebene Gleichung, wenn YI und YII gleich sind.
YI: $$ f \{ax_1(t)+bx_2(t)\} = |ax_1(t)+bx_2(t)|² $$ Nachdem später quadriert wird, sind die Betragsstriche irrelevant;
$$ YI: a²x_1²(t) +2*a*b*x_1²(t)*x_2²(t) + b²x_2²(t) $$
YII: $$ af\{x1(t)\}+bf\{x2(t)\} $$

$$ YII: a*x_1²(t) + b*x_2²(t) $$
Die beiden Ergebnisse (von YI und YII) sind nicht gleich, was uns beweist, dass y(t) = |x(t)|² nicht linear ist.

- **Zeitinvarianz**: $$ y(t) = f (x(t)) \rightarrow y(t-D) = f(x(t-D)) $$
YI: $$ f(x(t-D)) = |x(t-D)|² $$
YII: $$ y(t-D) = |x(t)|² \ \text{ zum Zeitpunkt t-D }$$
Weil die Gleichung abgesehen von x keine Variablen in Bezug auf t aufweist, sind die beiden Gleichungen YI und YII gleich, und damit die Funktion zeitinvariant.

- II:
$$y(t) = \int_{-inf}^t x(\tau)d\tau$$
- **Linearität:**
YI: $$ f \{ax_1(t)+bx_2(t)\} = \int_{-inf}^t a*x_1(\tau)+b*x_2(\tau) d\tau $$
YII:
$$ af\{x1(t)\}+bf\{x2(t)\} = a*\int_{-inf}^t x_1(\tau) d\tau + b*\int_{-inf}^t x_2(\tau) d\tau \\
= \int_{-inf}^t a*x_1(\tau) d\tau + \int_{-inf}^t b*x_2(\tau) d\tau \ \text{(Faktorregel)} \\
= \int_{-inf}^t a*x_1(\tau)+b*x_2(\tau) d\tau \ \text{(Summenregel)} $$
Weil die Grenzen der beiden Integrale gleich sind, dürfen Integral(a) + Integral(b) zu Integral(a+b) zusammengefasst werden; Dann sind YI und YII gleich, daher die Linearität gegeben.

- **Zeitinvarianz**
$$ y(t) = f (x(t)) \rightarrow y(t-D) = f(x(t-D)) $$

YI: $$ \int_{-inf}^t x(\tau - T)d\tau $$
$$ \int_{-inf}^t x(\tau - T)d\tau = \int_{-inf}^{t-T} x(\tau - T)d\tau + \int_{t-T}^t x(\tau - T)d\tau $$
Auseinanderziehen des Integrals int(a-b) zu int (a-x) und int(x-b)

YII: $$ \int_{-inf}^{t-T} x(\tau)d\tau $$

Aus YI und YII sieht man das diese Funktion definitiv nicht zeitinvariant sein kann.

- III:
$$ y(t) = \cos{(\omega_ct)} * x(t) $$
- **Linearität:**
YI: $$ f \{ax_1(t)+bx_2(t)\} = \cos{(\omega_ct)} * (ax_1(t)+bx_2(t)) \\
= \cos{(\omega_ct)} * ax_1(t) + \cos{(\omega_ct)} * bx_2(t) \\ \text{(Kommutativgesetz)} $$

YII: $$ af\{x_1(t)\}+bf\{x_2(t)\} = \cos{(\omega_ct)} * ax_1(t) + \cos{(\omega_ct)} * bx_2(t) $$

- **Zeitinvarianz**

YI: $$ f(x(t-T)) = \cos{(\omega_ct)} * x(t - T) $$
YII: $$ y(t-T) = \cos{(\omega_ct-T)} * x(t - T) $$

Aus YI und YII kann man klar erkennen: cos(omega_ct-T) entspricht cos(omega_ct) genau dann, wenn T einer Periodenlänge entspricht - in jedem anderen Fall ergibt sich hier ein anderer Wert, daher ist die Funktion zeitabhängig (nicht zeitinvariant)

#### c.)

<img src="https://i.imgur.com/Bard0M0.jpg" alt="drawing" width="300"/>

### Aufgabe 2.)
$$ x[n] = \cos(\pi * \frac{12}{14}*n) $$
#### a.)
abgetastetes Signal: $$ x[n] = sin(2\pi*\frac{f_0}{f_s}*n) = sin(\pi*\frac{2*f_0}{f_s}*n)$$
Unser f_s ist 500Hz; wir lösen die Gleichung nach f_0
$$ \frac{12}{14} =\frac{2*f_0}{500} \Rightarrow \frac{1500}{7} = (ein mögliches) f_0$$

ein anderes möglichs f_0 ist 5000/7 (um 500 = 3500/7 verschoben), denn:

$$ sin(\pi* \frac{2*\frac{1500}{7}+500*m}{500}*n)$$

#### b.)

Ja sie is periodisch, für x[n] gilt wegen dem cosinus $$ \cos(0) = \cos(2\pi) = cos(4\pi) \Rightarrow \\
2\pi = \pi* \frac{12}{14}*n \Leftrightarrow 2 = \frac{12}{14}*n \Leftrightarrow \frac{28}{12} = n \Leftrightarrow \frac{7}{3} = n$$
Die kleinste positive Periode (= Fundamentalperiode) ist bei n= 7/3

### Aufgabe 3.)

#### a.)


#### b.)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

f1 = 5000
f2 = 7000
fs = 12000

def x1(t):
    return np.sin(2 * np.pi * f1 * t)
def x2(t):
    return np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
def x(t):
    return x1(t) + x2(t)

t =  np.arange(0.0, (1/f1) * 3, (1/(f1*100)))
t1 =  np.arange(0.0, (1/f1) * 3, 1/fs)

plt.plot(t, x(t), '-', label="x(t)")
plt.plot(t, x1(t), '--', label="x1(t)")
plt.plot(t, x2(t), '--', label="x2(t)")
plt.plot(t1, x(t1), 'o', label="x[n]")
plt.grid(True)
plt.title('DSV')
plt.legend()
plt.show()


### Aufgabe 4.)

#### a.)

#### b.)
<img src="https://i.imgur.com/QhzMZkl.jpg" alt="drawing" width="500"/>