# 基礎樂理延伸閱讀、音樂與數學
國中物理學過，聲音是一種波，藉由空氣傳遞。

波函數的解（分離變數法）、達朗貝爾

頻譜

泛音
例子：吹瓶子、撥弦（橡皮筋）

音律
等價八度
五度相生、三分損益
狼五度：有些和弦不能用
五聲音階、大調音階為何是 5 或 7 個音？有限體，很多口訣都是把每個元素當作是生成元而得來的，事實上，如果群可以做分解，那就可以用多個生成元來產生這個體的所有音。
能不能轉調？
十二平均律
人耳的接受程度、辨識範圍（可以辨認的頻率比，最小可覺差，大約五音分，1.003倍，約 240 平均律，n < 1200 / 音分，一般人至少可以到 25 音分，約50個音，記 50~250 等分就好）
有一些存在的東西，因為生理心理因素、計算能力限制（無法到無窮），所以無法被觀測或是感知或是接觸到。我們要討論的範圍就是可以被感知、計算的範圍，在這個範圍裡面討論什麼才是最好聽的。
協和 = 泛音部份重疊越多，與連分數連結？
連分數
連分數與質因數分解的關係、用整數質因數分解來排序協和度

### 音程與大調音階
如何熟悉音程？
要推算兩個音的音程首先要熟悉十二個大調音階（下面有記憶方法）。
因為大調音階雖然調移來移去，但音程間的關係是不變的！

音程的推算其實就像是半音的「加法表」，相加後取除以 12 的餘數。
如果我們把半音標成 0 ~ 11，就會發現跟時鐘的「小時」的計算一樣，
12 小時後又回到 0（像是時鐘上 7 + 6 = 13 小時 會在 1 點的位置）。

以下是用半音來推算音階（如果不想知道原理可以跳過不看，直接看大調音階）。

加法表（凱萊表 Cayley table，參考用）：
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 6 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 7 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 8 | 8 | 9 | 10 | 11 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 9 | 9 | 10 | 11 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 10 | 10 | 11 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 11 | 11 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

如果只取十二個大調的音階來看（其他就用升降去推算，參考用）：

 0+0=0   0+2=2   0+4=4   0+5=5   0+7=7   0+9=9   0+11=11
 1+0=1   1+2=3   1+4=5   1+5=6   1+7=8   1+9=10  1+11=0
 2+0=2   2+2=4   2+4=6   2+5=7   2+7=9   2+9=11  2+11=1
 3+0=3   3+2=5   3+4=7   3+5=8   3+7=10  3+9=0   3+11=2
 4+0=4   4+2=6   4+4=8   4+5=9   4+7=11  4+9=1   4+11=3
 5+0=5   5+2=7   5+4=9   5+5=10  5+7=0   5+9=2   5+11=4
 6+0=6   6+2=8   6+4=10  6+5=11  6+7=1   6+9=3   6+11=5
 7+0=7   7+2=9   7+4=11  7+5=0   7+7=2   7+9=4   7+11=6
 8+0=8   8+2=10  8+4=0   8+5=1   8+7=3   8+9=5   8+11=7
 9+0=9   9+2=11  9+4=1   9+5=2   9+7=4   9+9=6   9+11=8
10+0=10 10+2=0  10+4=2  10+5=3  10+7=5  10+9=7  10+11=9
11+0=11 11+2=1  11+4=3  11+5=4  11+7=6  11+9=8  11+11=10

大調音階（很重要！）：
| 大調（key） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|:-|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
| C 大調 | C | D | E | F | G | A | B |
| D♭ 大調 | D♭ | E♭ | F | G♭ | A♭ | B♭ | C |
| D 大調 | D | E | F♯ | G | A | B | C♯ |
| E♭ 大調 | E♭ | F | G | A♭ | B♭ | C | D |
| E 大調 | E | F♯ | G♯ | A | B | C♯ | D♯ |
| F 大調 | F | G | A | B♭ | C | D | E |
| G♭ 大調 | G♭ | A♭ | B♭ | B | D♭ | E♭ | F |
| G 大調 | G | A | B | C | D | E | F♯ |
| A♭ 大調 | A♭ | B♭ | C | D♭ | E♭ | F | G |
| A 大調 | A | B | C♯ | D | E | F♯ | G♯ |
| B♭ 大調 | B♭ | C | D | E♭ | F | G | A |
| B 大調 | B | C♯ | D♯ | E | F♯ | G♯ | A♯ |

升記號口訣：Fa Do So Re La Mi Ti
降記號口訣：Ti Mi La Re So Do Fa
有幾個升或降記號就背到升或降記號口訣的第幾個

唸法（彈久了之後要很快速的反應）：

| 完全ㄧ度 | 大二度 | 大三度 | 完全四度 | 完全五度 | 大六度 | 大七度 |
|:-|:-|:-|:-|:-|:-|:-|
| C 的 1 是 C | C 的 2 是 D | C 的 3 是 E | C 的 4 是 F | C 的 5 是 G | C 的 6 是 A | C 的 7 是 B |
| D♭ 的 1 是 D♭ | D♭ 的 2 是 E♭ | D♭ 的 3 是 F | D♭ 的 4 是 G♭ | D♭ 的 5 是 A♭ | D♭ 的 6 是 B♭ | D♭ 的 7 是 C |
| D 的 1 是 D | D 的 2 是 E | D 的 3 是 F♯ | D 的 4 是 G | D 的 5 是 A | D 的 6 是 B | D 的 7 是 C♯ |
| E♭ 的 1 是 E♭ | E♭ 的 2 是 F | E♭ 的 3 是 G | E♭ 的 4 是 A♭ | E♭ 的 5 是 B♭ | E♭ 的 6 是 C | E♭ 的 7 是 D |
| E 的 1 是 E | E 的 2 是 F♯ | E 的 3 是 G♯ | E 的 4 是 A | E 的 5 是 B | E 的 6 是 C♯ | E 的 7 是 D♯ |
| F 的 1 是 F | F 的 2 是 G | F 的 3 是 A | F 的 4 是 B♭ | F 的 5 是 C | F 的 6 是 D | F 的 7 是 E |
| G♭ 的 1 是 G♭ | G♭ 的 2 是 A♭ | G♭ 的 3 是 B♭ | G♭ 的 4 是 B | G♭ 的 5 是 D♭ | G♭ 的 6 是 E♭ | G♭ 的 7 是 F |
| G 的 1 是 G | G 的 2 是 A | G 的 3 是 B | G 的 4 是 C | G 的 5 是 D | G 的 6 是 E | G 的 7 是 F♯ |
| A♭ 的 1 是 A♭ | A♭ 的 2 是 B♭ | A♭ 的 3 是 C | A♭ 的 4 是 D♭ | A♭ 的 5 是 E♭ | A♭ 的 6 是 F | A♭ 的 7 是 G |
| A 的 1 是 A | A 的 2 是 B | A 的 3 是 C♯ | A 的 4 是 D | A 的 5 是 E | A 的 6 是 F♯ | A 的 7 是 G♯ |
| B♭ 的 1 是 B♭ | B♭ 的 2 是 C | B♭ 的 3 是 D | B♭ 的 4 是 E♭ | B♭ 的 5 是 F | B♭ 的 6 是 G | B♭ 的 7 是 A |
| B 的 1 是 B | B 的 2 是 C♯ | B 的 3 是 D♯ | B 的 4 是 E | B 的 5 是 F♯ | B 的 6 是 G♯ | B 的 7 是 A♯ |

訣竅：
先決條件：會唱 Do Re Mi Fa So La Ti，
也知道音名分別是 C D E F G A B。
所以看是什麼調，就從什麼音唱起，唱到第幾個音，就看看這個音在這個調要不要升降，這樣就可以得到答案了。

例如：
我要找（或是確認） E 大調的第 6 個音，就唱：
Mi Fa So La Ti Do，並且我們知道（有背）E 大調要升 4 個音，Fa Do So Re，所以 Do 要升，這樣，E 大調的第 6 個音是升 Do，也就是 C♯。

例如：
我要找（或是確認） B♭ 大調的第 4 個音，就唱：
Ti Do Re Mi，並且我們知道（有背）B♭ 大調要降 2 個音，Ti Mi，所以 Mi 要降，這樣，B♭ 大調的第 4 個音是降 Mi，也就是 E♭。

下面有對大調進行分組，同一組的唱法一樣，只差在升降記號，升降記號用背的。

分組：
從 Do 開始唱：C
從 Re 開始唱：D 和 D♭ 一組
從 Mi 開始唱：E 和 E♭ 一組
從 Fa 開始唱：F 和 F♯ 一組（例外：F♯ 第 7 音 F 是 E♯，所以唸法才不一樣）
從 So 開始唱：G 和 G♭ 一組（例外：G♭ 第 4 音 B 是 C♭，所以唸法才不一樣）
從 La 開始唱：A 和 A♭ 一組
從 Ti 開始唱：B 和 B♭ 一組

註：F♯ 與 G♭ 相同，但還是背兩套比較實用
F♯ 大調音階是 F♯ G♯ A♯ B C♯ D♯ F

### 延伸閱讀：動聽的元素
經驗來說，「解決」的多寡是決定音樂動不動聽的主要關鍵！

#### 解決（和聲方面，垂直的）：不穩定回到穩定
不穩定度：等距音程的影響佔兩成，不協和音程的影響佔八成

緊張：存在等距音程（要考慮泛音，可用半音圈分析）
不協和音程：音程頻率比不在簡單的整數比附近，常見的有半音、全音、三全音

例子：減和弦（緊張）、增和弦（緊張）、sus（不協和）、七和弦（不協和）、...

#### 心理學的研究

等距音程聽起來會不穩定的原因是由於大腦認知的錯覺。有趣的是我們視覺上也會有類似的錯覺，像是以下的方塊（奈克方塊），我們可能會有兩種角度的解讀，聲音也是這樣，大腦不知道從什麼角度去解讀等距離的聲音（耳朵裡面的神經會有像琴鍵那樣的架構去接收不同頻率的音），而會產生不穩定的感覺。


下圖是相對於 C 的音程的不協和度（越下面表示越不協和，直線間距為半音）：

#### 半音圈分析
我們把十二個半音等距離畫在圓周上（就像時鐘的樣子），稱之為半音圈。

半音圈：

那麼把和弦的組成音全部畫線連起來，如果看起來有越多「對稱三角形」，則代表聽起來越「緊張」。

越靠近（距離為半音或是全音），或是在對面（距離為三全音），則代表聽起來越「不協和」。

如果兩個音的距離超過八度，影響會小一點，分析的時候由低到高依序取兩個八度之內的音分別來分析，把可能出現的三角形都畫出來，再把這些結果合起來。

下面是一些例子：

大三和弦（沒有對稱三角形）：
增和弦（對稱三角形）：
掛留和弦（不但有全音，也有對稱三角形）：
大七和弦（沒有對稱三角形，但是有半音）：

簡單來說，緊張的感覺和不協和的感覺是要分開來看的，
而「不穩定度 = 緊張 x 20 % + 不協和 x 80 %」。

#### 空間規劃（和聲方面，垂直的）：Voicing（和弦的配置）
如果不協和的音沒有那麼擠（大於一到兩個八度），那麼不協和感就會比較弱
例子：如果音都擠在一起就比較有顆粒感，如果分得很開（四度以上）就有空間感

#### 解決（旋律方面，水平的）：附近音流動
英文稱為 Voice leading，或是聲部旋律線（Inner melody）
使用半音的流動，像是導音 7 → 1、掛留音 4 → 3
旋律（附近音流動）也可以藏在其它非主旋律的聲部當中
例子：
5⁷ 和弦中就含有 7、4 音，所以常被拿來當作回去一級的和弦
旋律的設計也可以多使用半音流動

#### 實務上
使用和弦的代換增加緊張和弦出現頻率
盡量選附近的音彈（除非要做出層次）
層次安排（大小聲、節奏、...）