# CHAPTER 5
[TOC]
## 一、Eigenvalue and Eigenvector
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對於一個給定的線性變換，它的特徵向量 v 經過這個線性變換之後，得到的新向量仍然與原來的v保持在同一條直線上，但其長度也許會改變。

用矩陣表示該問題的話，若 A 為一 n×n 矩陣，在 Rn 中是否存在著非零向量 x，使得 Ax 與 x 之間存在著倍數關係?
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### **Eigenvalue, Eigenvector** : 如下圖之定義與解說。
Eigenspace : 若A為一nxn矩陣，且λ為A的一個特徵值，則對應於λ的所有特徵向量與零向量可構成一個Rn的子空間，稱為特徵空間。

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### Characteristic Polynomial and Characteristic Equation :

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**利用特徵多項式求特徵空間的例題：**


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## 二、矩陣相似性 (Matrix Similarity)

### 1. 相似定義與性質
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- 定義 : 若存在可逆矩陣P使得 P^(-1)^AP=B，我們稱 A 相似於 B。
相似的意義 : 相似就是換底，若以矩陣 M 的行向量作為一組基底向量，線性變換 A 參考此基底的變換矩陣即為 B。相似變換是矩陣之間的一種等價關係。
相似變換下的不變性質，若A~B，則
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- 兩者的秩相等。rank(A) = rank(B)
- 兩者的行列式值相等。det(A) = det(B)
- 兩者的跡數相等。tr(A) = tr(B)
- 兩者nullity相等。nullity(A) = nullity(B)
- 兩者擁有同樣的eigenvalue，儘管相應的eigenvector一般不同。
- 兩者擁有同樣的特徵多項式。Pa(x) = Pb(x)
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### 2. 使用相似性質的原因
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**不變性質產生的原因有兩個：**

1. 兩個相似的矩陣可以看做是同一個線性變換的「兩面」，即在兩個不同的base下的表現。
2. 映射X -> P^(−1)^XP是從n階方陣射到n階方陣的一個置換同構，因為P是可逆的。
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因此，在給定了矩陣A後，只要能找到一個與之相似而又足夠「簡單」的「規範形式」B，那麼對A的研究就可以轉化為對更簡單的矩陣B的研究。比如說A被稱為可對角化的話，那麼它與一個對角矩陣相似。
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### 3. 檢查二矩陣是否相似
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若A和B的特徵值集合不同，則A和B不相似。若A和B的特徵值集合相同，考慮下列三種可能情形：
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當 A 和 B 都是可對角化時，A 相似於 B。
當 A 和 B 恰有一個矩陣是可對角化，A 和 B 不相似。
當 A 和 B 都不為可對角化時，可以透過解方程式一途來確定二矩陣是否相似。要徹底解決如何檢查矩陣是否相似此問題，必須使用Jordan form。
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## 三、可對角化矩陣 (Diagonalizable Matrix)
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一方陣A若存在一可逆矩陣P使得P^(-1)^AP為對角矩陣(P對角化A)，則稱為可對角化矩陣。
可對角化的充要條件 :
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- nxn的矩陣A為可對角化，若且唯若它有n個線性獨立的特徵向量。
P(x)在F中可分解且各個eigenvalue的代數重數 = 幾何重數
代數重數 : eigenvalue之重根個數，稱代數重數，符號記為am(λi)。
幾何重數 : 其所對應之eigenvector的個數，稱幾何重數，符號記為gm(λi)。
am(λi) <= gm(λi)，也就是說代數重數為1時幾何重數也必為1，不必驗證是否相等
當am(λi) = gm(λi) 時，該矩陣可以對角化。
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[補記] 以代數重數幾何重數解是否可對角化題目

可對角化的充分條件 : 若nxn矩陣A有n個不同的特徵值，則對應的特徵向量為線性獨立且A為可對角化矩陣。例題：

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## 四、實對稱矩陣與正交對角化

### 1. 實對稱矩陣
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**定義** : 實對稱矩陣是一個方形矩陣，其元素都為實數，且轉置矩陣和自身相等　(即矩陣各個元素都為實數)，記做 A = A^T^。
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**實對稱矩陣有以下的性質**：

- 實對稱矩陣A的不同特徵值所對應的特徵向量是正交的。
- 實對稱矩陣A的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。
- n階實對稱矩陣A必可對角化。
- 可用正交矩陣對角化。
- K重特徵值必有K個線性無關的特徵向量，或者說必有秩rank(A-λI)=n-k。
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### 2. 對稱矩陣的正交對角化 (orthogonal diagonalization)
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令A為nxn的矩陣
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1. 找出A的特徵值並找出每個特徵值的重數
2. 對於每個重數k=1的特徵值，選出一個單位特徵向量
3. 對於每個重數為k>1的特徵值，找出一組有k個線性獨立的特徵向量集。若這個向量集並非單範正交，利用Gram-Schmidt單範正交過程將之單範正交化
4. 由(2)與(3)的結果產生一組有n個特徵向量的單範正交集。利用這些特徵向量來做為矩陣P的行向量
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