# 2020年8月4日 靜電學與電路
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## 第一階段：隨機抽問
1. （簡答題）請說明庫侖定律的內容。
2. （計算題）下圖是一對點電荷所構成的電偶極（electric dipole），它們的電性一正一負，帶電量均為 $q$，且相距 $d$。圖中用箭頭已經標示出正、負電荷在 $P$ 點形成的電場 $\vec{E}_{(+)}$、$\vec{E}_{(-)}$，請計算 $P$ 點的電場和量值及方向。注意，距離的部分只能使用 $d$ 和 $z$，不能使用 $r_{(+)}$、$r_{(-)}$。
3. （是非題）電荷置於電場中釋放，軌跡就是電力線嗎？為什麼是或為什麼不是？
4. （簡答題）用數學式說明電位與電場的關係。
5. （簡答題）為什麼導體必然是等電位體？導體的電荷分佈是什麼樣子？
6. （簡答題）假設你有一個電池、一些電線、兩個完全相同的燈泡，應該讓燈泡串聯還是並聯，才能使總電功率最大，為什麼？
7. （證明題） $n$ 個電阻器（阻值為 $R_k,\ k=1,2,\ldots,n$）並聯時，證明其等效電阻 $R_\text{eq}$ 滿足 $$\dfrac{1}{R_\text{eq}}=\sum^n_{k=1}\dfrac{1}{R_k}。$$
8. （簡答題）考慮伏特計與安培計的內電阻，當(a)電阻很大時、(b)電阻很小時，畫出同時用伏特計和安培計測量電阻的線路圖，並說明原因。
9. （計算題）在下圖的裝置中，將檢流計與三個電阻器 $R_1$、$R_2$ 及 $R_3$ 連接而成多範圍安培計，使其滿刻度偏轉時的電流分別為 $1$ 安培、$0.1$ 安培及 $0.01$ 安培，試求 $R_1$、$R_2$ 及 $R_3$。
10. （證明題）參考p.89的試題精選7附註討論(1)，證明電場 $E=\dfrac{kQx}{(R^2+x^2)^{3/2}}$。

### 答題狀況
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
| +2 | +2 | +2 | +2 | +1 | +2 | +2 | +1 | +1 | +2 |
## 第二階段：
### 一、補充：電通量與磁通量
對於任何定義良好的向量場，我們都可以定義出它通量（flux），通常用希臘字母 $\Phi$（大寫phi） 為符號。

簡單來說，某種向量場的通量就是「它通過一個表面的量」，用向量微積分的語言來說，向量場 $\mathbf{F}$ 的通量就是它在某個表面 $A$ 上的表面積分 $$\Phi_F=\int_A\mathbf{F}\boldsymbol\cdot \text{d}\mathbf{A}，\tag{1}$$ 其中 $\text{d}\mathbf{A}$ 是微小的向量表面元素，它的方向是表面元素的法向量（可記作 $\mathbf{n}$，但需要特別定義表面兩邊其中一邊是$\mathbf{n}$），量值等於表面元素（可記作 $\text{d}A$）。讓 $\mathbf{F}$ 與 $\text{d}\mathbf{A}$ 做純量積是為了要取 $\mathbf{F}$ 在該處的法向分量，因為只有 $\mathbf{F}$ 的法向分量才算是「通過」了該表面，切向分量只會「擦過」該表面。

通量是純量，因為我們在(1)式中相當是把純量積 $\mathbf{F}\boldsymbol\cdot \text{d}\mathbf{A}$ 加總起來，結果依然是純量。

(1) 式中的 $A$ 也可以是封閉表面，這時通量可以寫成 $$\Phi_F=\oint_A\mathbf{F}\boldsymbol\cdot \text{d}\mathbf{A}，\tag{2}$$ 其中表面元素的法向量 $\mathbf{n}$ 的方向要定義成由表面「內部」指向表面「外部」。積分符號 $\oint$ 中的圓圈代表是對「封閉」的表面積分。

在電磁學中，電場 $\mathbf{E}$ 磁場 $\mathbf{B}$ 都是向量場，所以可以定義**電通量**（electric flux） $\Phi_E$ 與**磁通量** （magnetic flux）$\Phi_B$，分別是 $$\Phi_E=\int_A\mathbf{E}\boldsymbol\cdot \text{d}\mathbf{A}\tag{3}$$ 和 $$\Phi_B=\int_A\mathbf{B}\boldsymbol\cdot \text{d}\mathbf{A}，\tag{4}$$ 它們分別出現在高斯定律和法拉第電磁感應定律之中。

高中介紹的是比較簡單的定義，將表面限定為平面，場為均勻，這樣可以略去積分符號而寫成 $$\Phi_E=\mathbf{E}\boldsymbol\cdot \mathbf{A}\tag{3$'$}$$ 以及 $$\Phi_B=\mathbf{B}\boldsymbol\cdot \mathbf{A}。\tag{4$'$}$$

### 二、高斯定律
> [高斯定律](https://reurl.cc/R4akDZ)（Gauss' law）表明，「穿越出任意閉合曲面的淨電通量 $\Phi_E$」等於「該閉合曲面內的淨電荷 $Q_\text{enc}$」除以「真空中的電容率 $\epsilon_0$」。

用數學式表達，就是 $$\Phi_E=\dfrac{Q_\text{enc}}{\epsilon_0}\tag{5}$$

套用稍早定義的電通量（(3)式），高斯定律可寫成 $$\int_A\mathbf{E}\boldsymbol\cdot \text{d}\mathbf{A}=\dfrac{Q_\text{enc}}{\epsilon_0}\tag{6}$$

該閉合曲面 $A$ 稱為「高斯曲面」（Gaussian surface）。

舉例來說，考慮空間中的一個點電荷 $+Q$，該如何利用高斯定律計算該點電荷周遭的電場量值？我們想像以該點電荷為圓心、以 $R$ 為半徑畫出一個球面（就是這個例子的高斯曲面），基於球對稱性，我們可推測由點電荷 $+Q$ 發出的電力線總是垂直於球面，而且各處表面的電力線密度都是均勻的（也就是各處的電場量值相等，假設為 $E$），因此通過此球面的淨電通量為球的表面積與電場的乘積，即 $\Phi_E=4\pi R^2E$。使用高斯定律，得到 $4\pi R^2E=Q/\epsilon_0$，也就是 $$E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{R}，$$ 但這正好是庫侖定律的結果。因此庫侖定律與高斯定律的推論是一致的。

高斯定律的另外一個例子，是計算無窮大、平面、均勻帶電的非導體薄版所產生的電場。假設薄板上的表面電荷密度為 $\sigma$，我們將可證明薄板兩側的電場量值為 $\epsilon_0/2\sigma$（不論距離薄板多遠）。

我們這裡介紹的是高斯定律的「積分形式」（integral form），因為它涉及一個表面積分。如果我們再應用向量微積分中的「散度定理」（divergence theorem），可以將高斯定律改寫成「微分形式」（differential form） $$\boldsymbol\nabla\boldsymbol\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}，\tag{7}$$ 其中 $\rho$ 是電荷密度，這在敘述上更為簡潔，(7) 式也是馬克士威方程組的其中一條方程式。

### 三、電路學物理量
#### 1. 電流強度（簡稱電流）（符號：++  ++）$\require{color}$
- 定義：
$$\boxed{\color{white}{I=\dfrac{Q}{\Delta t}}}$$
- 單位：
#### 2. 電荷量（簡稱電量）（符號：++  ++）
- 定義：
- 單位：
#### 3. 電壓（符號：++  ++）
- 定義：
- 單位：
- 用於電路中不同場合下的別名
- 電位差
- 電壓降
- 路端電壓
- 電動勢（符號：++  ++）
- 電動勢和內電阻 $r$ 的關係為 ++      ++
#### 4. 電阻（符號：++  ++）
- 定義：
- 意義：一個物體對於 ++    ++ 的阻礙能力
- 電路元件兩端 ++  ++ 及 ++  ++ 之比，即 ++  ++ 定律$$\boxed{\color{white}{R=\dfrac{V}{I}}}$$
- 單位：
#### 5. 電阻率（符號：++  ++）
- 定義：
- 意義：一種材質對於 ++    ++ 的阻礙能力（是材料本身的性質，與 ++  ++ 無關。）
- 對一個單一材質導體，取長度為 $\ell$、截面積為 $A$ 的柱狀樣本，使電流均勻且垂直地通過截面，則電阻率為$$\boxed{\color{white}{\rho=R\dfrac{A}{\ell}}}$$
- 單位：
#### 6. 電能（符號：++  ++）
- 定義：
- 單位
- SI制：
- 其他：++    ++，量度電力常用的單位，即1度電的「度」。
（$1$ 度電 $=$++    ++$\text{ J}$）

#### 7. 電功率（符號：++  ++）
- 定義：
- 在電路中消耗的功率定義為 ++  ++ 及 ++  ++ 的乘積，即$$\boxed{\color{white}{P=IV}}，$$對歐姆元件可套用 ++  ++ 定律，得到$$\boxed{\color{white}{P=\dfrac{V^2}{R}=I^2R}}。$$
- 單位：

### 四、電路學核心概念
#### 1. 模型
* 點電荷：帶有 ++  ++ 的一個 ++  ++ ，不具有 ++  ++ ，是帶電粒子（charged particle）的理想模型。
* 導體（conductor）：能使電流導通的材料。
* 特性：
1. 靜電平衡時，導體內部電場為 ++    ++。
2. 靜電平衡時，導體內部及表面電位 ++    ++。
* 絕緣體（insulator）：難以使電流導通的材料。
#### 2. 電路
* 開路／斷路（open circuit）：電路中測試點兩端的電阻 ++    ++ 的情況。
* 閉路／通路（closed circuit）：電路中測試點兩端的電阻為 ++    ++ 的情況。
* [短路](https://reurl.cc/QdjXk5)（short circuit）：有兩種看法
* 電路中電位不同的兩點被電阻很小的導體接通的情況，
* 測試點兩端的電阻為 ++    ++ 的情況。
* 節點：任意兩條或多條支路的相交點。
* 串聯電路，其等效電阻為$$\boxed{R_{eq}=\color{white}{R_1+R_2+\cdots+R_n}\color{black}{=\sum^n_{i=1}}\color{white}{R_i}}，$$若 $R_1=R_2=\cdots=R_n=R$，則 $\boxed{R_{eq}=\color{white}{nR}}$。
* 並聯電路，其等效電阻滿足$$\boxed{\dfrac{1}{R_{eq}}=\color{white}{\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\cdots+\dfrac{1}{R_n}}\color{black}{=\sum^n_{i=1}}\color{white}{\dfrac{1}{R_i}}}，$$若 $R_1=R_2=\cdots=R_n=R$，則 $\boxed{R_{eq}=\color{white}{\dfrac{R}{n}}}$。

#### 3. 元件：
* 導線
* 開關
* 電路符號：++    ++ （開路）或 ++    ++ （閉路）
* 電動勢源，任舉三例：
* 電阻器
* 電路符號：++    ++ 或 ++    ++
* 可變電阻器／電位器
* 電路符號： ++    ++ 或 ++    ++
* 變壓器
* 示意圖：
* 公式：（使用上圖的 $V_P$、$N_P$、$I_P$、$V_S$、$N_S$、$I_S$）$$\boxed{\color{white}{\dfrac{V_P}{V_S}=\dfrac{N_P}{N_S}=\dfrac{I_P}{I_S}}}$$
#### 4. 分類：
* 直流電（direct current，DC）
* 交流電（alternating current，AC）
#### 5. 儀表：
* 伏特計、電壓計
* 電路符號： ++    ++
* 安培計、電流計
* 電路符號： ++    ++
* 檢流計：用於測量微弱電流的電流計

#### 6. 發輸配電系統
* 發電
* 輸電
* 為什麼要使用高壓電輸電？
* 配電
* 臺灣家用電源規格：++   ++ V（少數 ++   ++ V）、++   ++ Hz
### 五、電路學重要定律
#### 1. 歐姆定律（Ohm's law，1827）
導電體兩端的 ++   ++ 與通過導電體的 ++   ++ 成正比，比例常數為 ++   ++ ，即$$V=IR。$$

凡是遵守歐姆定律的元件都稱為「 ++    ++ 」，其電阻與電流、電壓〔無關／有關〕。

#### 2. 克希荷夫電路定律
* 克希荷夫 ++  ++／++  ++／++  ++ 定律

所有進入某 ++  ++ 的 ++  ++ 的總和等於所有離開這 ++  ++ 的 ++  ++ 的總和，即$$\displaystyle\boxed{\color{white}{\sum_{k=1}^n i_k=0}}，$$其中 $n$ 為連接該 ++  ++ 的 ++  ++ 數目，$i_k$ 為流入或流出該 ++  ++ 的第 $k$ 條 ++  ++ 的 ++  ++ 。

此定律等價於 ++      ++。

* 克希荷夫 ++  ++／++  ++／++  ++ 定律

沿著 ++    ++ 所有元件兩端的 ++   ++ 的 ++   ++ 等於零，即$$\displaystyle\boxed{\color{white}{\sum_{k=1}^m v_k=0}}，$$其中 $m$ 是 ++    ++ 上元件的數目， $v_k$ 為第 $k$ 個元件的 ++   ++ 。

此定律等價於 ++      ++。

### 六、靜電學物理量
#### 1. 電場力（符號：++  ++）
- 〔純量／向量〕
- 定義：
- 單位：
#### 2. 電場強度（簡稱電場）（符號：++  ++）
- 〔純量／向量〕
- 定義
- 概念化： ++   ++ 密度——單位體積內的「淨」++   ++ 數量
- 在電場中某一點置一個 ++    ++ $+q$，則其所受的電場力向量與 ++    ++ 的純量乘積為電場強度向量，即$$\boxed{\color{white}{\mathbf{E}=\dfrac{\mathbf{F}}{q}}}。$$
- 單位
- SI制：++    ++ 或 ++    ++
- 來源：（寫兩個）
#### 3. 電位能（符號：++  ++）
- 〔純量／向量〕
- 定義
1. 在 ++    ++ $\mathbf{E}=E\hat{\mathbf{i}}$ 中將 ++    ++ $q$ 從 $x=a$ 位置遷移到 $x=b$ 位置所需要做的 ++   ++ 就是位能差 $U(b)-U(a)$，即$$\boxed{\Delta U=U(b)-U(a)=\color{white}{F_x(b-a)=-qE(b-a)}}，$$移動過程中，施加的外力 $\mathbf{F}$ 必須恰好抵銷電荷所受的靜電力 $q\mathbf{E}$。
2. 一般來說，在 ++  ++ $\mathbf{E}$ 中將電荷 $q$ 從 $\mathbf{r}=\mathbf{a}$ 位置遷移到 $\mathbf{r}=\mathbf{b}$ 位置所需要做的 ++   ++ 就是位能差 $U(\mathbf{b})-U(\mathbf{a})$，即$$\Delta U=U(\mathbf{b})-U(\mathbf{a})=\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} q\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}$$
- 單位：
- 註：電位能的數值不具有 ++  ++ 意義，只有 ++  ++ 意義，所以需要設定一個電位為零的參考系統。通常選取 ++       ++ 的系統，將電位設定為0。

#### 4. 電位（符號：++  ++ 或 ++  ++）
- 〔純量／向量〕
- 定義
1. 每 ++    ++ 處於電場中所具有的電位能，即$$\boxed{\color{white}{V=\dfrac{U}{q}}}。$$
2. 在 ++    ++ $\mathbf{E}=E\hat{\mathbf{i}}$ 中，在任兩個位置 $x=a$ 和 $x=b$ 之間的電位差為 $$\boxed{\color{white}{\Delta V=E(b-a)}}$$
3. 一般來說，電場 $\mathbf{E}$ 中任兩個位置 $\mathbf{r}=\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{r}=\mathbf{b}$ 之間的電位差為$$\Delta V=-\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}$$
- 單位：
- 註：
1. 電位和電位能一樣，數值不具有 ++  ++ 意義，所以需要設定一個電位為零的參考系統。
2. 基於一些傳統，符號 ++  ++ 可以指電位或電位差而不至於混淆，若要區別時，把電位差記做 ++  ++ 。

### 七、靜電學核心概念
#### 1. 模型：
* 場
* 場線：1851年法拉第提出的概念
* 電場線
* 磁場線
#### 2. 數學表述
* 向量
* 向量運算
* 向量加法
* 純量積、內積、點積
* 向量積、外積、叉積
#### 3. 分支
* 靜電學
* 靜磁學
* 電動力學
#### 4. 現象
* 電磁感應
* 電流磁效應
### 八、靜電學重要定律、方程式、公式
#### 1. 庫侖定律
給定兩個電量分別為 $q_1$、$q_2$ 的點電荷，將 $q_1$ 固定於原點 $O$，將 $q_2$ 固定於位置 $\mathbf{r}$，則 $q_1$ 施加給$q_2$ 的電場力滿足 $$\mathbf{F}=\dfrac{kq_1q_2\hat{\mathbf{r}}}{r^2}，$$其中：
- ++  ++ 為庫侖常數
- $\hat{\mathbf{r}}$ 為 向量 $\mathbf{r}$ 的 ++    ++，
- $r$ 為 向量 $\mathbf{r}$ 的 ++  ++。

這個由 $q_1$ 與 $q_2$ 組成的系統的電位能為$$U=\dfrac{kq_1q_2}{r}，$$另外， $q_1$ 造成的電場為$$\mathbf{E}=\dfrac{kq_1\hat{\mathbf{r}}}{r^2}，$$$q_1$ 造成的電位為$$V=\dfrac{kq_1}{r}。$$

## 第三階段：解答課前提問
### p.28 試題精選2 附註討論(3)
> 假設三電荷的質量比為 $2:1:1$，同時釋放三者後在庫侖力相互作用下運動，某時刻甲的速度為 $(2\hat{\imath})~\text{m/s}$、乙的速度為 $(-3\hat{\jmath})~\text{m/s}$，丙的速度量值為何？答：$5~\text{m/s}$。

提示：甲、乙、丙所組成的系統合外力為零且系統最初靜止 $\iff$ 系統動量恆為零，即對任意時刻 $m_甲\mathbf{v}_甲+m_乙\mathbf{v}_乙+m_丙\mathbf{v}_丙=\mathbf{0}$。
### p.34 試題精選13 及附註討論(2)

### p.52 試題精選1 (C\)選項及附註討論(2)(3)
> (C\)選項：所有電力線都會由原點出發，終止於 $C$ 點。

電力線特性：
- 起始於正電荷*或* 無窮遠處。
- 終止於負電荷*或* 無窮遠處。
- 任兩條電力線恆不相交。
- 單位空間內的電力線數量正比於電場（強度）。
- 電力線上某一點的切線方向等於該點的電場方向。

> 附註討論(2)：高斯定律

### p.57 試題精選8

### p.62 試題精選16
靜力平衡問題——畫力圖、力的拆解、應用靜力平衡條件。
把「甲、乙」小球系統質心視為重力的作用點。
- 力平衡條件1：$\sum F_x=T\sin\alpha=0\implies \alpha=0$
- 力平衡條件2：$\sum F_y=T\cos\alpha+QE-QE-mg=0\implies T\cos\alpha=mg$，但 $\alpha=0$，故推論 $T=mg$
- 力矩平衡條件：取乙為參考點，合力矩（順時針為正） $\sum\tau=mg\ell\cos\theta-QE(2\ell)\cos\theta=0$$\implies mg=2QE$

結論：以下兩個為系統「力平衡」的必要條件（也可以證明是充分條件）
1. $T=mg$
2. $\alpha=0$

題幹只有說系統達成「力平衡」，所以條件 1、2 一定對，故可選 (B)。
沒有被這兩個條件約束的物理量，例如 $E$，可以是任意值，故可選 (A)。

(C\)選項加入以下條件

3. $mg=2QE$

這樣系統就達成「靜力平衡」。沒有被條件 1、2、3 約束的物理量，例如 $\theta$，依然可以是任意值，故可選 (C\)。

條件 1、2、3 無法推論出選項 (D)、(E)，故不選。

### p.63 試題精選17
相距固定之正、負電荷構成一個電偶極，電偶極在電場中所受力矩為 $\boldsymbol\tau=\mathbf{p}\boldsymbol\times \mathbf{E}$，其中 $\mathbf{p}\equiv Q\mathbf{d}$ 為電偶極矩（electric dipole moment），$\mathbf{d}$ 是從負電荷到正電荷的位移向量。
> (C\)選項：棒的重心一面移動，棒一面亦以重心為中心轉動，最後轉至與電場平行的位置。

- (C\)選項的第一句錯誤，因為電偶極在電場中不受力，$\sum\mathbf{F}=\mathbf{0}$，由題幹描述的初始狀況（輕放）可推知系統一開始應該是靜止，所以之後質心也會保持靜止。

- (C\)選項的第二句錯誤，因為電偶極在電場中受到力矩 $\boldsymbol\tau=\mathbf{p}\boldsymbol\times \mathbf{E}$，所以棒子會旋轉，轉軸是垂直於紙面、通過質心的直線（參考p.64的圖）。

注意，不是以重心為中心，除非「重力場均勻而且重力對系統的影響小到可以忽略」，否則「重心不是質心，而(C\)選項的第一、二句錯誤」或「(C\)選項的第一句正確」！質心也未必是 $\overline{AB}$ 中點，因為題目沒有說兩個點電荷質量相等！）

- (C\)選項的第三句錯誤，張鎮麟講義給的解釋也錯誤。嚴格來說，如果題目給的系統是保守系統、遵循力學能守恆（因為沒有提到，所以應該假定如此），則不會停止於他們描述的「最後位置」，而是持續繞著上述的轉軸做擺動。

解決這個疑點的方法有兩個，一種是定義「最後位置」就是與系統位能最低的位置，也就是平衡點，一種是補充此系統有額外的非保守力會損耗力學能，導致擺幅越來越小，最終位置趨近於平衡點。

### p.89 試題精選7 附註討論(2)
> 證明 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{mR^3}{kQq}}$

證明要領：證明力的形式是 $F=-Kx$，振動週期就是 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{K}}$（這裡用 $K$ 代表力常數，以免與靜電常數 $k$ 搞混。）

由試題精選7附註討論(1)可推知，該情況下靜電力為 $$F=-\dfrac{kQqx}{\left(R^2+x^2\right)^{3/2}}，$$但在 $x\ll R$ 的條件下，$x/R$ 很小，使得[^1] $$\left(R^2+x^2\right)^{3/2}=R^3\left(1+\dfrac{x^2}{R^2}\right)^{3/2}=R^3\left[1+\dfrac{3}{2}\dfrac{x^2}{R^2}+\mathcal{O}\left(\dfrac{x^4}{R^4}\right)\right]\approx R^3\quad 當~x\ll R，$$ 所以力的形式可近似為 $$F\approx-\dfrac{kQq}{R^3}x=-Kx，$$ 其中 $K=\dfrac{kQq}{R^3}$，因此簡諧運動的振動週期為 $$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{K}}=2\pi\sqrt{\dfrac{mR^3}{kQq}}。$$

### p.91 試題精選11
由動量守恆，有 $$m_1v_1=m_2v_2\tag{1}$$
由力學能守恆，有 $$\dfrac{1}{2}m_1v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2=\dfrac{kq_1q_2}{d}\tag{2}$$
由 (1) 式得到 $v_2=\dfrac{m_1}{m_2}v_1$，將此帶入 (2) 式，得到 $$\dfrac{1}{2}m_1v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2\left(\dfrac{m_1}{m_2}v_1\right)^2=\dfrac{kq_1q_2}{d}。$$ 然後解 $v_1$，得到 $$\begin{align}\dfrac{1}{2}m_1\left(1+\dfrac{m_1}{m_2}\right)v_1^2&=\dfrac{kq_1q_2}{d}\\v_1^2&=\dfrac{2kq_1q_2m_2}{m_1(m_1+m_2)d}\\v_1&=\sqrt{\dfrac{2kq_1q_2m_2}{m_1(m_1+m_2)d}}，\end{align}$$
利用 $v_2=\dfrac{m_1}{m_2}v_1$，得到 $$v_2=\sqrt{\dfrac{2kq_1q_2m_1}{m_2(m_1+m_2)d}}$$
（或將下標 $1$、$2$ 對調也可得到同樣結果。）

### p.106 試題精選6 (B)選項

### p.109 試題精選9 附註討論

### p.147 試題精選4

### 上冊 p.382 第24題

[^1]: 這裡我用了[二項式定理](https://reurl.cc/b51myv)（binomial theorem）：$$(a+b)^n=\sum^n_{k=0}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}a^kb^{n-k}，$$ 其中 $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ 為二項式係數。當 $a=1$ 時，公式可以化簡成 $$(1+x)^n=\sum^n_{k=0}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}x^k。$$