---
# System prepended metadata

title: Logika 7 grudnia

---

# Logika 7 grudnia

Can you hear me?
Yes we can!

**Zadanie A117** - Krzysztof Łukasiewicz
Naszym zadaniem jest zakodowanie jednej z pięciu kart za pomocą pozostałych czterech. Skorzystajmy z tego, że pełna talia ma 4 kolory po 13 kart. Na początek zauważmy, że mamy na pewno co najmniej dwie karty tego samego koloru (to wynika z zasady szufladkowej Dirichleta). Ponumerujmy wszystkie karty tego koloru liczbami od 0 do 12. Niech $a$ i $b$ oznaczają numery dwóch kart z powtarzającego się koloru (jeśli jest są więcej niż dwie, można wybrać dowolne). Zauważmy, że
$$(a-b)\mod 13 \leq 6 \ \text{   lub }\ (b-a) \mod 13 \leq 6$$
Zauważmy też, że liczba permutacji pozostałych kart to $3! = 6$. To pozwala nam skonstruować następujące kodowanie.
Jeśli $(a-b)\mod 13 \leq 6$ to odkładamy na bok kartę o numerze $a$. Niech $k = ((a-b)\mod 13)$. Na czwartym miejscu ustawmy kartę o numerze $b$, a na pierwszych trzech $k$-tą leksykograficznie permutację pozostałych trzech kart.
Analogicznie jeśli $(b-a)\mod 13 \leq 6$ to odkładamy na bok kartę o numerze $b$. Niech $k = ((b-a)\mod 13)$. Na czwartym miejscu ustawmy kartę o numerze $a$, a na pierwszych trzech $k$-tą leksykograficznie permutację pozostałych trzech kart.
Teraz drugi niedźwiedź może łatwo odkodować, jaka jest piąta karta. Niech $k$ będzie numerem permutacji pierwszych trzech kart w kolejności leksykograficznej, $a$ - numerem ostatniej karty w jej kolorze. Wtedy wynik to karta o numerze $(a+k) \mod 13$ w kolorze ostatniej karty.
