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# System prepended metadata

title: Ejercicio 1

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[TOC]

# Ejercicio 1

### Punto A
![](https://i.imgur.com/Qhk7jen.png)

Nuestra forma de pensar para completarlo fue la siguiente:
- Primero completamos la columna BASE, para eso necesitabamos las 4 filas que pudiesen formar una matriz de identidad, ya teniamos la x3, y la s4. La s2 no era posible incorporarla porque no era un vector apto para esta matriz, y la s3 tenia un valor 0 a la altura de la 2da fila. Por ende, en la 2da fila colocamos a s1, y en la 3ra fila a s3. Además pudimos deducir los valores de columnas de las variables que estaban en la base en relación a lo que deberian tener para formar la matriz identidad.
    - X3: 1 0 0 0
    - s1:  0 1 0 0
    - s3:  0 0 1 0
    - s4:  0 0 0 1
- Ahora bien, sabiendo las variables de la base podemos completar la columna Cj con los valores del coeficiente arriba de cada columna (las cuales las obtuvimos de sus coeficientes en la función objetivo), siendo 15000 para X3 y 0 para las variables de holgura (5500 para x1 y 8000 para x2). Con esto, pudimos obtener el valor de Z, realizando la sumatoria de los Cj * Poj de cada fila, quedandonos 12000000 (15000*800 + 0 + 0 + 0), y con la misma logica, obtuvimos el valor donde se cruza la fila de x3 y x1 (7500/15000) = 0.5.
- Gracias a esto, tuvimos completo el cuerpo del simplex. Calculamos todos los Z, multiplicando 15000 por el valor donde se cruzaba la primer fila con cada columna (ya que los otros coeficientes valian 0). Y acto seguido, realizamos la resta de los Cj arriba de cada columna obtenidos en el paso anterior, con los Zj recién calculados.

### Punto B
Valor del Funcional 
(Z) = 12000000

Solución obtenida:
X1 = 0
X2 = 0
X3 = 800
S1 = 300
S2 = 0
S3 = 12000
S4 = 9000

Interpretación económica:
Según esta solución, con 800 Tn de harina especial en un mes se obtiene una contribución a las utilidades de 12000000
Con este plan se usarán todas las Tn de trigo, y quedara un excedente de 12.000 hs de mano de obra, y 9000 kg de aditivos. Además se superara la demanda minima, quedandonos una de 800 (500 + 300), osea habiendo fabricado 300 productos extras de los requeridos.
Por lo otro lado, esta solución NO es óptima, por lo que no representa la maxima contribución a las utilidades posibles.

### Punto C
Esta NO es la solución óptima, porque según el simplex terminado, no se cumple la condicion de optimidad en una maximización, la cuál es $C_j - Z_j <= 0$, y como podemos apreciar, la columna de $X_2$, al quedar con un valor de 500, no lo cumple.

### Punto D
La variable que entra va a ser $X_2$ ya que es la que no cumple la condición de que su $C_j - Z_j <= 0$. Ahora bien, analizando los valores de θ de cada fila en relación a la columna de la variable que entra, obtenemos que:
θ<sub>$x_3$</sub> = 800/0,5 = 1600
θ<sub>$s_1$</sub> = 300/-0,5 = -600
θ<sub>$s_3$</sub> = 12000/5 = 2400
*θ<sub>$s_4$</sub> = 9000/40 = 225*

Como el θ<sub>$s_4$</sub> es el de valor más pequeño positivo, $S_4$ será nuestra fila a sacar.

### Punto E
Los valores se obtienen de volver el cruce de X2 y S4 = 1, y realizar operaciones elementales por filas hasta anular (volver 0), el resto de valores de esa columna (la $X_2$).
La nueva base nos queda:
![](https://i.imgur.com/Qk25ViZ.png)

En nuestra nueva entrada, el Po nos queda como 9000/40 = 225, el cual usaremos para calcular el Po de las otras filas de la base...
En la fila 1: 800 + (225*-0.5) = 687.5 (Siendo -0,5 el valor opuesto en signo del valor donde se cruza la fila 1 y la columna de la nueva entrada)
En la fila 2: 300 + (225*0.5) = 412.5
En la fila 3: 12000 + (225*-5) = 10875

### Punto F
**300** -> Excedimos en 300 productos el valor de la demanda mínima.
**7500** -> Perdemos 7500 en la contribución por cada Tn de harina 0000.
**0.5** -> La tasa de sustitución de una Tn de harina 0000 respecto de la Tn de harina especial es de 0.5. Osea para fabricar una Tn de harina 0000 necesitamos dejar de fabricar media tonelada de harina especial.
**-2** -> La tasa de sustitución de las Tn de trigo respecto de los Kg de aditivos. Osea que por cada Tn de trigo, necesitaremos un incremento de 2 Kg de aditivos.
**-1500** -> Las Tn de trigo provocan un incremento de 1500 en la contribucion a las utilidades.


# Ejercicio 2

### Punto 1

LINDO:
```lindo=
max 5500x1+8000x2+15000x3
st
2) 1x1+1x2+1x3>=572
3) 5x1+5x2+10x3<=8000
4) 20x1+10x2+10x3<=20000
5) 25x1+50x2+20x3<=25000
end
```
![Link a la imagen](https://i.imgur.com/VWIhq7b.png)


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### Punto 2
Valor del Funcional 
(Z) = 12112500

Plan de Producción:
X1 = 0
X2 = 225
X3 = 687.5
S1 = 340.5
S2 = 0
S3 = 10875
S4 = 0

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### Punto 3
#### Inciso A
Reducción de 3000 en aditivos utilizados (25000 - 3000 = 22000). El valor se encuentra dentro del rango permitido de sensibilidad, por tanto, no cambia la base como tal. Pero al tratarse de un recurso limitante, se modificará el valor de las variables y de Z.
- Calculo de Z': $Z' = Z + \Delta S4 * DualPrice(S4)$
Por tanto 
$$
Z' = 12112500 + (-3000)*12.5 = 12075000
x1 = 687,5 + (-3000)*-0,0125 = 725
$$
- Calculo de los valores de la base
	- Formula = $X_i' = \lambda_i + (\lambda_{ij}*\Delta C_j)$
	- $X_2' = X_2 + (\lambda_{5;7} * \Delta C_7) = 225 + (0.025 * (-3000)) = 150$ 
	- $X_3' = 687.5 + (-0.013) * (-3000) = 726.5$
	- $S1' = 340.5 + 0.013 * (-3000) = 301.5$
	- $S3' = 10875 + (-0.125) * (-3000) = 11250$

#### Inciso B
Se **aumenta** la demanda minima en **170 toneladas**, lo que resulta en un total $572+170 = 742$
Nos mantenemos dentro del crecimiento maximo permitido (340.5 toneladas) por tanto la base no se modificará, y tampoco la solución óptima.
A su vez, la variable de holgura relacionada a la demanda mínima es $S_1$, esta ademas de aumentar dentro del rango, posee _slack_ por tanto, hablamos de una **restricción NO limitante**.
Resultará en una modificación de $S_1$ siendo $S'_1 = S_1 - 170 = 340-170 = 170$ 

#### Inciso C

La contribución a las utilidades de la tonelada de harina especial disminuye a $12.500,
por tanto, estamos modificando el Coeficiente de la variable $X_3$ que representa las toneladas de harina especial a producir por mes.

Al tratarse de una modificación en el valor del coeficiente de una variable que se encuentra en la base.
Esta modificación es $15000 - 12500 = 2500$, y el maximo decremento del coeficiente de esta variable es $7000$. Esto significa que permanecemos en el rango, y por tanto en la solución óptima.
Lo único que se verá modificado será la funcion Z, cuyo nuevo valor será $Z' = Z + \Delta C_3 * X_3 = 12112500 + (-2500)*687.5 = 10393750$

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### Punto 4
Si pudieran conseguir toneladas de trigo adicionales pagándolas $1200 estaríamos hablando de una modificación que forma parte del rango permitido (MAX: $4500), tambien estamos en precencia de un recurso limitante, por tanto habría que evaluar si es conveniente el precio a pagar.
Como el precio a pagar es menor que nuestro costo marginal ($1475.0), podemos afirmar que es conveniente comprar toneladas adicionales de trigo.
Podríamos comprar adicionalmente 4500.0 toneladas de trigo. Que, pagariamos en adicion al total: $4500*1200 = 5400000$ 
La producción aumentaría debido al incremento de trigo a $8000 + 4500 = 12500$ toneladas, pero con un Z, de $18750000$, es decir un incremento de $18750000-12112500 = 6637500$
Por tanto, la ganancia total es de $6637500-5400000=1237500$ pesos.
Las modificaciones en las variables serian:
	- Formula = $X_i' = \lambda_i + (\lambda_{ij}*\Delta C_j)$
	- S2' = 340.5 + (0.075 * 4500) = 678
	- X3' = 687.5 + (0.125 * 4500) = 1250
    - S4' = 10875 + (-0.750 * 4500) = 7500
    - X2' = 225 + (-0.050 * 4500) = 0
	

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### Punto 5
 Nuevos estudios de costos indican que la contribución a las utilidades de la tonelada de harina 000
se incrementó en un 25%. ¿Afecta este cambio a la solución actual? 
El cambio que se producirá en la contribución a las utilidades por harina 000 será de +$1.375, por lo que permanece dentro del rango permitido con un tope maximo de $2187.5.
Por tanto, el unico impacto es sobre el valor de la función objetivo, lo cuál no implica un cambio en la solución, esta quedará igual (misma base planteada anteriormente).

# Ejercicio 3
### Punto 1
Producir 100 Tn de harina 000 ($X_1$), va a modificar el $Z$ (reduciendolo), y cambiara la base (ingresa $X_1$) y también la solución óptima.
Esto equivale a agregar una nueva restriccion que simbolice que x1=100.
A $Z$, se le restará la cantidad de $X_1$ a ingresar multiplicada por su costo reducido.
$Z = 12112500 - (100)*2187.5 = 11893750$

Nuestra solución óptima cambiará, teniendo las variables los siguientes valores:
	- Formula = $X_i' = \lambda_i - (\lambda_{ij}*\Delta C_j)$
	- S2' = 340.5 + (0.312 * 100) = 371.7
	- X3' = 687.5 + (-0.312 * 100) = 656.3
    - S4' = 10875 + (-13.125 * 100) = 9562.5
    - X2' = 225 + (-0.375 * 100) = 187.5
    - X1' = 1000

Si es factible producir 1000 Tn de X1, debido a que todas las restricciones se cumplen para un caso donde x1 = 1000 y x2,x3 = 0.

1x1  >= 572
5x1  <=8000
20x <=20000
25x1 <=25000
x1 = 1000;

por ende

1x1000  >= 572; Cumple
5x1000  <=8000; Cumple
20x1000 <=20000; Cumple
25x1000 <=25000; Cumple

### Punto 2

|Materia prima| Harina Integral | Costo de Oportunidad
|-|-|-|
Tn Trigo| 4| 1475 * 4 = 5900
Hs Mano obra|15 | 0 
Kg Aditivos|20 | 12.5 * 4 = 50
Total|-|5950|

Como su contribución a la utilidad es de $9500 y su costo de oportunidad es $5950 estamos en presencia de un $C_j - Z_j > 0$, entonces, es conveniente producir.

### Punto 3
El problema DUAL consiste en:

min z = 572$y_1$ + 8000$y_2$ + 20000$y_3$ + 25000$y_4$ 

$y_1$ + 5$y_2$ + 20$y_3$ + 25$y_4$ >= 5500
$y_1$ + 5$y_2$ + 10$y_3$ + 50$y_4$ >= 8000
$y_1$ + 10$y_2$ + 10$y_3$ + 20$y_4$ >= 15000
$y_2$,$y_3$,$y_4$ >= 0
$y_1$ <= 0

Nuestro proceder para conseguirlo fue el siguiente basandonos en el problema original:
- Maximizar pasó a ser Minimizar.
- Nuestras 4 restricciones pasan a ser 4 variables de decisión.
- Nuestras 3 variables de decisión pasan a ser 3 restricciones.
- El lado derecho de nuestras restricciones pasa a ser el valor del coeficiente en la función objetivo de cada variable y.
    - Todas las restricciones <= pasan a representar variables >= 0 (NO NEGATIVAS).
    - Todas las restricciones >= pasan a representar variables <= 0 (NO POSITIVAS).
- El valor del coeficiente en la función objetivo de cada variable x pasa a ser el valor del lado derecho de nuestras restricciones.
    - Como nuestras 3 varibles eran >= 0, nuestras restricciones son >= (Cánonicas).

### Punto 4
Valor del Funcional 
(Z) = 12112500 (es un valor compartido con el problema original)

Variables del Problema:
Y1 = 0
Y2 = 1475
Y3 = 0
Y4 = 12.5
S1 = 2187.5
S2 = 0
S3 = 0

Básicamente para las Yn, utilizamos el valor del costo reducido y para las Sn utilizamos el precio dual.

### Punto 5
El significado económico de cada variable es:
Y1 = El costo incremental por una demanda comprometida de contratos anteriores.
Y2 = El incremento en las utilidades por adicionar una tonelada de trigo.
Y3 = El incremento en las utilidades por adicionar una hora de mano de obra.
Y4 = El incremento en las utilidades por adicionar un kilo de aditivos.
S1 = Disminución de ingresos por unidad de Toneladas de harina 000.
S2 = Disminución de ingresos por unidad de Toneladas de harina 0000.
S3 = Disminución de ingresos por unidad de Toneladas de harina especial.

# Ejercicio 4

### Calculo de los coeficientes

**X1 - Basica)**

X1 es basica, por tanto se debe calcular su intervalo de la siguiente manera
$$
(\overline{C_j} - \overline{Z_j}) = (C_j - Z_j) - \lambda_{kj} \Delta C_k
$$


$(48 - 0.333*\Delta C_{x_1}) \le 0$
$\Delta C_{x_1} \ge 144.14$


$(1-0.067*\Delta C_{x_1}) \le 0$
$\Delta C_{x_1} \ge 14.92$

$(M-48)+0.333*\Delta C_{x_1} \le 0$
$\Delta C_{x_1} \le \frac{(M-48)}{0.333}$


Como resultado queda que el intervalo de variación para X1 es
- $\Delta C_{X_1} \ge 144.14$
- $\Delta C_{X_1} \le \infty$

**X2 - Basica)**

$48 + 0.667*C \le 0$
$C \le - 71.96$

$1-(-0.053)C \le 0$
$C\le-18.86$


Como resultado queda que el intervalo de variación para X2
 - $\Delta C_{X_2} \le -71.96$
 - $\Delta C_{X_2} \ge -\infty$


**S2 - Basica)**

$(48 - 0.333*\Delta C_{S_2}) \le 0$
$\Delta C_{S_2} \ge 144.14$


$(1-0.067*\Delta C_{S_2}) \le 0$
$\Delta C_{S_2} \ge 14.92$

Como resultado queda que el intervalo de variación para X1 es
- $\Delta C_{S_2} \ge 144.14$
- $\Delta C_{S_2} \le \infty$

S1 - No basica)
$[-\infty, 48]$

S3 - No basica)
$[1, \infty]$

### Calculo de los VLD
**S1 - No básica)**

$$
\left[
  \begin{matrix}
    8000\\
    20000\\
    13000\\
  \end{matrix}
\right]
-\Delta b_{1}
\begin{bmatrix}
           -0.667\\
           0.333\\
           0.333\\           
         \end{bmatrix}
\ge 0
$$

$8000 - (-0.667*\Delta b_1) \ge 0$
$\Delta b_1 \ge -11994$

$20000-(0.333)\Delta b_1 \ge 0$
$\Delta b_1\le606060$

$13000-(0.333)\Delta b_1 \ge 0$
$\Delta b_1\le393939$

Como resultado queda que el intervalo de variación para S1
 - $\Delta b_{1} \le 393939$
 - $\Delta b_{1} \ge -11994$

**S2 - Básica**
$$
\left[
  \begin{matrix}
    8000\\
    20000\\
    13000\\
  \end{matrix}
\right]
-\Delta b_{2}
\begin{bmatrix}
           0\\
           0\\
           1\\           
         \end{bmatrix}
\ge 0
$$
$8000 - (0*\Delta b_2) \ge 0$
$8000 \ge 0$

$20000-(0)\Delta b_2 \ge 0$
$20000\ge 0$

$13000-(1)\Delta b_2 \ge 0$
$\Delta b_2\le13000$

Como resultado queda que el intervalo de variación para S2
 - $\Delta b_{2} \le 13000$
 - $\Delta b_{2} \ge \infty$

**S3 - No Básica**

$$
\left[
  \begin{matrix}
    8000\\
    20000\\
    13000\\
  \end{matrix}
\right]
+\Delta b_{3}
\begin{bmatrix}
           -0.053\\
           0.067\\
           0.067\\           
         \end{bmatrix}
\ge 0
$$

$8000 + (-0.053* \Delta b_3) \ge 0$
$\Delta b_3 \le 150943.39$

$20000+(0.067) \Delta b_3 \ge 0$
$\Delta b_3\ge-298507.46$

$13000+ (0.067) \Delta b_3 \ge 0$
$\Delta b_3\ge-194029.85$

Como resultado queda que el intervalo de variación para $S_3$
 - $\Delta b_{3} \le 150943.39$
 - $\Delta b_{3} \ge -194029.85$





# Ejercicio 5
Se postula el modelo de maximización de ingreso por alquiler:

*Variables:*
- **X<sub>acc</sub>** : La cantidad de locales instalados de tipo accesorio.
    - **B<sub>acc1</sub>** : 1 o 0, si es que la cantidad de locales de tipo accesorios instalados es de 1 o no.
    - **B<sub>acc2</sub>** : 1 o 0, si es que la cantidad de locales de tipo accesorios instalados es de 2 o no.
    - **B<sub>acc3</sub>** : 1 o 0, si es que la cantidad de locales de tipo accesorios instalados es de 3 o no.
- **X<sub>zap</sub>** : La cantidad de locales instalados de tipo zapatería.
    - **B<sub>zap1</sub>** : 1 o 0, si es que la cantidad de locales de tipo zapatería instalados es de 1 o no.
    - **B<sub>zap2</sub>** : 1 o 0, si es que la cantidad de locales de tipo zapatería instalados es de 2 o no.
    - **B<sub>zap3</sub>** : 1 o 0, si es que la cantidad de locales de tipo zapatería instalados es de 3 o no.
- **X<sub>dec</sub>** : La cantidad de locales instalados de tipo decoración.
    - **B<sub>dec1</sub>** : 1 o 0, si es que la cantidad de locales de tipo decoración instalados es de 1 o no.
    - **B<sub>dec2</sub>** : 1 o 0, si es que la cantidad de locales de tipo decoración instalados es de 2 o no.
    - **B<sub>dec3</sub>** : 1 o 0, si es que la cantidad de locales de tipo decoración instalados es de 3 o no.
- **X<sub>lib</sub>** : La cantidad de locales instalados de tipo librería.
    - **B<sub>lib1</sub>** : 1 o 0, si es que la cantidad de locales de tipo librería instalados es de 1 o no.
    - **B<sub>lib2</sub>** : 1 o 0, si es que la cantidad de locales de tipo librería instalados es de 2 o no.
    - **B<sub>lib3</sub>** : 1 o 0, si es que la cantidad de locales de tipo librería instalados es de 3 o no.
- **X<sub>ropa</sub>** : La cantidad de locales instalados de tipo ropa.
    - **B<sub>ropa1</sub>** : 1 o 0, si es que la cantidad de locales de tipo ropa instalados es de 1 o no.
    - **B<sub>ropa2</sub>** : 1 o 0, si es que la cantidad de locales de tipo ropa instalados es de 2 o no.
    - **B<sub>ropa3</sub>** : 1 o 0, si es que la cantidad de locales de tipo ropa instalados es de 3 o no.
> IMPORTANTE: Todas las variables solo pueden asumir valores ENTEROS.

*Restricciones:*
1) El primer conjunto de restricciones (Del tipo $B_{tipo negocio1}, B_{tipo negocio2}, B_{tipo negocio3} = 1$) representa la exclusión mutua entre producir 1, 2 o 3 locales del mismo tipo.
2) La segunda clase de restricciones (Del tipo $X_{tipo negocio}\le 3$) representa el valor máximo de locales a producir de un determinado tipo de negocio.
3) La tercera clase de restricciones (Del tipo $X_{tipo negocio}\ge 1$) representa el valor mínimo de locales a producir de un determinado tipo de negocio. Exceptuando el tipo de negocio librería, cuyo cantidad mínima esta dada por $X_{lib}\ge 1$, siendo el único tipo de negocio capaz de tomar valor nulo.
4) La última de restriccion representa la superficie total en m<sup>2</sup> de todos los locales instalados, siendo la sumatoria de la superficie individual de locales a producir de un determinado tipo de negocio por la cantidad de estos (tambien en m<sup>2</sup>).
$500X_{acc}+600X_{zap}+1500X_{deco}+700X_{lib}+900X_{ropa} \le 12000$


*Modelo*:

![FO1](https://i.imgur.com/IpH6vTn.png)
![FO2](https://i.imgur.com/5YNqf2j.png)
![FO3](https://i.imgur.com/2EOrKl4.png)

![Restricciones](https://i.imgur.com/bfnwfhs.png)


[](https://i.imgur.com/Gg4M6wx.png)

Todas las variables del problema pueden asumir solo numeros enteros

