聖晶石數如何影響開場收入

模型 1

• 只算股東花紅，假設花紅 = 0.8 x 股權 x 收入
• 因此盈利極大化即股權(百分比)極大化
• 假設每家公司至少有30人投資(新規定)
• 在極理想的情況下其他29人投100下你的股權為
  $\frac{x}{2900+x}$,
  $x$為投資額
• $100\le x\le 4096$

因此模型為

$$\begin{array}{cc}max& \sum ^N\frac{a_i}{2900+a_i}\\ s.t.& \{\begin{array}{c}\sum ^N{a}_i=10000\\ 100\le a_i\le 4096\end{array}\end{array}$$

使用拉格朗日乘數易得上面在

$a_1=...=a_N$ 時極大化。此時總股權為

$$N(\frac{10000/N}{2900+10000/N})\approx \frac{3.45N}{N+3.45}$$

注意上式的極限存在，亦即股權不會因石數增加而無限制增長。數值參考：

• $N=3$: 1.60427807487
• $N=5$: 2.04081632653
• $N=10$: 2.5641025641
• $N=17$: 2.86677908938

把經理人花紅加進去又會如何呢？

模型 2

別忘記經理人必須投至少1024元，但相對來說他有5%經理人花紅，相當於6.25%股權。這時候非經理股權理論值為：

$$\frac{x}{3800+x}$$

經理股權理論值為：

$$\frac{x}{2900+x}+0.0625$$

從模型1不難看出6.25%額外股權之效率遠超投資1024以上金額之效率，亦即換超過10石時石頭不會帶來實質利益。數值參考：

• $N=3$時理論值為

$$eff=3\times (\frac{10000/3}{2900+10000/3}+0.0625)\approx 1.80$$

• $N=17$時理論值為(送他240塊)

$$eff<10\times (\frac{1024}{2900+1024}+0.0625)\approx 3.23$$

注意：開季第一周並沒有打工制度。

實質利益

假設有人能實現上述股權理論值分佈，那透過換石17石玩家比3石玩家可以多賺多少錢呢？(實際最佳投資分佈與換石策略有關，但與上述計算不會差太遠)。

3石玩家：將3石安在3家自己公司上，不需要換石：

$$P=0.8\times 9000\times (\frac{10000/3}{2900+10000/3}+0.0625)\times (\log 2.5+2\log 1.5)\approx 7427$$

17石玩家：將10石安在自己公司上，換7石：

$$P=0.8\times 9000\times (\frac{1024}{2900+1024}+0.0625)\times (\log 2.5+7\log 2+2\log 1.5)\approx 15322$$

所以總差距理論極大值為$8000左右，基本上為一周投資可以輕鬆回收的程度；同時上述理論值基本上不可能達成：

• 新開季投資必定以熱門老婆股票為主(收益遠勝換票/石 於情於理皆為合理選擇)，肯定不會只有30人投資更不可能有29人只投100塊。以本賽初熱門股64元上市為參考，上述股權值可能會砍成十分之一甚至更低。
• 邊際效益問題。每顆石效益為
  $\log (N+1)-\log N=O(N^{-1})$，對於熱門老婆來說也不可能只有你一個人投石下去，此時每顆石的效益也可能變成原本的三分之一或更低。

本人無責任預測：兩者分別約在$500 ~ $1000之間，基本上就是一兩個614的程度。

上面隨便算的，有錯歡迎指正

$$(\int \widehat{=\upsilon =})$$