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tags: 数学
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20190424問題
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参照： https://mathtod.online/@tortoisebekkou/101975354550023321

## 問題

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$ を満たす正整数の組 $(x, y, z) \ (x, y, z \in \mathbb{Z}_{>0})$ を考え、$k = x + y$ と置く。
$k$ と $(x, y, z)$ の関係性について論ぜよ。

### 解答

$k = \frac{\gcd(x, y)^2}{\gcd(x, y, z)}$ すなわち $x + y = \frac{\gcd(x, y)^2}{\gcd(x, y, z)}$

### 解説

まず $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy}$ である。
これがある $z \in \mathbb{Z}_{>0}$ によって $\frac{1}{z}$ と書けるならば、以下が成立する：

$$
z(x + y) = xy
$$

$g_0 = \gcd(x,y)$、$x = g_0x_0, y = g_0y_0$ とおくと

$$
\begin{eqnarray*}
zg_0(x_0 + y_0) &=& g_0^2x_0y_0 \\
z(x_0 + y_0) &=& g_0x_0y_0
\end{eqnarray*}
$$

その作り方から $\gcd(x_0+y_0,x_0)=\gcd(x_0+y_0,y_0)=1$ なので、$x_0+y_0 \mid \gcd(x,y)$ でなければならない。
すなわち、ある整数 $n \in \mathbb{Z}_{>0}$ が存在して以下が成立する。

$$
\begin{eqnarray}
\gcd(x, y) &=& n(x_0 + y_0) \\
\gcd(x, y)^2 &=& n(x + y)
\end{eqnarray}
$$

次に、$g = \gcd(x, y, z)$ とおく。 $g = \gcd(\gcd(x, y), z) = \gcd(g_0, z)$ であることに注意。
$g_0 = gr$、$z = gz_0$ とすると、上述の $n$ について以下の考察できる。

$$
\begin{eqnarray*}
n &=& \frac{z}{x_0y_0} &=& \frac{g_0}{x_0 + y_0} \\
&=& g\frac{z_0}{x_0y_0} &=& g\frac{r}{x_0 + y_0}
\end{eqnarray*}
$$

その作り方から、$\gcd(x_0 + y_0, x_0y_0) = 1$ かつ $x_0 + y_0 \ne x_0y_0$ である。よってこれが成立するためには、ある整数 $m \in \mathbb{Z}_{>0}$ が存在して $z_0 = mx_0y_0$ かつ $r = m(x_0 + y_0)$ が成立することが必要である。この時、

$$
n = gm
$$

となる。
ここで $x = g_0x_0 = gm(x_0+y_0)x_0$、$y = g_0y_0 = gm(x_0+y_0)y_0$、$z = gz_0 = gmx_0y_0$ となるため、$g = \gcd(x, y, z) = gm$ となる。よって $m = 1$ である。すなわち

$$
n = g = \gcd(x, y, z)
$$

である。

以上より、$\gcd(x, y)^2 = \gcd(x, y, z)(x + y)$、よって $x + y = \frac{\gcd(x, y)^2}{\gcd(x, y, z)}$ が示せた。

特にその特別な場合として、以下が言える：

:::info
### ==系.==

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$ かつ $\gcd(x, y, z) = 1$ を満たす正整数の組 $(x, y, z) \ (x, y, z \in \mathbb{Z}_{>0})$ を考える。
この時、$x + y = \gcd(x, y)^2$ である。
:::