部分跡
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『量子プログラミングの基礎』 p.33

量子系$S, T$の状態ヒルベルト空間$\mathcal{H}_S, \mathcal{H}_T$をとる．

ここで，系$T$上の部分跡$\mathrm{tr}_T$を$\lvert\phi\rangle, \lvert\psi\rangle \in \mathcal{H}_S,\lvert\theta\rangle, \lvert\zeta\rangle \in \mathcal{H}_T$について
\begin{align}
\mathrm{tr}_T (\lvert\phi\rangle\langle\psi\rvert\otimes\lvert\theta\rangle\langle\zeta\rvert) = \langle\zeta\vert\theta\rangle\cdot\lvert\phi\rangle\langle\psi\rvert
\end{align}
と定め，ほかの状態については線形性で決める．

ここで，$\mathcal{H}_T$の正規直交基底$\{\lvert e_i\rangle\}$をとり，
\begin{align}
\lvert\theta\rangle &= \sum_i a_i \lvert e_i\rangle \\
\lvert\zeta\rangle &= \sum_i b_i \lvert e_i\rangle
\end{align}
と展開する．

すると，
\begin{align}
(I_{\mathcal{H}_S}\otimes\langle e_i\rvert)(\lvert\phi\rangle\langle\psi\rvert\otimes\lvert\theta\rangle\langle\zeta\rvert)(I_{\mathcal{H}_S}\otimes\lvert e_i\rangle) = a_i b_i^* \lvert\phi\rangle\langle\psi\rvert
\end{align}
より，
\begin{align}
\sum_i(I_{\mathcal{H}_S}\otimes\langle e_i\rvert)(\lvert\phi\rangle\langle\psi\rvert\otimes\lvert\theta\rangle\langle\zeta\rvert)(I_{\mathcal{H}_S}\otimes\lvert e_i\rangle) &= \left(\sum_ia_i b_i^* \right) \lvert\phi\rangle\langle\psi\rvert \\
&= \langle\zeta\vert\theta\rangle\cdot\lvert\phi\rangle\langle\psi\rvert
\end{align}
となる．（$T$だけで跡をとっている！）

# 密度作用素
$\rho$を$\mathcal{H}_S\otimes\mathcal{H}_T$における密度作用素とする．$\rho$の系$S$に対する縮約密度作用素$\rho_S$を次のように定義する．
\begin{align}
\rho_S = \mathrm{tr}_T(\rho)
\end{align}

練習問題2.1.41
1. $\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$における純粋状態$\lvert\psi\rangle$の縮約密度作用素$\rho_A=\mathrm{tr}_B(\lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert)$はどのようなときに純粋状態にならないか．
2. $\rho$を$\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B\otimes\mathcal{H}_C$における密度作用素とする．このとき，$\mathrm{tr}_{BC}(\rho) = \mathrm{tr}_B(\mathrm{tr}_C(\rho))$は成り立つか．

## 答え
1. 例えば
\begin{align}
\lvert\psi\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle\lvert +\rangle + \lvert 1\rangle\lvert +\rangle) \\
&= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + \lvert 1\rangle)\lvert +\rangle
\end{align}
とおけば，
\begin{align}
\lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert &= \frac{1}{2}(\lvert 0\rangle\langle 0\rvert + \lvert 0\rangle\langle 1\rvert + \lvert 1\rangle\langle 0\rvert + \lvert 1\rangle\langle 1\rvert)\lvert +\rangle\langle +\rvert
\end{align}
なので
\begin{align}
\rho_A &= \mathrm{tr}_B(\lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert) \\
&= \frac{1}{2}(\lvert 0\rangle\langle 0\rvert + \lvert 0\rangle\langle 1\rvert + \lvert 1\rangle\langle 0\rvert + \lvert 1\rangle\langle 1\rvert)
\end{align}
となって全く純粋状態でない．

一般には重ね合わせ状態になってるのが必要条件かな？
あと0にならないのも必要．
それ以上はわかんにゃい

2. $\mathcal{H}_B$の正規直交基底を$\{\lvert\phi_i\rangle\}$，$\mathcal{H}_C$の正規直交基底を$\{\lvert\psi_i\rangle\}$とおけば，$\{\lvert\phi_i\rangle\otimes\lvert\psi_i\rangle\}$は$\mathcal{H}_B\otimes\mathcal{H}_C$の正規直交基底になる．
上での観察から，
\begin{align}
\mathrm{tr}_{BC}(\rho) &= \sum_i \sum_j (I_{\mathcal{H}_A}\otimes\langle\psi_i\rvert\langle\phi_j\rvert)\rho(I_{\mathcal{H}_A}\otimes\lvert\psi_i\rangle\lvert\phi_j\rangle)
\end{align}
であり，
\begin{align}
\mathrm{tr}_{C}(\rho) &= \sum_j (I_{\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B}\otimes\langle\phi_i\rvert)\rho(I_{\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B}\otimes\lvert\phi_i\rangle) \\
\mathrm{tr}_{B}(\mathrm{tr}_{C}(\rho)) &= \sum_i (I_{\mathcal{H}_A}\otimes\langle\psi_i\rvert)
\left(\sum_j(I_{\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B}\otimes\langle\phi_i\rvert)\rho(I_{\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B}\otimes\lvert\phi_i\rangle)\right)
(I_{\mathcal{H}_A}\otimes\lvert\psi_i\rangle) \\
&= \sum_i\sum_j (I_{\mathcal{H}_A}\otimes\langle\psi_i\rvert)(I_{\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B}\otimes\langle\phi_i\rvert)\rho(I_{\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B}\otimes\lvert\phi_i\rangle)(I_{\mathcal{H}_A}\otimes\lvert\psi_i\rangle) \\
&= \sum_i\sum_j (I_{\mathcal{H}_A}\otimes\langle\psi_i\rvert\langle\phi_i\rvert)\rho(I_{\mathcal{H}_A}\otimes\lvert\phi_i\rangle\lvert\psi_i\rangle) \\
&= \mathrm{tr}_{BC}(\rho)
\end{align}
と思うんですけどどうでしょう．
確率になるんだし和の順序交換できるでしょ！ｗ
最後の$(I_{\mathcal{H}_A}\otimes\langle\psi_i\rvert)(I_{\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B}\otimes\langle\phi_i\rvert) = I_{\mathcal{H}_A}\otimes\langle\psi_i\rvert\langle\phi_i\rvert$が正当化できるか怪しい．
というか$I_{\mathcal{H}_A}\otimes\langle\psi_i\rvert\langle\phi_i\rvert$系全体的に型おかしくない？