# 流體力學 Week 17 - Speed of Sound and Mach Number

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$$錯過，明年還有。$$

# 9. Compressible Flow

# 9.1 Intro

就是整個流場中，流體密度可以不一樣的流體。

回顧一下熱力學學過的：

$$\beta = \frac {1}{\rho} \frac {\partial \rho}{\partial P}$$

(應該是叫做 Buck Modulus 吧)

這個可以當作容不容易壓縮的指標。

另外，如果 $\Delta P$ 非常大的話，那流體會被壓縮很多。這種狀況通常發生在 $\vec{u{}}$ 很大的狀況下。

對於氣體來說， $P$ 有變化的話，不只 $\rho$ 會變化，$T$ 也可能會跟著變化，所以這時候就需要多兩個額外的關係式。這兩個通常會用：

$$Energy\ Equation\ + Equation\ of \ State$$

Equation of State 通常就是 $PV=nRT$ 這種。Energy Equation 就是考慮內能、焓之類的東西。

白話文就是請回家複習熱力學。

# 9.2 音浪 ~ 太強 ~ 不晃 ~ 會被撞到地上～

好啦其實這節標題是 Speed of Sound and Mach Number

## 聲速

「聲音」：這裡的意思是「無限小的壓力震動」。這裡有幾個注意事項：

1. 過程是可逆的。理由是：
$$波動無限小 \Rightarrow 可逆過程$$

2. 因為時間很短，所以幾乎沒有時間會發生熱傳，也就是：

$$時間短 \Rightarrow 絕熱過程$$

3. 由上面可以推論聲波傳遞是等熵過程。因為

$$「可逆」 + 「絕熱」 \Rightarrow 等熵$$

然後就可以用一些熱力學的神奇方法來推導聲波的速度是：

$$c = \sqrt{(\frac {\partial P}{\partial \rho})_{s}}$$

看這條大概可以知道：越難壓縮的東西，聲音在裡面傳遞的速度越快。

推導的說明大概像這樣：

假設一開始聲波沒有速度。在 $t + dt$ 的時間內，我們觀察到波動的變化是：

$$\begin{cases}
P \rightarrow P + dP \\
\rho \rightarrow \rho + d\rho\\
u = 0 \rightarrow u + du \\
T \rightarrow T + dT
\end{cases}$$

然後我們「跟著波一起跑」，觀察。在 $t + dt$ 這段時間內，我們會觀察到：

$$\begin{cases}
P \rightarrow P + dP \\
\rho \rightarrow \rho + d\rho\\
u = c \rightarrow c - du \\
T \rightarrow T + dT
\end{cases}$$

然後我們取個小小的 Control Volume，然後利用進出這個 Control Volume 的繩子質量要守恆 + 動量要滿足牛二，就可以稍微推導出來。

然後因為是等熵，所以其他的力都會不見，只剩下壓力。

另外，對於理想氣體來說，如果他在經歷一個等熵過程，那麼會有：

$$\frac {P}{\rho ^ k} = const.$$

其中：

$$k = \frac {C_{p}}{C_{v}}$$

如果把上面的關係丟進上面那個 $c$ 的公式，會得到：

$$c = \sqrt{\frac {kP}{\rho}} = \sqrt{kRT}$$

大致上來說溫度越高，氣體中的速度越快。這個也滿符合小時候學的東西的。

## 馬赫數

定義就是：

$$M := \frac {u}{c} = \frac {移動速度}{聲速}$$

這時候當然就要講一下音爆。


1. 第一個靜止的狀態。
2. 速度比聲速慢：就會有都卜勒效應。高中有所以就不多寫了。
3. 跟聲速一樣：所有的波前都會被壓在一起。前面那個點的切線就叫做 Locus of Wave Front
4. 比聲速快：就產生 Mach Cone ：


這個 Cone 的角度叫做馬赫角 $\mu$:
$$sin{\mu} = \frac {c}{u} = \frac {1}{M}$$


# 9.3 Stagination State

這是個「假想」的狀態。討論如果把流體「絕熱」且「等熵地」降到速度為 0 之後，會變成什麼狀態，那個狀態就叫做 Stagination State。

這跟之前在學伯努力的時候，學到的 Stagination Pressure 的概念很像。只是之前不可壓縮流時，找停滯點都是速度 = 0 ，但現在是可壓縮流，所以就沒有那麼簡單了

接下來要推導各種物理量的 Stagination State，就是溫度、壓力、密度等等。

## 溫度

因為等熵，所以能量要守恆，因此：

$$E = h + \frac {u^2}{2} = const. = h_{0}$$

這個 $h_{0}$ 就是這樣要求下，這個 stagination state 的焓值。

對於「Calorically Perfect」 的氣體，這個條件的意思是流體滿足下面的條件：

$$C_{p}(T) = \frac {k}{k-1}R= const. $$

(就是 $C_{P}$ 是個常數，不隨溫度變化的意思)。

把這個條件帶入 $h$ 的定義：

$$h = C_{p}T$$

並且帶入上面那個能量守恆的等式，所以：

$$C_{p}T + \frac {1}{2}u^2 = C_{p}T_{0}$$

$$\Rightarrow \frac {T_{0}}{T} = 1 + \frac {u^2}{2C_{p}T} = 1 + \frac {(k-1)u^2}{2kRT}$$

看到那個 $kRT$ 就突然想到這個東西長很像聲速，所以就把他用聲速帶掉：

$$\frac {T_{0}}{T} = 1 + \frac {(k-1)u^2}{2c^2} = 1 + \frac {(k-1)}{2}M^2$$

這裡把 $\frac {u}{c}$ 用馬赫數帶掉。所以這樣我們就有溫度的關係了：

$$\frac {T_{0}}{T} = 1 + \frac {k-1}{2}M^2$$

## 壓力 & 密度

接著要處理壓力與密度。不過之前熱力學的時候學過，對於等商過程的任兩點，有：

$$\frac {P_{0}}{P} = (\frac {\rho_{0}}{\rho})^k = (\frac {T_{0}}{T})^{\frac {k}{k-1}}$$

既然已經有溫度的關係了，那麼就把他很方便的帶入上面的關係。因此就得到：

$$\frac {P_{0}}{P} = (1 + \frac {k-1}{2}M^2)^{\frac {k}{k-1}}$$

$$\frac {\rho_{0}}{\rho} = (1 + \frac {k-1}{2}M^2)^{\frac {1}{k-1}}$$

## 一些 Comment

這裡注意幾點：

1. 不管流體是不是等熵的，都可以訂 isentropic state。因為這只是我們假定「如果」流體等熵地降速為 0 的話，各種狀態會變成什麼。
2. 不過等不等熵的差別是在：對於本來就等熵的流體，isentropic state 會是常數; 而對於不是等熵的流體，每一點的 isentropic state 會不一樣(因為熵有在變嘛)。
3. 在推導$\frac {T_{0}}{T}$的過程中，只用到「能量守恆」，所以只要「絕熱」就可以用。但是在推導密度與壓力時，我們使用了「等熵關係的兩條關係式」，這時候就一定要等熵。

# 9.4 Steady One-dimensional Internal Flow

為求簡單，這理把它當成是一個 1D 的內流道。對於同一個截面來說，上面的性質都是一樣的。不過這樣的話，就有一些限制：

1. 尺寸不能變化太劇烈：
$$\frac {1}{A}\frac {dA}{dx} << 1$$

2. 如果管子會彎，那麼這個轉彎的「曲率半徑」要遠大於管子本身的半徑。
3. 沿著管子前進時，速度還有溫度 profile 的變化量很小。

總之就是要什麼東西都變很慢就對了。

## Area-Velocity Relation

### Continuity Equation

因為 Continuity Equation 跟你說：

$$\rho u A = const.$$

所對他微分：

$$d(\rho u A) = (uA)d\rho + (\rho A)du + (\rho u)dA = 0 $$

不過這樣看起來有點醜，所以全部同除 $\rho u A$：

$$\frac {dA}{A} + \frac {du}{u} + \frac {dA}{A} = 0$$

### Momentum Equation

接著是 Momentum Equation。這裡同樣也要有一些假設：

流體是等熵的，且忽略重力。因為等熵，所以黏滯也被砍了。因此方程式就變成一維的 Euler Equation 。把一微的速度 $(u(x), 0, 0)$ 帶入 Euler Equation 就會得到：

$$\rho u \frac {du}{dx} = -\frac {dp}{dx}$$

我們的推導就從這裡兩條等式出發。

### 推導

因為：

$$\rho u \frac {du}{dx} = -\frac {dp}{dx}$$

因此：

$$\rho u d u = -dp \Rightarrow -udu = \frac {dp}{\rho}$$

然後故意對 $\frac {dp}{\rho}$ 動點手腳，上下同除同乘 $d\rho$：

$$\frac {dp}{\rho} = \frac {dp}{d\rho}\frac {d\rho}{\rho}$$

回憶一下之前有提過：

$$c = \sqrt{(\frac {\partial p}{\partial \rho})_{s}}$$

所以把它帶回去，就得到：

$$\frac {dp}{\rho} = \frac {dp}{d\rho}\frac {d\rho}{\rho} = c^2 \frac {}{}\frac {d\rho}{\rho}$$

如果把剛剛整個過程稍微整理一下的話，其實是在做：

$$ \frac {dp}{\rho} = -udu \\[0.8cm]
\Rightarrow \frac {dp}{d\rho}\frac {d\rho}{\rho} = -u du \\[0.8cm]
\Rightarrow c^2 \frac {d\rho}{\rho} = -udu$$

先把他們寫起來。等一下兩條都會用：

$$c^2\frac {d\rho}{\rho} = \frac {dp}{\rho} = -udu$$

這時候，左右再同除 $u^2$ ：

$$\frac {c^2}{u^2}\frac {d\rho}{\rho} =\frac {dp}{\rho u ^2} = -\frac {du}{u}$$

$$\Rightarrow M^2 \frac {d\rho}{\rho}= \frac {dp}{\rho u^2} = -\frac {du}{u}$$

因此：

$$\frac {dp}{\rho u^2 } = -\frac {du}{u} = \frac {1}{M^2}\frac {d\rho}{\rho}$$

把他帶入剛剛 Continuity Equation 導出來的東西，就會得到：

$$\frac {dA}{A} = -\frac {d\rho}{\rho} - \frac {du}{u}$$

$$\Rightarrow \frac {dA}{A} = (M^2 - 1)\frac {du}{u} = -(M^2 - 1)\frac {dP}{\rho u^2}$$

注意這裡並沒有限制氣體是什麼氣體，就算氣體會發生反應，只要他是等熵的，上面這東西就可以用。

## Nozzle and Diffuser

所以如果要做像 Nozzle 或是 Diffuser 這種需要讓流體加減速的元件的話，我們引用上面推導出來的結論：

$$\frac {dA}{A} = (M^2-1)\frac {du}{u}$$

如果是希望 Nozzle 的話(也就是讓流體加速)，也就是 $\frac {du}{u} > 0$ ; 反之，如果是希望做 Diffuser 的話(也就是讓流體減速)，就要 $\frac {du}{u} < 0$ 。我們想知道該怎麼樣調整 $\frac {dA}{A}$，也就是管子的幾何形狀，來讓流體可以順利加速。不過看了一眼可以發現：這件事情會受到 $M^2 > 1$ 或 $M^2 < 1$ 影響：

1. subsonic : $M < 1$
* $dA$ 跟 $dp$ 會同號
* $dA$ 跟 $du$ 會異號

2. supersonic : $M > 1\Rightarrow M^2 - 1 > 0$
* $dA$ 跟 $dp$ 會異號
* $dA$ 跟 $du$ 會同號

其實還有第三種狀況，就是 $M = 1$。這時候 $dA = 0$

不過總之，如果想要讓速度變快的話，次音速的時後要對面積做的調整，跟超音速時要對面積做的調整，是不一樣的。因為對次音速來說，面積變小，速度會變大($dA$ 跟 $du$ 會異號); 但對於超音速來說，面積反而要變大才可以讓他繼續加速($dA$ 跟 $du$ 會同號)。

所以稍微整理一下：

||Nozzle|Diffuser|
|---|---|---|
|Flow Region|流體流過他，速度要變快，壓力要變小$$dP < 0,\ du > 0$$|流體流過時，速度變慢，壓力變小$$dP > 0,\ du < 0$$|
|$M < 1$|$dA < 0$，內縮|$dA > 0$，外擴|
|$M > 1$|$dA > 0$，外擴|$dA < 0$，內縮|

所以

1. 如果想要把流體用 Nozzle 加速到超音速的話，這樣面積就要先收縮，後外擴，這時候 Nozzle 設計就要「先收縮，後外擴」。

2. 同樣的，如果要用 diffuser 把流體從超音速減速到次音速的話，這樣仍然是要「先收縮，後外擴」。

這種東西就叫做 Convergent-Divergent Nozzle 或 Convergent-Divergent Nozzle。像下面這個東西就是 Convergent-Divergent Nozzle


如果調整壓力的話，會得到像下面那樣的結果：


主要是透過調整兩邊壓力去調節速度。

1. 1, 2, 3 是音速以下的狀況。對於次音速來說，他會覺得前面是 Nozzle, 後面是 Diffuser。所以壓力就先變小，後變大(速度就是先變大，後變小)。

2. 有部分流體達到超音速的時後，這時候兩個部分都會變成 Nozzle。但這時候又分幾個狀況：

1. 理想狀況是速度一路加快，壓力一路下降，像 Design Condition 那條曲線一樣。
2. 不過實際上，流體衝過去到一定程度的時候，會發現後面壓力不夠大，所以就撞車形成 Normal Shock (像 5. 那條曲線)。壓力越小的話，噴出去的流體就會越晚知道會撞車，所以 Normal Shock 就會越延遲。
3. 延遲到到最後， Shock 就不會在 Nozzle 裡面發生，而是在外面產生 Expansion Wave。

更多相關的主題有：

* Rayleight Flow (沒摩擦，有熱傳)
* Fanno Flow (有摩擦，沒熱傳)
* Normal Shock
* Centered Expansion Wave
* Shock Tube

其中上課有特別講的是 Shock Tube：


左邊用高壓，右邊用低壓(大概 10 大氣壓)，然後把中間打爆。這時候就會發現：

1. 空氣會從高壓噴到低壓
2. 不過，因為空氣沒有辦法短時間內全部擠過去過，所以會在洞口「塞車」。但後面的空氣還是會持續往前擠，所以就會在後方形成空氣很稀疏的區域。
3. 最後反而會因為後面壓力很低，所以前面的空氣被往後吸，形成一個 Expandion Wave

# 9.5 Classification of the External Compressible

>> 這裡主要是大概講講。

主要是透過馬赫數來分類。

1. subsonic flow :


基本款。每一點的馬赫數都 < 1

* 一般來說，只要是低攻角的話，大致上性質都是連續的。
* 壓力傳的比速度還慢，所以流體會「知道」前面有東西，流線就有時間反應，彎曲成物體的形狀。
* 對於飛機來說，實用上次音速的條件是：

$$M_{\infty} = \frac {U_{\infty}}{c} \leq 0.8$$

這是因為流體留到機翼旁邊的時候通常會加速，要把這個 quota 考慮進去。

2. Transonic Flow


剛剛有提到流體飛經機翼厚的地方，速度會變快，這裡就是「只有那部分的速度超過 1 馬赫」的狀況。

這時候中間會產生一個 shock wave, 然後後面速度會降回來次音速。

如果速度繼續加快的話，這個範圍會越來越大：


最後當馬赫數比 1 大約在 1~1.2 馬赫時，就會變成最下面的那張圖。

1. 前面看到的流體速度比聲速還快了。
2. 這時候被機翼撞到，所以速度減到速度比聲速還小，形成 Bow Shock。
3. 但是隨後又因為沿著物體動而加速，馬赫數又變得比 1 大。

4. 流到後面時，突然又發現有流體，所以速度就要調整的跟後面的流體一樣，這時候就會產生另外一個 Shock，叫做 Trailing Edge Shock。

這時候可以發現：前面鈍鈍的這種機翼永遠會有一部分沒辦法達到超音速。因為只要前面是鈍的，就會產生 Bow Shock, 流體經過他之後就會減速成 $M < 1$。

3. supersonic


處處 $M > 1$。

因為前面鈍鈍的機翼一定會產生 Bow Shock, 所以只能用尖尖的機翼。

這時候前面會有一個 oblique shock,，流體經過的時候就會偏折。

Free Stream 表現出來的行為像是「流到前面才發現有東西」，然後緊急轉彎。

4. Hypersonic Flow


$M > 5$ 的狀況。馬赫數越大，會從右邊越變成左邊，就是 oblique shock 越貼近表面的意思。

這速度真是超超超超超快 der，雷諾數也會超級大，這時候 boundary layer 會超級薄，摩擦力會很大。會產生很可觀的熱量。

這時候 shock layer 就會變得很薄，幾乎快貼到機翼上面。這時候又叫作「Entropy Layer」

(好吧我不知道 Entropy Layer 是什麼)

這也是為什麼太空梭降落的時候，不會是頭往下掉，而是腹部往下：


因為這樣會讓腹部產生 Bow Shock 而不是產生非常貼近太空梭的 Entropy Layer(會摩擦產生很多熱)，所以會讓一些部分流體不會變成超音速繼續加熱太空梭。

>> 蔡：我之前要去加州理工，要在 AIT 申請美國簽證面試的時候他問為什麼去美國。我都不敢說我是去研究「可壓縮流體」「飛彈」「超音速飛機」...。他如果知道你要做遮些一定不讓你去。這時候就要說「我是去做 Green Energy」「做風力發電的」，他就會覺得你很好心，就很容易拿到。