利用殼層定理推導電量均勻分布的球殼產生的電場

作者：王一哲 日期：2018/11/25

球殼外部

高中物理課本或是講義通常會避開這個問題，直接告訴學生經由微積分的計算後，我們可以將所有的電量集中在球心，用球心到該點的距離計算該點的電場，但是某些學生可能覺得無法接受，這時只好請出微積分這個強大的數學工具。推導過程如下：

下圖中A點是我們要計算電場的位置，B點為球殼上的某個點，O點為球心，R為球殼半徑，r為球心到A點的距離，s為A、B的距離，

$\theta$為角AOB，

$\varphi$為角OAB。其中變數為s、

$\theta$、

$\varphi$，但是由餘定理可得

$$\cos \theta =\frac{r^2+R^2-s^2}{2rR}$$

$$\cos \varphi =\frac{r^2+s^2-R^2}{2rs}$$
所以真正的變數只有s。

電量均勻分布的球殼產生的電場（外部）

接著我們在球殼上取一小段圓環，其面積為

$$dS=2\pi R\cdot \sin \theta \cdot Rd\theta =2\pi R^2\sin \theta d\theta$$
假設球殼的總電量為

$Q$，則這一小段圓環的電量為

$$dQ=\frac{Q}{4\pi R^2}dS=\frac{Q}{2}\sin \theta d\theta$$
產生的電場方向為

$\overrightarrow{OA}$方向，量值為

$$d{E}_r=\frac{kdQ}{s^2}\cdot \cos \varphi =\frac{kQ}{2s^2}\sin \theta \cos \varphi d\theta$$
由餘定理可得

$$\cos \theta =\frac{r^2+R^2-s^2}{2rR}\Rightarrow \sin \theta d\theta =\frac{s}{rR}ds$$

$$\cos \varphi =\frac{r^2+s^2-R^2}{2rs}$$
代入上式

$$d{E}_r=\frac{kQ}{2s^2}\cdot \frac{r^2+s^2-R^2}{2rs}\cdot \frac{s}{rR}ds=\frac{kQ}{4r^{2}R}\cdot \frac{r^2+s^2-R^2}{s^2}ds$$
將上式積分

$$\begin{array}{rl}\int d{E}_r& =\frac{kQ}{4r^{2}R}{\int }_{r-R}^{r+R}\frac{r^2+s^2-R^2}{s^2}ds\\ & =\frac{kQ}{4r^{2}R}{\int }_{r-R}^{r+R}(1+\frac{r^2-R^2}{s^2})ds\\ & =\frac{kQ}{4r^{2}R}{[s-\frac{r^2-R^2}{s}]}_{r-R}^{r+R}\\ & =\frac{kQ}{4r^{2}R}[(r+R)-(r-R)-\frac{r^2-R^2}{r+R}+\frac{r^2-R^2}{r-R}]\\ & =\frac{kQ}{4r^{2}R}[2R-(r-R)+(r+R)]\\ & =\frac{kQ}{r^2}\end{array}$$

球殼內部

高中物理課本或是講義在處理這個問題時，通常是將球殼分成很多兩個一組的球殼，每一小塊球殼的帶電量

$$dQ\propto area\propto r^2$$
但是產生的電場

$$dE\propto \frac{dQ}{r^2}\propto \frac{r^2}{r^2}=1$$
因此兩小塊球殼產生的電場會抵消。如果將整個球殼按照這樣的方式分成很多組，每一組產生的電場都會抵消，可以推論電量均勻分布的球殼內部的電場為0。

如果覺得無法接受，我們只好又請出微積分，推導過程與球殼外部的電場推導過程很像，如下圖所示：

電量均勻分布的球殼產生的電場（內部）

所有的符號定義與球殼外部的電場推導過程皆相同，但是將積分上、下限分別修改為

$R+r$、

$R-r$，因此

$$\begin{array}{rl}\int d{E}_r& =\frac{kQ}{4r^{2}R}{\int }_{R-r}^{R+r}\frac{r^2+s^2-R^2}{s^2}ds\\ & =\frac{kQ}{4r^{2}R}{\int }_{R-r}^{R+r}(1+\frac{r^2-R^2}{s^2})ds\\ & =\frac{kQ}{4r^{2}R}{[s-\frac{r^2-R^2}{s}]}_{R-r}^{R+r}\\ & =\frac{kQ}{4r^{2}R}[(R+r)-(R-r)-\frac{r^2-R^2}{R+r}+\frac{r^2-R^2}{R-r}]\\ & =\frac{kQ}{4r^{2}R}[2r-(r-R)-(r+R)]\\ & =0\end{array}$$

結語

這個推導過程基本上是參考〈維基百科-殼層定理〉改寫的，原來的條目主要是在推導重力場，只是我將它改成電場的版本，希望這樣的數學推導過程對於各位同學有一點參考價值。

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