$$
z_M(t) = h - g \frac{t^2}{2} \\
z_A(t) = v_{A,0} t - g \frac{t^2}{2} \\
g = 9.81\;\text{m}/\text{s}^2
$$

---

La quota di $M$ e $A$ coincide ad un $\hat t$ tale che $z_M(\hat t) = z_A(\hat t)$, da cui:

$$
h - g \frac{{\hat t}^2}{2} = v_{A,0} \hat t - g \frac{{\hat t}^2}{2} \\
h = v_{A,0}\hat t \\
\hat t = \frac{h}{v_{A,0}} = \frac{16\;\text{m}}{10\;\text{m}/\text{s}} = 1.6\;\text{s}
$$

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Ora vogliamo trovare la $v_{A,0}$ tale per cui la quota a cui $M$ e $A$ coincide è minima; dato che entrambi i corpi non possono scendere sotto $z = 0$, poniamo $z_M(\hat t) = 0$. Da questa otteniamo, sostituendo il risultato precedente per $\hat t$ e risolvendo per $v_{A,0}$,

$$
h - g \frac{{\hat t}^2}{2} = 0 \\
g \frac{{\hat t}^2}{2} = h \\
g \frac{h^2}{2 v^2_{A,0}} = h \\
v^2_{A,0} = \frac{hg}{2} \\
v_{A,0} = \pm \sqrt{\frac{hg}{2}}
$$

Delle due soluzioni ci interessa solo quella positiva (dato che stiamo lanciando $A$ verso l'alto, non scagliandolo nel suolo); sostituendo i valori, si ha

$$
v_{A,0} = + \sqrt{\frac{hg}{2}} = \sqrt{\frac{16\;\text{m} \cdot 9.81\;\text{m}/\text{s}^2}{2}} = \sqrt{78.48\;\text{m}^2/\text{s}^2} = 8.86\;\text{m}/\text{s}
$$