一般の測定
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# テンソル積の性質

ヒルベルト空間$\{\mathcal{H}_i\}$のテンソル積$\otimes_i \mathcal{H}$を考えましょう．
$\mathcal{H}_i$の正規直交基底を$\{\lvert e_{ij} \rangle\}$として，$\lvert e_{ij} \rangle$全体を正規直交基底とする線型空間を$\otimes_i \mathcal{H}$とします．
和とスカラー積は元の空間からそのまま入ります．
内積は？→ https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product_of_Hilbert_spaces →これそのままやないやろ！！！！
つまりは各部分空間ごとの内積の積！！！！！！！！！

# 一般の測定
『量子プログラミングの基礎』p.30

$M = \{M_m\}$をヒルベルト空間$\mathcal{H}$の量子測定としましょう．
つまり，$m$を「測定結果」として
\begin{align}
\sum_m M_m^\dagger M_m = I_\mathcal{H}.
\end{align}

ここで，ヒルベルト空間$\mathcal{H}_M$を$m$に対応するベクトル$\lvert m \rangle$を
\begin{align}
\lvert m\rangle &\perp \lvert m' \rangle\quad(m \neq m') \\
\langle m \vert m \rangle &= 1
\end{align}
となるように用意して
\begin{align}
\mathcal{H}_M = \mathrm{span}\{\lvert m \rangle\}
\end{align}
と定義します．$\mathcal{H}_m$が「測定器（アンシラ）」の状態に対応します．
↑アンシラって何？

$\lvert 0 \rangle\in\mathcal{H}_m$を適当に一つとって固定します．
ここで，作用素$U_M$を任意の$\lvert\psi\rangle\in\mathcal{H}$に対して
\begin{align}
U_M(\lvert 0\rangle\lvert\psi\rangle) = \sum_m \lvert m\rangle M_m\lvert\psi\rangle
\end{align}
となるように定義します．すると$U_M$が内積を保つことは簡単に確認できます（それマジ？？？？）．よって，補題2.1.22から$U_M$を$\mathcal{H}_M\otimes\mathcal{H}$のユニタリ作用素に拡張できます．この拡張された作用素も$U_M$と呼びます．

# 確認
$\mathcal{H}_M$側の不定性は$\mathcal{H}\to\mathcal{H}_M\otimes\mathcal{H}$の拡張のときに良い感じにするということでしょうね．
理解した.
線型作用素$U: \mathcal{H}\to\mathcal{H}_M\otimes\mathcal{H}$を
\begin{align}
U_M\lvert\psi\rangle = \sum_m \lvert m\rangle M_m\lvert\psi\rangle
\end{align}
と定義してこれが内積を保つことを確認しましょうということだ．

任意の$\lvert\phi\rangle, \lvert\psi\rangle \in \mathcal{H}$をとります．
\begin{align}
(U_M\lvert\phi\rangle, U_M\lvert\psi\rangle)
&= \left(\sum_m \lvert m\rangle M_m\lvert\phi\rangle, \sum_{m'} \lvert m'\rangle M_{m'}\lvert\psi\rangle\right) \\
&= \sum_m \sum_{m'} (\lvert m\rangle M_m\lvert \phi\rangle, \lvert m'\rangle M_{m'}\lvert \psi\rangle) \\
&= \sum_m \sum_{m'} \underbrace{\langle m\vert m' \rangle}_{\delta_{mm'}} \times \langle \phi\rvert M_m^\dagger M_{m'} \lvert\psi \rangle \\
&= \sum_m \langle \phi\rvert M_m^\dagger M_m \lvert\psi \rangle \\
&= \langle \phi\rvert \left(\sum_m M_m^\dagger M_m \right) \lvert\psi \rangle \\
&= \langle\phi\vert\psi\rangle
\end{align}
（確認終）