自由落下

作者：王一哲
日期：2018/3/19

這次讓物體加上重力的作用，目標是畫出小球從某個高度往下加速落到地板上，並畫出小球的 y-t 圖、 v-t 圖，分為3個不同的狀況：

1. 小球觸地時停止　（GlowScript 網站動畫連結）
2. 小球觸地時反彈　（GlowScript 網站動畫連結）
3. 小球觸地時反彈, 恢復係數為e　（GlowScript 網站動畫連結）

成果如下：

自由落下畫面截圖

小球觸地時停止： y-t 圖及 v-t 圖

小球觸地時反彈： y-t 圖及 v-t 圖

小球觸地時反彈，e = 0.9： y-t 圖及 v-t 圖

小球觸地時反彈，e = 0.8： y-t 圖及 v-t 圖

程式 4-1：自由落下 （取得程式碼）

"""
 VPython教學: 4-1.自由落下
 Ver. 1: 2018/2/18
 Ver. 2: 2019/9/6
 作者: 王一哲
"""
from vpython import *

"""
 1. 參數設定, 設定變數及初始值
"""
size = 1     # 小球半徑
h = 15       # 小球離地高度
g = 9.8      # 重力加速度 9.8 m/s^2
t = 0        # 時間
dt = 0.001   # 時間間隔

"""
 2. 畫面設定
"""
scene = canvas(title="Free Fall", width=600, height=600, x=0, y=0, center=vec(0, h/2, 0), background=vec(0, 0.6, 0.6))
floor = box(pos=vec(0, 0, 0), size=vec(40, 0.01, 10), color=color.blue)
ball = sphere(pos=vec(0, h, 0), radius=size, color=color.red, v=vec(0, 0, 0), a=vec(0, -g, 0))
gd = graph(title="plot", width=600, height=450, x=0, y=600, xtitle="t(s)", ytitle="blue: y(m), red: v(m/s)")
yt = gcurve(graph=gd, color=color.blue)
vt = gcurve(graph=gd, color=color.red)

"""
 3. 物體運動部分, 小球觸地時停止
"""
while ball.pos.y - floor.pos.y > size + 0.5*floor.height:
    rate(1000)
    ball.v += ball.a*dt
    ball.pos += ball.v*dt
    yt.plot(pos=(t, ball.pos.y))
    vt.plot(pos=(t, ball.v.y))
    t += dt

print("t = ", t)

參數設定

在此定義的變數有 size、h、g、t、dt，用途都已經寫在該行的註解中。

畫面設定

sphere

與前一個例子相比，這次新增的函式為 sphere，功能是用來畫出球體。sphere 是英文的球、球體，在 VPython 中用來產生球體，在這個程式中用來產生小球 ball。[3] 在產生物件時通常會調整的選項為：

• pos: 球心位置，數值為向量，vector(x, y, z)，vector 也可以簡化為 vec。
• radius: 半徑，數值為純量。
• color: 顏色。

也可以在產生物件後，用

[物件名稱].[選項] =

來調整物件的屬性，例如質量 m、位置 pos、速度 v、加速度 a、動量 p……等等。因此以下兩行程式碼的功能，是將名稱為 ball 的 sphere 物件速度設為 (0, 0, 0)、加速度設為 (0, -g, 0)。

ball.v = vec(0, 0, 0)
ball.a = vec(0, -g, 0)

graph

graph是英文的圖，在 VPython 中用來產生繪圖視窗。[4] ，在這個程式中我將繪圖視窗命名為 gd，並將小球的 y-t 圖和 v-t 圖畫在同一個視窗當中。

物體運動

利用一個 while 迴圈每隔一小段時間 dt 更新一次物體的狀態，由於我希望當小球接觸到地板時程式停止運作，因此在 while 裡設定的條件為

ball.pos.y - floor.pos.y > size + 0.5*floor.height

當條件成立時繼續執行。接下來逐行說明程式碼的用途。

1. rate(1000) 是指每秒更新動畫1000次。
2. ball.v += ball.a*dt 用來更新小球的速度，用 ball.v 讀取小球的速度，將讀取到的值加上加速度乘以一小段時間，再重新指定給小球的速度。由於所取的時間長度 dt 很短，可以當成是一小段等加速度運動，因此本式就是
   $$v=v_0+at$$
3. ball.pos += ball.v*dt 用來更新小球的位置，用 ball.pos 讀取小球的位置，將讀取到的值加上速度乘以一小段時間，再重新指定給小球的位置。由於所取的時間長度 dt 很短，可以當成是一小段等速度運動，因此本式就是
   $$s=v\times dt$$
4. yt.plot(pos = (t, ball.pos.y)) 用來畫小球的 y-t 圖。
5. vt.plot(pos = (t, ball.v.y)) 用來畫小球的 v-t 圖。
6. t += dt 用來更新時間。
7. print("t = ", t) 印出整個運動經過的時間。
   
   

程式 4-2：自由落下，小球觸地時反彈 （取得程式碼）

"""
 VPython教學: 4-2.自由落下, 小球觸地時反彈
 Ver. 1: 2018/2/18
 Ver. 2: 2019/9/6
 作者: 王一哲
"""
from vpython import *

"""
 1. 參數設定, 設定變數及初始值
"""
size = 1     # 小球半徑
h = 15       # 小球離地高度
g = 9.8      # 重力加速度 9.8 m/s^2
t = 0        # 時間
dt = 0.001   # 時間間隔

"""
 2. 畫面設定
"""
scene = canvas(title="Free Fall", width=600, height=600, x=0, y=0, center=vec(0, h/2, 0), background=vec(0, 0.6, 0.6))
floor = box(pos=vec(0, 0, 0), size=vec(40, 0.01, 10), color=color.blue)
ball = sphere(pos=vec(0, h, 0), radius=size, color=color.red, v=vec(0, 0, 0), a=vec(0, -g, 0))
gd = graph(title="plot", width=600, height=450, x=0, y=600, xtitle="t(s)", ytitle="blue: y(m), red: v(m/s)")
yt = gcurve(graph=gd, color=color.blue)
vt = gcurve(graph=gd, color=color.red)

"""
 3. 物體運動部分, 小球觸地時反彈
"""
while t < 20:
    rate(1000)
    ball.v += ball.a*dt
    ball.pos += ball.v*dt
    yt.plot(pos=(t, ball.pos.y))
    vt.plot(pos=(t, ball.v.y))
    if ball.pos.y - floor.pos.y <= size + 0.5*floor.height and ball.v.y < 0:
        ball.v.y = -ball.v.y
    t += dt

print("t = ", t)

程式 4-2 與 4-1 幾乎一模一樣，只是為了使小球在接觸地板時反彈，在物體運動部分增加了

if ball.pos.y - floor.pos.y <= size + 0.5*floor.height and ball.v.y < 0:
    ball.v.y = -ball.v.y

若 ball.pos.y - floor.pos.y <= size + 0.5*floor.height 代表小球碰到地板，若 ball.v.y < 0 代表小球速度向下，當兩個條件同時成立時，代表小球正在向下運動並撞到地板，小球反彈後速度由負變為正，因此將 ball.v.y 的乘上負號後再指定回 ball.v.y。

程式 4-3：自由落下，小球觸地時反彈，恢復係數為e （取得程式碼）

"""
 VPython教學: 4-3.自由落下, 小球觸地時反彈, 恢復係數為e
 Ver. 1: 2018/2/19
 Ver. 2: 2019/9/6
 作者: 王一哲
"""
from vpython import *

"""
 1. 參數設定, 設定變數及初始值
"""
size = 1     # 小球半徑
e = 0.9      # 恢復係數
i = 0        # 小球撞地板次數
N = 20       # 小球撞地板次數上限, 到達上限後停止運作
h = 15       # 小球離地高度
g = 9.8      # 重力加速度 9.8 m/s^2
t = 0        # 時間
dt = 0.001   # 時間間隔

"""
 2. 畫面設定
"""
scene = canvas(title="Free Fall", width=600, height=600, x=0, y=0, center=vec(0, h/2, 0), background=vec(0, 0.6, 0.6))
floor = box(pos=vec(0, 0, 0), size=vec(40, 0.01, 10), color=color.blue)
ball = sphere(pos=vec(0, h, 0), radius=size, color=color.red, v=vec(0, 0, 0), a=vec(0, -g, 0))
gd = graph(title="plot", width=600, height=450, x=0, y=600, xtitle="t(s)", ytitle="blue: y(m), red: v(m/s)")
yt = gcurve(graph=gd, color=color.blue)
vt = gcurve(graph=gd, color=color.red)

"""
 3. 物體運動部分, 小球觸地時反彈
"""
while i < N:
    rate(1000)
    ball.v += ball.a*dt
    ball.pos += ball.v*dt
    yt.plot(pos=(t, ball.pos.y))
    vt.plot(pos=(t, ball.v.y))
    if ball.pos.y - floor.pos.y <= size + 0.5*floor.height and ball.v.y < 0:
        ball.v.y = -ball.v.y*e
        i += 1
    t += dt

print("i = ", i)
print("t = ", t)

程式 4-3 與 4-2 幾乎一模一樣，以下只說明不同之處。

1. 由於小球與地板間不是彈性碰撞，因此定義恢復係數
   

   $$e=\frac{v^{\prime }}{v}$$
   其中
   $v$為撞前速度量值、
   $v^{\prime }$為撞後速度量值。發生碰撞時執行的程式碼改為
   ​​​​ball.v.y = -ball.v.y*e
   

2. 為了計算小球、地板撞擊次數，並在撞擊20次時停止程式，新增變數 i = 0 （小球撞地板次數，預設值為0）、N = 20（小球撞地板次數上限, 到達上限後停止運作），while 迴圈的條件改為 i < N，每次發生碰撞時將 i 的數值 +1。

3. 為了使小球撞擊地板時的條件更精準需要考慮地板的厚度，因此 if 的條件改為

   ​​​​ ball.pos.y - floor.pos.y <= size + 0.5*floor.height and ball.v.y < 0
   

   上式中 floor.height 是用來讀取物件 floor 的高度值。
   
   

結語

其實程式 4-1、4-2 是為了寫出 4-3 的前置作業，先寫出最簡單程式再慢慢把條件加上去，不需要一口氣就寫出很複雜的程式，那樣難度太高了。在程式 4-3 中，可以試著將 e 改成不同的值，觀察反彈高度及運動時間的變化。也可以拿一顆球實際測試看看，如果想要增加實驗的精準度，可以將小球的運動過程錄影，再用影像分析軟體 Tracker 找出小球的 y-t、v-t 圖，同時也把測得的 e 值代入程式 4-3 中，看看理論與實驗值有何差異。

VPython官方說明書

1. canvas: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/canvas.html
2. box: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/box.html
3. sphere: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/sphere.html
4. graph: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/graph.html

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