# 二次曲線光學性質
> 作者：王一哲
> 日期：2018/2/12
二次曲線的光學性質
1. 從橢圓其中一個焦點發出的光，經過橢圓面反射後會通過另一個焦點。
2. 平行主軸的入射光經過抛物面反射後會匯聚在焦點。
3. 從一個焦點發出的光線經過雙曲線反射後，反射光的延長線會經過另一個焦點。
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1. 橢圓光學性質 https://ggbm.at/GGbB9kGH
2. 抛物線光學性質 https://ggbm.at/RSPYhcBF
3. 雙曲線光學性質 https://ggbm.at/dA3JehQw
## 橢圓繪圖步驟
1. 新增控制半長軸 a、焦距 c 的數值滑桿，指令為
```latex
a = Slider(1, 5, 0.1)
c = Slider(0, a-0.1, 0.1)
```
由於橢圓 $a > c$，故 $c$ 的極大值設為 $a - 0.1$。
2. 在原點上新增點 O。
```latex
O = Point({0, 0})
```
3. 利用 Segment 指令，以 O 為起點向右畫出長度為 c 的線段，線段的右端會自動新增一個點，將它重新命名為 C<sub>1</sub>，再用點對稱畫出左側的焦點 C<sub>2</sub>，指令為
```latex
f = Segment(O, c)
C_2 = Reflect(C_1, O)
```
這樣做的用處在於，當我們拖曳C<sub>1</sub>時只會旋轉橢圓，不會改變焦距 c。
4. 畫出橢圓 d
```latex
d = Ellipse(C_1, C_2, a)
```
橢圓的指令有3種格式
```latex
(1) Ellipse(焦點1名稱, 焦點2名稱, 半長軸長度)
(2) Ellipse(焦點1名稱, 焦點2名稱, 線段名稱)
(3) Ellipse(焦點1名稱, 焦點2名稱, 橢圓上任一點名稱)
```
我們用的是第1種。
<img height="100%" width="100%" src="https://lh3.googleusercontent.com/EZpSrKnDbDxw6UXkUk7W3T7TCt4jcHJC3tPXWUu_sV2ZX_kkjrZiPlJaEOCEofUOLi5aGHJid_TrfDUtdjhKmeAKLT0fLsnzfxUhHrF1_HH3j9RhiHIITiltDCI84CHDoxQhTUT4" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">橢圓光學性質步驟 1 ~ 4 成果</div>
</br>
5. 在橢圓 d 上新增動點 P，畫出通過點 P 的切線 g 、法線 h。
```latex
P = Point(d)
g = Tangent(P, d)
h = PerpendicularLine(P, g)
```
上式中用到的切線指令格式為
```latex
Tangent(曲線上的點名稱, 曲線名稱)
```
另外還有很多不同寫法，請參考官方說明書。
6. 畫出焦點 C<sub>1</sub>、C<sub>2</sub>、 P 之間的連線，畫出法線 h 和焦點連線的交點 Q。
```latex
i = Segment(C_1, P)
j = Segment(C_2, P)
k = Segment(C_1, C_2)
Q = Intersect(h, k)
```
7. 標示 $\theta_1 = \angle QPC_1$、$\theta_2 = \angle C_2PQ$，可以看出 $\theta_1 = \theta_2$，符合反射定律。
```latex
θ_1 = Angle(Q, P, C_1)
θ_2 = Angle(C_2, P, Q)
```
<img height="100%" width="100%" src="https://lh5.googleusercontent.com/ka_XsWYSWdqVoE4FDUQJWrsHwLLno78xXgQ5fNvhdSCmAAUsUg1uy9SfGdmHvvnf9bvhs7AEkgOr1b6_2ZFhVtwFW_wFFc-WgSQNMNl3sbodUhc1uz5PCYke39tz6qk5pWw90XGT" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">橢圓光學性質最終成果</div>
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<img height="100%" width="100%" src="https://lh6.googleusercontent.com/BOUMnuQmWFV8RaGzGuQ_HdFXuq77_WgBdkWXfowXZOynX5hBGEeEbpTgO_Y1dXUrzzVHq6O3qCznzRgPcfcSLLhjTYjnlCw_Cyb86V7u-GoOLH_zp9Ssyb7o7jcRoN4uzYN_uhyc" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">橢圓光學性質最終成果（旋轉橢圓）</div>
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## 抛物線繪圖步驟
1. 在 x 軸上新增焦點 C、準線通過的點 A，手動把點 A 拉到右側。
```latex
C = Point(xAxis)
A = Point(xAxis)
```
2. 畫出主軸 f、準線 g、抛物線 d
```latex
f = Line(C, A)
g = PerpendicularLine(A, f)
d = Parabola(C, g)
```
上式中抛物線指令的格式為
```latex
Parabola(焦點名稱, 準線名稱)
```
<img height="100%" width="100%" src="https://lh5.googleusercontent.com/pD2ipaykas9rhe3OI4iuWfNxXKG29djPlZTAyMMM5_jOgUhZdKR9RbsM5rm6JmuUOs0ZKjIA5DJZfs4LvmUUhZk4C_1DtJlnyPQ0wgx3bMS3rENaNVT8DEeVT6JEO7vMq4smvLUA" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center"> 抛物線光學性質步驟 1 ~ 2 成果</div>
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3. 在抛物線 d 上新增動點 P，畫出通過點 P 與主軸平行的直線 h，在 h 上新增點 B 並手動拉到左側，畫出射線 PB 作為入射光。
```latex
P = Point(d)
h = Line(P, f)
B = Point(h)
i = Ray(P, B)
```
4. 畫出通過點 P 的切線 j 、法線 k，用線對稱畫出反射光 i'。可以任意地拖曳點 P，反射光都會通過焦點 C。
```latex
j = Tangent(P, d)
k = PerpendicularLine(P, j)
i' = Reflect(i, k)
```
<img height="100%" width="100%" src="https://lh6.googleusercontent.com/hTlrGo1wYcdgpVifSpPhIfC9E_Hmj_WYRCdUuVieIlPZpNOijUxzm7qSRc5lfq3mXX9lOSgvdyug0s_8Coc-64fsml4s_1_2dgdTOyVAGaQNOWVD0h6ozRbbRx03l4Ok4PS-Nim_" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">橢圓光學性質最終成果</div>
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## 雙曲線繪圖步驟
1. 新增控制焦距 c、半長軸 a 的數值滑桿，指令為
```latex
c = Slider(1, 5, 0.1)
a = Slider(0, c-0.1, 0.1)
```
手動調整數值 c = 2、a = 1。
2. 在原點上新增點 O。
```latex
O = Point({0, 0})
```
3. 利用 Segment 指令，以 O 為起點向右畫出長度為 c 的線段，線段的右端會自動新增一個點，將它重新命名為 C<sub>1</sub>，再用點對稱畫出左側的焦點 C<sub>2</sub>，指令為
```latex
f = Segment(O, c)
C_2 = Reflect(C_1, O)
```
這樣做的用處在於，當我們拖曳C<sub>1</sub>時只會旋轉雙曲線，不會改變焦距 c。
4. 畫出雙曲線 d
```latex
d = Hyperbola(C_1, C_2, a)
```
<img height="100%" width="100%" src="https://lh4.googleusercontent.com/LWS9Hjb1nPzUXLiHpo9KWDPIkuaMM3dYagnQxO8UWY8FVAVvmOMioooALtBHMOMiOKl_BziakYQFn0GVdHj_7S2nncncjTbmx3gRyANhTiiN9O1YIXGs_vlM0b0mcrCwa1ACuIDo" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">雙曲線光學性質步驟 1 ~ 4 成果</div>
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5. 在雙曲線 d 上新增動點 P，畫出通過點 P 的切線 g 、法線 h。
```latex
P = Point(d)
g = Tangent(P, d)
h = PerpendicularLine(P, g)
```
6. 畫出射線 i 當作入射光，利用線對稱畫出反射光 i’，再沿著反射光畫出反射線的延長線 j。
```latex
i = Ray(P, C_1)
i' = Reflect(i, h)
j = Line(P, i')
```
<img height="100%" width="100%" src="https://lh5.googleusercontent.com/7UVIqPaVXf9z3kltNmfTT8cwlq-yXA459FVJPGWEM2SYJxEHQhYWtValBKrTVW4QP9loBqrnGxXQfXNXIJryZs0DqFDjCHqPOIrOvxwl3nEpdLci2j4zqRgx8gBdbeqFgITl0Xvm" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">雙曲線光學性質最終成果</div>
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<img height="100%" width="100%" src="https://lh3.googleusercontent.com/QR2d2s0My9nOigABNdIqmwgfyRKougACWaV4_qucS6RT96rvBkilSmdvklj7Ie1Nf2MOMdj-QCSUmg6u4i8q9HXJQtAuD7TDxnRMiuYdi7fcNRQZBCPMI41tNdcPDo6CMMdnRMHO" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center"> 雙曲線光學性質最終成果（旋轉雙曲線）</div>
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## 相關指令的官方說明書
1. 數值滑桿 https://wiki.geogebra.org/en/Slider_Command
2. 點 https://wiki.geogebra.org/en/Point_Command
3. 線段 https://wiki.geogebra.org/en/Segment_Command
4. 橢圓 https://wiki.geogebra.org/en/Ellipse_Command
5. 切線 https://wiki.geogebra.org/en/Tangent_Command
6. 垂直線 https://wiki.geogebra.org/en/PerpendicularLine_Command
7. 畫角度 https://wiki.geogebra.org/en/Angle_Command
8. 抛物線 https://wiki.geogebra.org/en/Parabola_Command
9. 直線 https://wiki.geogebra.org/en/Line_Command
10. 射線 https://wiki.geogebra.org/en/Ray_Command
11. 線對稱 https://wiki.geogebra.org/en/Reflect_Command
12. 雙曲線 https://wiki.geogebra.org/en/Hyperbola_Command
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