二次曲線光學性質

作者：王一哲
日期：2018/2/12

二次曲線的光學性質

1. 從橢圓其中一個焦點發出的光，經過橢圓面反射後會通過另一個焦點。
2. 平行主軸的入射光經過抛物面反射後會匯聚在焦點。
3. 從一個焦點發出的光線經過雙曲線反射後，反射光的延長線會經過另一個焦點。

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1. 橢圓光學性質 https://ggbm.at/GGbB9kGH
2. 抛物線光學性質 https://ggbm.at/RSPYhcBF
3. 雙曲線光學性質 https://ggbm.at/dA3JehQw

橢圓繪圖步驟

1. 新增控制半長軸 a、焦距 c 的數值滑桿，指令為

   ​​​​a = Slider(1, 5, 0.1)
   ​​​​c = Slider(0, a-0.1, 0.1)
   

   由於橢圓

   $a>c$，故
   $c$ 的極大值設為
   $a-0.1$。

2. 在原點上新增點 O。

   ​​​​O = Point({0, 0})
   

3. 利用 Segment 指令，以 O 為起點向右畫出長度為 c 的線段，線段的右端會自動新增一個點，將它重新命名為 C₁，再用點對稱畫出左側的焦點 C₂，指令為

   ​​​​f = Segment(O, c)
   ​​​​C_2 = Reflect(C_1, O)
   

   這樣做的用處在於，當我們拖曳C₁時只會旋轉橢圓，不會改變焦距 c。

4. 畫出橢圓 d

   ​​​​d = Ellipse(C_1, C_2, a)
   

   橢圓的指令有3種格式

   ​​​​(1) Ellipse(焦點1名稱, 焦點2名稱, 半長軸長度)
   ​​​​(2) Ellipse(焦點1名稱, 焦點2名稱, 線段名稱)
   ​​​​(3) Ellipse(焦點1名稱, 焦點2名稱, 橢圓上任一點名稱)
   

   我們用的是第1種。

橢圓光學性質步驟 1 ~ 4 成果

5. 在橢圓 d 上新增動點 P，畫出通過點 P 的切線 g 、法線 h。

   ​​​​P = Point(d)
   ​​​​g = Tangent(P, d)
   ​​​​h = PerpendicularLine(P, g)
   

   上式中用到的切線指令格式為

   ​​​​Tangent(曲線上的點名稱, 曲線名稱)
   

   另外還有很多不同寫法，請參考官方說明書。

6. 畫出焦點 C₁、C₂、 P 之間的連線，畫出法線 h 和焦點連線的交點 Q。

   ​​​​i = Segment(C_1, P)
   ​​​​j = Segment(C_2, P)
   ​​​​k = Segment(C_1, C_2)
   ​​​​Q = Intersect(h, k)
   

7. 標示

   ${\theta }_1=\mathrm{\angle }QP{C}_1$、
   ${\theta }_2=\mathrm{\angle }{C}_{2}PQ$，可以看出
   ${\theta }_1={\theta }_2$，符合反射定律。
   ​​​​θ_1 = Angle(Q, P, C_1)
   ​​​​θ_2 = Angle(C_2, P, Q)
   

橢圓光學性質最終成果

橢圓光學性質最終成果（旋轉橢圓）

抛物線繪圖步驟

1. 在 x 軸上新增焦點 C、準線通過的點 A，手動把點 A 拉到右側。

   ​​​​C = Point(xAxis)
   ​​​​A = Point(xAxis)
   

2. 畫出主軸 f、準線 g、抛物線 d

   ​​​​f = Line(C, A)
   ​​​​g = PerpendicularLine(A, f)
   ​​​​d = Parabola(C, g)
   

   上式中抛物線指令的格式為

   ​​​​Parabola(焦點名稱, 準線名稱)
   

抛物線光學性質步驟 1 ~ 2 成果

3. 在抛物線 d 上新增動點 P，畫出通過點 P 與主軸平行的直線 h，在 h 上新增點 B 並手動拉到左側，畫出射線 PB 作為入射光。

   ​​​​P = Point(d)
   ​​​​h = Line(P, f)
   ​​​​B = Point(h)
   ​​​​i = Ray(P, B)
   

4. 畫出通過點 P 的切線 j 、法線 k，用線對稱畫出反射光 i'。可以任意地拖曳點 P，反射光都會通過焦點 C。

   ​​​​j = Tangent(P, d)
   ​​​​k = PerpendicularLine(P, j)
   ​​​​i' = Reflect(i, k)
   

橢圓光學性質最終成果

雙曲線繪圖步驟

1. 新增控制焦距 c、半長軸 a 的數值滑桿，指令為

   ​​​​c = Slider(1, 5, 0.1)
   ​​​​a = Slider(0, c-0.1, 0.1)
   

   手動調整數值 c = 2、a = 1。

2. 在原點上新增點 O。

   ​​​​O = Point({0, 0})
   

3. 利用 Segment 指令，以 O 為起點向右畫出長度為 c 的線段，線段的右端會自動新增一個點，將它重新命名為 C₁，再用點對稱畫出左側的焦點 C₂，指令為

   ​​​​f = Segment(O, c)
   ​​​​C_2 = Reflect(C_1, O)
   

   這樣做的用處在於，當我們拖曳C₁時只會旋轉雙曲線，不會改變焦距 c。

4. 畫出雙曲線 d

   ​​​​d = Hyperbola(C_1, C_2, a)
   

雙曲線光學性質步驟 1 ~ 4 成果

5. 在雙曲線 d 上新增動點 P，畫出通過點 P 的切線 g 、法線 h。

   ​​​​P = Point(d)
   ​​​​g = Tangent(P, d)
   ​​​​h = PerpendicularLine(P, g)
   

6. 畫出射線 i 當作入射光，利用線對稱畫出反射光 i’，再沿著反射光畫出反射線的延長線 j。

   ​​​​i = Ray(P, C_1)
   ​​​​i' = Reflect(i, h)
   ​​​​j = Line(P, i')
   

雙曲線光學性質最終成果

雙曲線光學性質最終成果（旋轉雙曲線）

相關指令的官方說明書

1. 數值滑桿 https://wiki.geogebra.org/en/Slider_Command
2. 點 https://wiki.geogebra.org/en/Point_Command
3. 線段 https://wiki.geogebra.org/en/Segment_Command
4. 橢圓 https://wiki.geogebra.org/en/Ellipse_Command
5. 切線 https://wiki.geogebra.org/en/Tangent_Command
6. 垂直線 https://wiki.geogebra.org/en/PerpendicularLine_Command
7. 畫角度 https://wiki.geogebra.org/en/Angle_Command
8. 抛物線 https://wiki.geogebra.org/en/Parabola_Command
9. 直線 https://wiki.geogebra.org/en/Line_Command
10. 射線 https://wiki.geogebra.org/en/Ray_Command
11. 線對稱 https://wiki.geogebra.org/en/Reflect_Command
12. 雙曲線 https://wiki.geogebra.org/en/Hyperbola_Command

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