# GeoGebra初學指引

>作者：王一哲　　　　　日期：2018/8/7

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## 什麼是GeoGebra

GeoGebra 的名稱是由兩個單字組成的

> <font color = "red">Geo</font>metry （幾何）+ Al<font color = "red">gebra</font> （代數）

這是一套基於 GPL 發行的數學動態繪圖軟體，主要是以 JAVA 和 HTML5 寫成的，我覺得目前的功能已經足以應付高中課堂的需求。下圖是我用 GeoGebra 繪製的圓形波傳播方式示意圖，如果要在黑板上畫出25個點波源以及圓形波前，可能畫完就下課了，但是用 GeoGebra 可以很快就畫好，還可以當場調整點波源的數量。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/zSWnaWI.png">
<div style="text-align:center">圓形波傳播方式示意圖</div>

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## 下載及安裝

以下是 GeoGebra 的首頁(https://www.geogebra.org/)

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/FgD2fHI.png">
<div style="text-align:center">GeoGebra 首頁</div>
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其中**新數學應用**與**經典應用**是線上版軟體，可以直接在瀏覽器上面執行。但是我們想在電腦上安裝 GeoGebra ，請按右下角的**離線應用**當中的**應用下載**。在下載頁面當中有6種不同的軟體，我選擇的是最傳統的**GeoGebra Classic 5**。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/lCDQR8Y.png">
<div style="text-align:center">GeoGebra 下載頁面</div>
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下載完安裝檔之後，就是 Windows 傳統的安裝方式，全部採用預設值，一直按下一步就對了。如果不想安裝軟體，也可以下載免安裝版本，下載後只要解壓縮就可以使用，[下載連結在此](https://drive.google.com/open?id=1HgvpD30o3uCnlLUfEJdeF7pA6lxfDbxW)。
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## 選擇 GeoGebra Classic 5 或 6？

以下分別是 GeoGebra Classic 5 和 6 開啟新檔案後的畫面，比較明顯的差異在於 5 的下方是輸入指令的欄位，6 的下方則是提示輸入格式的虛擬鍵盤，輸入指令的欄位被移到左側。在運行速度方面，我試著用 5 和 6 開啟同一個檔案，在執行動畫功能時，5 的運作比較流暢，6 則有點卡，因此建議以 5 為主。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/7GPc7qR.png">
<div style="text-align:center">GeoGebra Classic 5 開啟新檔案後的畫面</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/7dnrqK6.png">
<div style="text-align:center">GeoGebra Classic 6 開啟新檔案後的畫面</div>
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## 利用工具列繪製三角形

利用內建的繪圖工具就可畫出許多數學課本上面的圖，以下以三角形的重心、內心、外心、垂心為例，線上版的檔案連結為 https://ggbm.at/edte8mtt

### 三角形重心

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/mjKG9Os.png">
<div style="text-align:center">三角形重心</div>
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三角形重心的定義為**3中線交點**，因此我們需要先畫出一個三角形，再畫出3個中點，用線段工具畫出中線，最後用交點工具畫出3中線交點，詳細的步驟如下：

1. 選取工具新點，用滑鼠左鍵在繪點視窗上點3下，畫出點A、B、C。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/N0c5ks9.png">
<div style="text-align:center">新點工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/Wo8Hnbn.png">
<div style="text-align:center">隨意畫上的3個點</div>
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2. 如果要修改點的樣式，可以用在點C上按滑鼠右鍵開啟快速選單，點選最下方的屬性。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/vKJma1l.png">
<div style="text-align:center">在點C上按滑鼠右鍵開啟的快速選單</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/oP0zivw.png">
<div style="text-align:center">點C的屬性選單：一般</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/1g3tWNh.png">
<div style="text-align:center">點C的屬性選單：顏色</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/1HYZChM.png">
<div style="text-align:center">點C的屬性選單：樣式</div>
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3. 選取**多邊形**工具，依序在點A、B、C、A上各按滑鼠左鍵一下，繪製三角形。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="20%" width="20%" src="https://i.imgur.com/n3m35nQ.png">
<div style="text-align:center">多邊形工具選單</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/kUjSu5S.png">
<div style="text-align:center">三角形ABC</div>
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4. 選取**中心點**工具，在點A、B上各按滑鼠左鍵一下，畫出A、B的中點D，再用同樣的方式畫出B、C的中點E，C、A的中點F。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/DMqQC6D.png">
<div style="text-align:center">中心點工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/w1r25Da.png">
<div style="text-align:center">三角形中點</div>
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5. 選取**線段**工具，在點A、E上各按滑鼠左鍵一下，畫出點A對應的中線，再用同樣的方式畫出另外兩點中線。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="35%" width="35%" src="https://i.imgur.com/gwl6K8j.png">
<div style="text-align:center">線段工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/aWnEHPT.png">
<div style="text-align:center">三角形3條中線</div>
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6. 選取**交點**工具，在中線f、g、h其中兩條上各按滑鼠左鍵一下，畫重心。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/yAsvd0l.png">
<div style="text-align:center">交點工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/VAwxv0F.png">
<div style="text-align:center">三角形重心</div>
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7. 選取**勾選框**工具，在標籤框中輸入名稱**重心**，在下方的下拉選單中選取這個勾選框可以控制的物件線段f、g、h，點D、E、F、G，完成之後在勾選框按滑鼠左鍵一下，勾選取時才顯示以上這些物件。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="20%" width="20%" src="https://i.imgur.com/Ml3QhFU.png">
<div style="text-align:center">勾選框工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/B7oiBCR.png">
<div style="text-align:center">顯示／隱藏物件選單</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/n20YroG.png">
<div style="text-align:center">加上勾選框之後的三角形重心</div>
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### 三角形內心

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/8sGD1Yi.png">
<div style="text-align:center">三角形內心</div>
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三角形內心的定義為**3條角平分線交點**，因此我們需要先畫出3個角的角平分線，再用交點工具畫出3條角平分線交點，詳細的步驟如下：

1. 選取**角平分線**工具，在點A、B、C上各按滑鼠左鍵一下，畫出3個角的角平分線。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/kmDYjlw.png">
<div style="text-align:center">角平分線工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/N6272ac.png">
<div style="text-align:center">3個角的角平分線</div>
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2. 選取**交點**工具，在角平分線i、j、k其中兩條上各按滑鼠左鍵一下，畫內心。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/fhxeXmX.png">
<div style="text-align:center">三角形內心</div>
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3. 選取**勾選框**工具，用來控制是否顯示直線i、j、k、l、m、n以及點I。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/8sGD1Yi.png">
<div style="text-align:center">加上勾選框之後的三角形內心</div>
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### 三角形外心

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/wkuAySe.png">
<div style="text-align:center">三角形外心</div>
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三角形外心的定義為**3個邊的中垂線交點**，因此我們需要先畫出3個邊的中垂線，再用交點工具畫出3條中垂線交點，詳細的步驟如下：

1. 選取**中垂線**工具，在3個邊（線段a、b、c）上各按滑鼠左鍵一下，畫出3個邊的中垂線。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/62Yksok.png">
<div style="text-align:center">中垂線工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/jMWa5q8.png">
<div style="text-align:center">3個邊的中垂線</div>
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2. 選取**交點**工具，在中垂線p、q、r其中兩條上各按滑鼠左鍵一下，畫外心。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/Rmo7XNW.png">
<div style="text-align:center">三角形外心</div>
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3. 選取**勾選框**工具，用來控制是否顯示直線p、q、r以及點O。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/wkuAySe.png">
<div style="text-align:center">加上勾選框之後的三角形外心</div>
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### 三角形垂心

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/BEkJ5xO.png">
<div style="text-align:center">三角形垂心</div>
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三角形垂心的定義為**3個高的交點**，因此我們需要先畫出3個邊的高，再用交點工具畫出3個高的交點，詳細的步驟如下：

1. 選取**垂直線**工具，在點A、線段a上各按滑鼠左鍵一下，畫出經過點A的高，再用相同的方法畫出經過另外兩個頂點的高。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/T2Tnx3f.png">
<div style="text-align:center">垂直線工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/qR8aaiF.png">
<div style="text-align:center">經過3個頂點的高</div>
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2. 選取**交點**工具，在直線d、s、t其中兩條上各按滑鼠左鍵一下，畫垂心。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/UJk7km3.png">
<div style="text-align:center">三角形垂心</div>
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3. 選取**勾選框**工具，用來控制是否顯示直線d、s、t以及點H。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/BEkJ5xO.png">
<div style="text-align:center">加上勾選框之後的三角形垂心</div>
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### 正三角形重心、內心、外心、垂心重合

用 GeoGebra 畫好的圖形是可以修改的，先將4個勾選框都選取，同時顯示重心、內心、外心、垂心，再用**移動**工具，用滑鼠左鍵拖曳點A、C，調整成正三角形，可以看到重心、內心、外心、垂心會重合。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/Bqol7la.png">
<div style="text-align:center">正三角形重心、內心、外心、垂心重合</div>
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## 凹面鏡球面像差

由於球面沒有真正的焦點，平行主軸的入射光不會聚集在一點上，這個現象稱為**球面像差**。我們要用 GeoGebra 畫出圓弧、平行主軸的入射光、法線、反射光、反射光與主軸的交點，觀察與主軸距離不同的入射光，其反射光與主軸的交點有何變化。線上版的檔案連結為 https://ggbm.at/z6mk6agg

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/BuUbNiX.png">
<div style="text-align:center">凹面鏡球面像差</div>
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1. 選取**數值滑桿**工具，新增用來控制凹面鏡的孔徑角 \\( \theta \\)，範圍為 \\( 0^{\circ} \\) 到 \\( 180^{\circ} \\)，增量為 \\( 1^{\circ} \\)。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/KwsfvWM.png">
<div style="text-align:center">數值滑桿工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/LSGhKtr.png">
<div style="text-align:center">數值滑桿屬性視窗</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/4THEFO7.png">
<div style="text-align:center">數值滑桿屬性視窗，按名稱方框中右側的 θ 符號可以開啟符號選單</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/9uIibCI.png">
<div style="text-align:center">控制 θ 的數值滑桿</div>
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2. 選取**新點**工具，畫出圓心O和鏡頂C。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/2u7I0NP.png">
<div style="text-align:center">圓心O和鏡頂C</div>
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3. 選取**畫指定角**工具，依序在點C、O上各按滑鼠左鍵一下，旋轉角度為θ/2、逆時針方向，畫出點C以點O為旋轉中心逆時針方向旋轉θ/2產生的點C'；用相同的方法畫出點C以點O為旋轉中心順時針方向旋轉θ/2產生的點C'₁。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/7P902xf.png">
<div style="text-align:center">畫指定角工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/6oxjpqB.png">
<div style="text-align:center">畫指定角屬性視窗</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/JDlgpKx.png">
<div style="text-align:center">旋轉後的點C'</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/jLzTrS0.png">
<div style="text-align:center">旋轉後的點C'₁</div>
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4. 選取 **圓弧\(圓心、另兩點\)** 工具，依序在點O、C'₁、C'上各按滑鼠左鍵一下，畫出作為凹面鏡的圓弧。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="35%" width="35%" src="https://i.imgur.com/Qxyf3ya.png">
<div style="text-align:center">圓弧(圓心、另兩點)工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/Wm5aVqU.png">
<div style="text-align:center">作為凹面鏡的圓弧</div>
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5. 選取 **直線\(過兩點\)** 工具，在點O、C上各按滑鼠左鍵一下，畫出作為凹面鏡主軸的直線。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="35%" width="35%" src="https://i.imgur.com/mT6duL4.png">
<div style="text-align:center">直線(過兩點)工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/yHoldVx.png">
<div style="text-align:center">凹面鏡主軸</div>
<br></br>

6. 選取**新點**工具，在圓弧上畫點P，作為入射光打到凹面鏡的位置。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/0Hi5EoX.png">
<div style="text-align:center">圓弧上的動點P</div>
<br></br>

7. 選取**平行線**工具，畫通過點P且與主軸平行的直線g，但是直線會穿過圓弧，要用射線作為入射光比較符合實際情形，因此在直線g上、點P的左側另外畫一個點A，再選取**射線**工具，用滑鼠左鍵依序在點P、A上各點一下，畫出代表入射光的射線h。最後在左側的**代數區**點選直線g左方的圓點，隱藏直線g。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/2rXxpya.png">
<div style="text-align:center">平行線工具</div>
<br></br>

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/MJGhuiG.png">
<div style="text-align:center">過點P且與主軸平行的直線g</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/69W6AFn.png">
<div style="text-align:center">在直線g上、點P的左側畫一個點A</div>
<br></br>

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="35%" width="35%" src="https://i.imgur.com/hclyIpU.png">
<div style="text-align:center">射線工具</div>
<br></br>

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="35%" width="35%" src="https://i.imgur.com/EkZ7hXt.png">
<div style="text-align:center">代數區</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/xjJj1kC.png">
<div style="text-align:center">平行主軸的入射光</div>
<br></br>

8. 選取**切線**工具，畫圓弧c上通過點P的切線i，再選取**垂直線**工具，通過點P且與切線i垂直的直線j，直線j即為法線。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/givfdNy.png">
<div style="text-align:center">切線工具</div>
<br></br>

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/vNXmpkK.png">
<div style="text-align:center">圓弧c上通過點P的切線i</div>
<br></br>

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/yCEUC9t.png">
<div style="text-align:center">垂直線工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/VoobDjF.png">
<div style="text-align:center">通過點P且與切線i垂直的直線j</div>
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9. 選取**線對稱**工具，用滑鼠左鍵依序在射線h、直線j上各點一下，畫出反射光射線k。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="20%" width="20%" src="https://i.imgur.com/66rbpVU.png">
<div style="text-align:center">線對稱工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/6seujlm.png">
<div style="text-align:center">用線對稱工具畫的反射光</div>
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10. 選取**交點**工具，用滑鼠左鍵依序在射線k、直線f上各點一下，畫出反射光與主軸的交點F。選取**移動**工具，用滑鼠左鍵拖曳點P，觀察點F的變化。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/ECa5gMt.png">
<div style="text-align:center">反射光與主軸的交點F</div>
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## 凹面鏡成像性質

若只考慮近軸光線，凹面鏡成像的性質為

1. 物體位於2倍焦距外：倒立縮小實像
2. 物體位於2倍焦距上：倒立等大實像
3. 物體位於1 ~ 2倍焦距之間：倒立放大實像
4. 物體位於1倍焦距上：無法成像
5. 物體位於1倍焦距內：正立放大虛像

我們要用 GeoGebra 畫出凹面鏡、可以調整高度及位置的物體、像的位置。線上版的檔案連結為 https://ggbm.at/amw4y76q
以下只畫出實像的部分，詳細的步驟如下：

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/SqeCqoU.png">
<div style="text-align:center">凹面鏡成像性質</div>
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1. 彷照凹面鏡球面像差的繪圖步驟1 ~ 5，畫出控制子徑角 \\( \theta \\) 的數值滑桿，代表凹面鏡的圓弧，凹面鏡的球心、鏡頂及主軸。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/Th2kie7.png">
<div style="text-align:center">代表凹面鏡的圓弧，凹面鏡的球心、鏡頂及主軸</div>
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2. 若只考慮近軸光線，則凹面鏡的焦點位於球心與鏡頂的中點，選取**中心點**工具，畫出焦點F。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/kLvdFzx.png">
<div style="text-align:center">中心點工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/nhr5ysn.png">
<div style="text-align:center">只考慮近軸光線時的焦點F</div>
<br></br>

3. 選取**新點**工具，在主軸上畫出物體位置點H。選取**數值滑桿**工具，新增數值**height**，區間為0.1 ~ 4，增量為0.1。選取 **線段(固定長)** 工具，用滑鼠左鍵點擊點H，在長度視窗中填入height，畫出以點H為點起、長度為height、方向向右的線段g。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/2gwo84T.png">
<div style="text-align:center">點H及數值滑桿height</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/ZhwAwMh.png">
<div style="text-align:center">線段(固定長)工具</div>
<br></br>

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="60%" width="60%" src="https://i.imgur.com/yoGXx5D.png">
<div style="text-align:center">線段(固定長)屬性視窗</div>
<br></br>

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/iTQuuOy.png">
<div style="text-align:center">以點H為點起、長度為height、方向向右的線段g</div>
<br></br>

4. 選取**畫指定角**工具，用滑鼠左鍵依序在線段g、點H各點一下，旋轉角度為 \\( 90^{\circ} \\)、逆時針方向，旋轉後的線段作為物體。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/Ng5uFvW.png">
<div style="text-align:center">畫指定角工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/U9hoB55.png">
<div style="text-align:center">旋轉後的線段</div>
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5. 仿照凹面鏡球面像差繪圖步驟7的作法，畫出由物體頂端發出的平行主軸入射光，入射光在圓弧上的交點A，以及通過點F的反射光。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/UpOYX8f.png">
<div style="text-align:center">平行主軸的入射光及其反射光</div>
<br></br>

6. 畫出由物體頂端射向鏡頂的入射光，由於鏡頂的法線位在主軸上，可以利用**線對稱**工具畫出反射光。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/wwW5pk7.png">
<div style="text-align:center">由物體頂端射向鏡頂的入射光及其反射光</div>
<br></br>

7. 利用**交點**工具畫出兩道反射光的交點B，此處為物體頂端成像的位置。畫出通過此點且與主軸垂直的直線m，再畫出直線m與主軸的交點D，用 **線段\(過兩點\)** 畫出點B、D的連線，此線段即為像，最後再隱藏直線m。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/qjYTsoU.png">
<div style="text-align:center">物體及像的位置</div>
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8. 拖曳點H改變物體的位置，利用數值滑桿height改變物體的高度，觀察像的變化。

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## 函數繪圖

GeoGebra內建函數繪圖的功能，但是需要在最下方的**輸入**框中輸入指令，可以分為兩大類：

### 不限制範圍

輸入的指令格式為

函數名稱(x) = 函數

例如繪製正弦函數需要輸入的指令為

f(x) = sin(x)

自變數預設為x。也可以不輸入函數名稱，GeoGebra會自動設定名稱。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/DfkUBzK.png">
<div style="text-align:center">sin(x)的圖形(不限制範圍)</div>
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### 限制範圍

輸入的指令格式有兩種，分別為

函數名稱(x) = If(條件, 函數)
函數名稱(x) = Function(函數, x下限, x上限)

例如繪製餘弦函數需要輸入的指令為

g(x) = If(-π <= x <= π, cos(x))
h(x) = Function(cos(x), -π ,π)

自變數預設為x。也可以不輸入函數名稱，GeoGebra會自動設定名稱。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/Y3i99AM.png">
<div style="text-align:center">cos(x)的圖形(限制範圍)</div>
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## 波的疊加

假設在一條繩子上有兩個朝對方前進的波，當兩個波交會時繩子會變成什麼形狀？最簡單的狀況稱為**線性疊加**，也就是將兩個波重疊的部分振幅相加，即為合成後的振幅。但由於這樣的圖相當不好畫，我們需要借助 GeoGebra 畫出波的疊加動畫。線上版的檔案連結為 https://ggbm.at/xnk2gxwu

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/cLrGYDx.gif">
<div style="text-align:center">波的疊加動畫</div>
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1. 選取**數值滑桿**工具，新增用來控制時間 t 的數值滑桿，t 的最小值為0、最大值為6、增量為0.01。再開啟 t 的屬性視窗，將動畫 => 重複調整為**遞增**。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/KwsfvWM.png">
<div style="text-align:center">數值滑桿工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/cHakg7o.png">
<div style="text-align:center">數值滑桿屬性視窗</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="35%" width="35%" src="https://i.imgur.com/VISffSf.png">
<div style="text-align:center">控制時間 t 的數值滑桿</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/6hided2.png">
<div style="text-align:center">t 的屬性視窗</div>
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2. 在下方的輸入框中輸入

v = 1
x1 = 0 + v * t
x2 = 6 – v * t
f(x) = If(x1 <= x <= x1 + π, sin(x - x1) * Exp(x – x1))
g(x) = If(x2 <= x <= x2 + π, 23.14 * sin(x - x2) * Exp(-x + x2))
h(x) = f(x) + g(x)

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/v2zNraq.png">
<div style="text-align:center">兩個入射波</div>
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3. 在控制 t 的數滑桿上按滑鼠右鍵，選取**開始動畫**，就可以看到兩個波交會時的動畫。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/qWx9DzN.png">
<div style="text-align:center">數值 t 快速選單</div>

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/cLrGYDx.gif">
<div style="text-align:center">波的疊加動畫</div>
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## 結語

這篇文章裡提到的應用只是一小部分而已，GeoGebra 還有許多功能及應用，有興趣的讀者可以上網搜尋一下。這兩個連結是相當好的參考資料：

1. GeoGebra Tube https://www.geogebra.org/materials
2. GeoGebra學習教室 https://www.geogebra.org/m/CV9fIj2B

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