# 系動 Part 3 : SMD 元件

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# Work, Energy, and Power

功是力完成的結果，能量是做功的能力。

$$W = Fx$$

文言的講法是：

$$W = \int \vec{F{}}\cdot d\vec{r{}}$$

或已知

$$\vec{F{}} = \vec{F{}}(r)$$

則:

$$\vec{F{}} = -\nabla W$$

例：彈簧做功

$$W_{12} = \int_1^2 \vec{F{}} \cdot d\vec{r{}} = \int_{1}^{2}(-kx\hat{i{}} )\cdot dx\hat{i{}} = \frac {1}{2}(x_1^2 - x_2^2)$$

例：重力做功（trivial）

例：保守力與非保守力混合

$$T_1 + V_1 + \int{\vec{F{}}_n \cdot d\vec{r{}}} = T_2 + V_2$$

## 功率

$$\begin{align}
P &= \frac {dW}{dt} \\&
= \frac {d(\vec{F{}}\cdot d\vec{r{}})}{dt} \\&
= \frac {d\vec{F{}}}{dt}\cdot d\vec{r{}} + \vec{F{}} \frac {d\vec{r{}}}{dt}\\
&= \vec{F{}}\cdot \vec{v{}}(if\ \frac {d}{dt}\vec{F{}} = 0)
\end{align}$$

這件事其中一個結論，就是轉速越小，扭力越大（因為輸出功率不會莫名其妙變大）。

# Simplified Lagrange Mechanics

是一種利用能量守恆下去解出 Governing Equation 的方法。流程如下：

1. 把所有能量寫出來
2. 因為：
$$T + V \ const \Rightarrow \frac {d}{dt}(T + V) = 0$$

3. 化簡之後就有 governing equation 了。

## 例子：水平彈簧

$$T + V = \frac {1}{2}m\dot{x}^2 + \frac {1}{2}kx^2 = const.$$

左右對時間偏微分，得到：

$$\frac {d}{dt}(T + V) = \frac {d}{dt}(\frac {1}{2}m\dot{x}^2 + \frac {1}{2}kx^2) = m\dot{x}\ddot{x} + kx\dot{x} = 0$$

同時消去 $\dot{x}$ 得到：

$$m\ddot{x} + kx = 0$$

就是小時候學到揀鞋運動的方程式。

## 例子：彈簧綁球在斜面純滾


純滾條件：

$$|dl| = R|d\theta|$$

其中 $dl$ 是滾動的位移，$d\theta$ 是角位移。

取彈簧頂端為零位面，加上動力學有說：純滾動任一時刻可以視為相對接觸點做純轉動，所以：

$$T + V = \frac {1}{2}(I_G + MR^2)\dot{\theta}^2 - mgH + \frac {1}{2} k (l^2 - l_0^2)$$

其中 $H$ 是下降的高度。

但是：

$$H = \int dl \sin\phi = -\int Rd\theta\sin\phi = -R\theta \sin\phi$$

加負號是因為角位移往負向增加（順時針旋轉）時，H 量值會增加。帶入能量守恆：

$$T + V = \frac {1}{2}(I_G + MR^2)\dot{\theta}^2 + mgR\theta \sin\phi + \frac {1}{2}k(R\theta)^2 = const.$$

其中 $\phi$ 是斜面傾斜角度。這邊一位彈簧原長的動能量值是個常數，所以把他合併到等號右邊的常數中。

左右微分，得到：

$$(I_G + MR^2)\ddot{\theta} + (mgR\sin\phi)\theta + kR^2\theta = 0$$

因此：

$$(I_G + MR^2)\ddot{\theta} + (mgR\sin\phi + kR^2)\theta = 0$$

然後就發現上課講的不是這個例子。不過令 $\phi = 0$ 好像就得到了。

## 例子：綁在水平彈簧上的奇怪圓柱

彈簧綁這一個東西滾。假定那個在滾的東西半徑 $R$，質量 $m$，轉動慣量：

$$J = mr_e^2$$

並且假定在某時刻，該轉動體轉動了 $\theta$ 度，因此動能加位能：

$$\frac {1}{2}k(R\theta)^2 + \frac {1}{2}(mr_e^2 + mR^2)\dot{\theta}^2 = const$$

左右同時微分：

$$kR^2 \theta \dot{\theta} + (mr_e^2 + mR^2)\ddot{\theta}\dot{\theta} = 0$$

將 $\dot{\theta}$ 消去得：

$$kR^2 \theta + (mr_e^2 + mR^2)\ddot{\theta} = 0$$

即：

$$m(\frac {r_e^2}{R^2} + 1)\ddot{\theta} + k\theta = 0$$

可以發現滾動體的轉動效應後，就像是質量增加了一樣。後面會有更多類似的例子。

然後左右同乘 $R$ 就會得到上課的版本。

## 例子：考慮滑輪質量的阿特伍德機


總能為：

$$T + V = \frac {1}{2}m_1 \dot{x}^2 + \frac {1}{2}m_2 \dot{x}^2 + \frac {1}{2}I\dot{\theta}^2 + m_1gx - m_2gx = const.$$

左右同時微分，並且消去 $\dot{x}$，得到：

$$(m_1 + m_2 + \frac {I}{R^2})\ddot{x} + (m_1 - m_2)g = 0$$

這又裡發現 $\frac {I}{R^2}$ 項的效果跟質量有 87% 像。因此突然想到一件事：可不可以把上面那種醜的要命的系統，用「質量增加」的想法，把他變成看起來比較簡單的系統呢？這種想法就是 Equivalent Inertia 的想法。

# Equivalent Inertia

## 例子：Spur Gear Pair


在負載接上去之前，動能為：

$$T = \frac {1}{2}I_1 \omega_1^2$$

在負載接上去之後，動能為：

$$\begin{align}T &= \frac {1}{2}I_1 \omega_1^2 + \frac {1}{2}I_2 \omega_2^2 \\ \\
&= \frac {1}{2}I_1 \omega_1^2 + \frac {1}{2}I_1 \frac {\omega_1^2}{N^2}
\\ \\
&= \frac {1}{2}\underbrace{\left(I_1 + \frac {I_1}{N^2}\right)}_{eq.\ inertia}\omega_1^2\end{align}
$$

因此可以發現：加上一個負載之後，看起來就像是慣性量增加（在這個例子中是轉動慣量）。也就是：

$$I_{eq} = \left(I_1 + \frac {I_1}{N^2}\right)$$

總之就是轉動時增加的負載跟增加質量有 87% 像的意思。

## 例子：Rack-and-Pinion

齒輪跟齒條也是類似的作用，可以把滾動本來要分開考慮的平移動能跟旋轉動能合併成一項：


$$\begin{align}T &= \frac {1}{2}m\dot{x}^2 + \frac {1}{2}I_G\left(\frac {\dot{x}}{R}\right)^2 \\ \\&
= \frac {1}{2}\left(m + \frac {I_G}{R^2}\right)\dot{x}^2 \\\\&
= \frac {1}{2}m_{eq} \dot{x}^2\end{align}$$

其中：

$$m_eq = m + \frac {I_G}{R^2}$$

## 例子：皮帶輪


$$\begin{align}T &= T_{齒輪1} + T_{齒輪2} + T_{齒輪 3} \\ \\ &=
\frac {1}{2}I_1 \omega_1 ^ 2 + \frac{1}{2}I_2 \left(\frac {r_1}{r_2}\omega_1\right)^2 + \frac {1}{2} m (r_1 \omega_1)^2 \\ \\ &=
\frac {1}{2}\left(I_1 + \frac {r_1^2}{r_2^2}I_2 + mr_1^2\right)\omega_1^2 \\ \\ &=\frac {1}{2}I_{eq}\omega_1^2
\end{align}$$

其中：

$$I_{eq} = \left(I_1 + \frac {r_1^2}{r_2^2}I_2 + mr_1^2\right)$$

# Equivalent Mass of Elastic Elements

同樣的道理，也可以把上面的簡化技巧，用在簡化 spring element 類的元件上下面舉幾個例子：

## 例子：一根粗粗長長的東西


一根粗粗長長的東西下面掛著另外一塊東西。問你如果想要把它變成一個沒有質量的彈簧 + 底下掛另一個東西，請問新的等效模型中下面掛的東西多重？

考慮：

$$dT = \frac {1}{2}dm_y \dot{y}^2 $$

因此：

$$\int dT = \frac {1}{2}dm_y \dot{y}^2 $$

假定：

$$\begin{cases}
dm_y = \rho dy \\
\dot{y} = \frac {y}{L} \dot{x}
\end{cases}$$

因此：

$$\int dT = \int\frac {1}{2}dm_y \dot{y}^2 = \frac {1}{2}\frac {mr}{3}\dot{x}^2 = m_e \dot{x}^2$$

因此等效質量就是：

$$m_{eq} = m_c + \frac {1}{3}m_r$$

## 例子：Cantilever Beam


$$y(x) = \frac {Px^2}{6EI}(3L - x) \Rightarrow y_{max} = y(L) = \frac {2PL^2}{6EI}$$

用這個東西去做 normalize：

$$y(x) = \frac {y_{max}}{2L^3}(3x^2L - x^3)y_{max} \Rightarrow \dot{y}(x) = \frac {3x^2L - x^3}{2L^3}\dot{y}_{max}$$

因此總動能：

$$T = \frac {1}{2}\int_{0}^{L}\frac {m_d r}{L} \dot{y}^2dx = \frac {1}{2} \frac {33}{140}m_d\dot{y}_{max}^2 = m_{eq}\dot{y}_{max}^2$$

其中：

$$m_{eq} = \frac {33}{140}m_d \approx 0.23m_r$$

## 例子：課本中的表

其實上面的例子都在課本中：


# Rayleight's Method

我好懶

# 純滾動

我好懶。普物不是教過ㄇ。