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--- tags: C, CLANG, C LANGUAGE, recursion --- # [你所不知道的C語言](http://hackfoldr.org/dykc/):數值系統篇 Copyright (**慣C**) 2017 [宅色夫](http://wiki.csie.ncku.edu.tw/User/jserv) ==[直播錄影](https://www.youtube.com/watch?v=--zkUNOmRXc)== ## 從一則新聞、動畫,和漫畫談起 * [脫離「腦補」而培養專業的重要性](https://www.facebook.com/groups/system.software2016/permalink/1128247150588122/) * [1/2+1/3,要孩子怎麼討論?](https://www.facebook.com/thinkinggarden/videos/1542561642443824/) ![](https://i.imgur.com/Rsvnc3m.png) [ [source](http://www.smbc-comics.com/comic/2013-06-05) ] 不同程式語言給出相似的執行結果: [Floating Point Math](http://0.30000000000000004.com/) :::info Python 2.7 在 GNU/Linux 的執行: ``` >>> 1 - 0.1 0.9 >>> 0.1 - 0.01 0.09000000000000001 ``` 後者顯然比預期數值 `0.09` 略大 ``` >>> 0.1 - 0.01 - 0.1 -0.009999999999999995 ``` 而 `0.1 - 0.01 - 0.1` 又會得到比預期數值 `0.0` 略小的結果,有辦法讓電腦精準地表達和運算數值嗎? ::: ## 電腦不是只有二進位 電腦科學家 Donald E. Knuth 在《The Art of Computer Programming》第 2 卷說: > "Perhaps the prettiest number system of all is the balanced ternary notation" 這裡的 ternary 意思是三個的、三個一組的、三重的,也稱為 base-3,顧名思義,不是只有 0 或 1,而是將可能的狀態擴充為 `0`, `1`, `2`,在 balanced ternary 中,就是 `-1`, `0`, `+1` 等三個可能狀態,又可以簡寫為 `-`, `0`, `+`。 > the ternary values as being "balanced" around the mid-point of 0. The same rules apply to ternary as to any other numeral system: The right-most symbol, R, has it's own value and each successive symbol has it's value multiplied by the base, B, raised to the power of it's distance, D from R. 考慮以下 balanced ternary: > `+++-0` = (1 * 3^4^) + (1 * 3^3^) + (1 * 3^2^) + (-1 * 3^1^) + 0 > = 81 + 27 + 9 + -3 > = 114 乍看沒什麼特別的,但當我們考慮 `-114` 的表示法時,就有趣了: > `---+0` = (-1 * 3^4^) + (-1 * 3^3^) + (-1 * 3^2^) + (1 * 3^1^) + 0 > = -81 + -27 + -9 + 3 > = -114 也就是把所有的 `+` 和 `-` 對調,就不用像在 2 進位表示法中,需要特別考慮 signed 和 unsigned。 balanced ternary 的作用不僅在一致的方式去表達數值,還可用於浮點數。以下是 10 進位的 `0.2` 對應的 balanced ternary 表示法: > `0.+--+` = 0 + (1 * (3^-1^)) + (-1 * (3^-2^)) + (-1 * (3^-3^)) + (1 * (3^-4^)) > = 0.33 + -0.11 + -0.03 + 0.01 > = 0.2 如何表達 10 進位的 `0.8` 呢?既然 `0.8 = 1 - 0.2`,我們做以下表示: > `+.-++-` = 1 + (-1 * (3^-1^)) + (1 * (3^-2^)) + (1 * (3^-3^)) + (-1 * (3^-4^)) = 1 + -0.33 + 0.11 + 0.03 + -0.01 = 0.8 把最開頭的 `0` 換成 `+1`,然後小數點後的 `+` 和 `-` 對調即可。 參考資料: * [The Balanced Ternary Machines of Soviet Russia](https://dev.to/buntine/the-balanced-ternary-machines-of-soviet-russia) * [The Tech Behind IOTA Explained](http://www.tangleblog.com/2017/01/25/the-tech-behind-iota-explained/) >> These 3 states perform transaction very balanced, which is quite helpful to build a self-organizing and self-sustaining network like the tangle. ## 數值表達方式和阿貝爾群 數學中的「群」是個由我們定義的二元運算的集合,這裡的二元運算稱為「加法」,表示為符號 `+`。為了讓一個集合 G 成為群,必須定義加法運算並使之具有以下 4 個特性: 1. 封閉性: 若 a 和 b 是集合 G 中的元素,於是 `(a + b)` 也是集合 G 中的元素; 2. 結合律: `(a + b) + c = a + (b + c)`; 3. 存在單位元 0,使得 `a + 0 = 0 + a = a`; 4. 每個元素都有逆元,也就是說:對於任意 a,存在 b,使得 `a + b = 0`; 倘若我們追加下述條件: 5. 交換律: `a + b = b + a`; 那麼,稱這個群為阿貝爾群 (Abelian group)。 嚴格定義後,我們再回顧通常概念的「加法」時,就可發現,整數的集合 `Z` 就是一個群 (同時也是個阿貝爾群),但是,自然數的集合 (`N`) 就不是群,因為 N 不滿足上述第 4 個特性。 為何我們要大費周章去表達「群」的特性呢?一旦我們證明它具備上述 4 個特性,那麼就可自由地獲取到一些其他特性。像是: * 單位元是唯一的; * 逆元也是唯一的,即:對於每一個 a,存在唯一的一個 b,使得 `a + b = 0` (我們可以將 b 寫成 -a)。 以電腦的數值系統來說,整數 (包含 sign 和 2's complement) 加法形成阿貝爾群,實數 (`R`) 的加法也形成阿貝爾群,但我們必須考慮四捨五入 (或無條件捨入) 對這些屬性的影響。更甚者,由於 overflow 的考慮,導致儘管 x 和 y 都是實數,結果可能截然不同。 回到電腦的資料表示法,假設我們用 4 個 bits 來表示,像是 `0000` 表示 `0`,我們可以額外引入一個 bit 來表示 +/- (sign bit),但事實上我們可將上述特性考慮進去,引入逆元,讓每個正整數都可有一個對應的反元素,也是負數,這也是為何對應的正整數 bit-wise not 後 +1。`1000` 是唯一沒有對應正整數的數值,因此有號數的負整數會比正整數多一個。 在 IEEE 754 的單精度運算符點數中 ([好看的解說影片](https://www.youtube.com/watch?v=VlX4OlKvzAk),我說板書),表達式 (3.14 + 1e10) - 1e10 求值會得到 0.0 —— 因為捨入,數值 3.14 會丟失。另一方面,表達式 3.14 + (1e10 - 1e10) 會得到數值 3.14。 * 延伸閱讀: [浮點數的美麗與哀愁](https://champyen.blogspot.tw/2017/04/blog-post.html) 作為阿貝爾群,大多數值的浮點數加法都有逆元,但是 INF (無窮) 和 NaN 是例外情況,因為對任何 x,都有 NaN + fx = NaN; 浮點數加法不具有結合性,這是缺乏的最重要「群」特性。知道這些後,對我們寫程式有什麼影響呢? 衝擊可大了! 假設 C 語言編譯器即將處理以下程式碼: ```C x = a + b + c; y = b + c + d; ``` 編譯器可能為了省下一道浮點數運算,而產生以下中間程式碼: (code motion 技巧,詳見 [編譯器和最佳化原理篇](https://hackmd.io/s/Hy72937Me)) ```C t = b + c; x = a + t; y = t + d; ``` 但對於 x 來說,這樣的計算方式可能會導致和原始數值截然不同的結果,因為它運用了加法運算的不同的結合方式! 單精度浮點數運算中: * (1e20 * 1e20) * 1e20 為 +INF * 1e20 * (1e20 * 1e-20) 為 1e20 * 1e20 * (1e20 - 1e20) 為 0.0 * 1e20 * 1e20 - 1e20 * 1e20 為 NaN ## Integer Overflow * [神一樣的進度條](https://www.facebook.com/JservFans/photos/a.743333619126308.1073741828.638604962932508/908325589293776/) * [波音 787 不再「夢幻」](https://www.facebook.com/JservFans/posts/907938812665787) * 波音 787 的電力控制系統在 248 天電力沒中斷的狀況下,會自動關機,為此 FAA (美國聯邦航空管理局) 告知應每 120 天重開機,看來「重開機治百病」放諸四海都通用?這當然是飛安的治標辦法,我們工程人員當然要探究治本議題。 * 任教於美國 [Carnegie Mellon University](https://www.facebook.com/carnegiemellonu/) (CMU) 的 Phil Koopman 教授指出,這其實就是 integer overflow,再次驗證「失之毫釐,差之千里」的道理。 * 我們先將 248 天換成秒數: * 248 days * 24 hours/day * 60 minute/hour * 60 seconds/minute = 21,427,200 * 這個數字若乘上 100,繼續觀察: * `0x7FFFFFFF` (32-bit 有號數最大值) = 2147483647 / (24 * 60 * 60) = 24855 / 100 = 248.55 days. * 看出來了嗎?每 1/100 秒紀錄在 32-bit signed integer,然後遇到 overflow * [Counter Rollover Bites Boeing](http://betterembsw.blogspot.tw/2015/05/counter-rollover-bites-boeing-787.html)[ ](http://betterembsw.blogspot.tw/2015/05/counter-rollover-bites-boeing-787.html)[ 787](http://betterembsw.blogspot.tw/2015/05/counter-rollover-bites-boeing-787.html) * [Deep Impact ](https://www.facebook.com/JservFans/posts/904562523003416)(2005) * [Ariane 5](https://www.facebook.com/JservFans/posts/904552413004427) (1996) * [detail report](https://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/ariane5rep.html) : a data conversion from 64-bit floating point to 16-bit signed integer value 其他 integer overflow 案例: * [Openssh 2002 security hole](http://www.openssh.com/txt/preauth.adv) * [Year 2038 problem](https://en.wikipedia.org/wiki/Year_2038_problem) * [Youtube Gangnam Style overflows](http://arstechnica.com/business/2014/12/gangnam-style-overflows-int_max-forces-youtube-to-go-64-bit/) * [Diablo III Real Money Action House integer overflow](http://gamasutra.com/blogs/MaxWoolf/20130508/191959/Diablo_III_Economy_Broken_by_an_Integer_Overflow_Bug.php) * [Lempel-Ziv-Oberhumer (LZO) algorithm](http://thehackernews.com/2014/06/20-years-old-vulnerability-in-lzo.html) * [OpenSSL integer underflow leading to buffer overflow in base64 decoding](https://bugzilla.redhat.com/show_bug.cgi?id=1202395) * [Trend Micro Discovers Vulnerability That Renders Android Devices Silent](http://blog.trendmicro.com/trendlabs-security-intelligence/trend-micro-discovers-vulnerability-that-renders-android-devices-silent/) * [IPv4 address ](https://en.wikipedia.org/wiki/IPv4_address_exhaustion)[L](https://en.wikipedia.org/wiki/IPv4_address_exhaustion)[exhaustion](https://en.wikipedia.org/wiki/IPv4_address_exhaustion) , [A bug and a crash --- The explosion of Ariane 5 rocket](http://www.around.com/ariane.html) * [Integer overflow in Mozilla Firefox 3.5.x before 3.5.11 and 3.6.x before 3.6.7](http://cve.mitre.org/cgi-bin/cvename.cgi?name=CVE-2010-2753) * [CVE-2015-1593 - Linux ASLR integer overflow: Reducing stack entropy by four](http://hmarco.org/bugs/linux-ASLR-integer-overflow.html) * [Integer overflow in Bitcoin software](http://cve.circl.lu/cve/CVE-2010-5139), [Bitcoinwiki - Value overflow incident](https://en.bitcoin.it/wiki/Value_overflow_incident) * [SSH CRC32 attack detection code contains remote integer overflow](http://www.kb.cert.org/vuls/id/945216) * [.NET Framework EncoderParameter integer overflow vulnerability](http://www.akitasecurity.nl/advisory/AK20110801/_net_framework_encoderparameter_integer_overflow_vulnerability.html) * [The classic videogame Donkey Kong has an infamous ’kill screen’, where the game stops working. But why? =>integer overflow](http://mentalfloss.com/uk/games/31376/why-does-donkey-kong-break-on-level-22) * [Adobe Flash Player casi32 Integer Overflow](http://www.rapid7.com/db/modules/exploit/windows/browser/adobe_flash_casi32_int_overflow) * [ngx_http_close_connection integer overflow](http://www.oschina.net/news/39973/ngx_http_close_connection-integer-overflow) * [愛國者飛彈系統軟體問題](http://sydney.edu.au/engineering/it/~alum/patriot_bug.html) * [PHP Integer Overflow Affects Tenable’s Security Center](https://www.tenable.com/security/tns-2014-10) * [Therac-25 radiation overdose](https://en.wikibooks.org/wiki/Professionalism/Therac-25#cite_note-medical-devices-1) * [CVE-2014-3669: Integer overflow in unserialize() PHP function](https://www.htbridge.com/blog/cve_2014_3669_integer_overflow_in_unserialize_php_function.html) * [MS15-034 – Range Header Integer Overflow](https://sathisharthars.wordpress.com/tag/range-header-integer-overflow/) * [PID 控制器設計上的一些考量 避免發生overflow](http://www.ledin.com/integer-algorithms-implementation-and-issues/) * [Python Integer Overflow in ’bufferobject.c’ Lets Users Obtain Potentially Sensitive Information](http://www.securitytracker.com/id/1033118) * [Super Mario Bros life](https://www.reddit.com/r/programming/comments/1aigv9/integer_overflow_in_an_rpg_defeat_a_boss_by/) * [gdb 顯示 FLAGS register](https://blog.louie.lu/2016/09/04/gdb-%E9%A1%AF%E7%A4%BA-flags-register/) ![](https://hackpad-attachments.s3.amazonaws.com/embedded2016.hackpad.com_Y4Z4yg1PenQ_p.537916_1472999978404_undefined) ## Integer Overflow 案例分析 * 2002 年 FreeBSD [53] ```C #define KSIZE 1024 char kbuf[KSIZE]; int copy_from_kernel(void *user_dest, int maxlen) { int len = KSIZE < maxlen ? KSIZE : maxlen; memcpy(user_dest, kbuf, len); return len; } ``` :::info 假設懷有惡意的程式設計師將「負」的數值作為 maxlen 帶入 `copy_from_kernel`,會有什麼問題? ::: * 2002 年 External data representation (XDR) [62] ```C void *copy_elements(void *ele_src[], int ele_cnt, int ele_size) { void *result = malloc(ele_cnt * ele_size); if (result==NULL) return NULL; void *next = result; for (int i = 0; i < ele_cnt; i++) { memcpy(next, ele_src[i], ele_size); next += ele_size; } return result; } ``` :::info 假設懷有惡意的程式設計師將 ele_cnt = 2^20^ +1, ele_size = 2^12^ 帶入,會有什麼問題? ::: ## 二進位 * 萊布尼茲在 1678 年發明二進位表示法 * [ [source](https://kknews.cc/zh-tw/education/xzqr6og.html) ] 萊布尼茲研究 Pascal 在 1642 年設計製造的十進位數字計算機,並在 1671年設計出能作加減乘除的分級計算機設計。藉由多次的加減來實現乘除,還可以求平方根。這過程中,他發現平時用起來很方便的十進位計數法,搬到機械上去實在太麻煩。 * 為了解答「能否用較少的數碼來表示一個數呢?」這問題,萊布尼茲在 1678 年發明二進位計數法,也就是二進位。如此一來,用 0 和 1 兩個數碼就可以表示出一切數。比如用 `10` 表示 2,`11` 表示 3,`100` 表示 4,`101` 表示 5,以此類推。 * 大清國康熙時期,派遣傳教士白晉 (法語: Joachim Bouvet) 回到法國,白晉在 1701 年寄了一封附上兩張易經六十四卦圖的信給萊布尼茲,萊布尼茲受到啟發,稱讚八卦是 > 「世上流傳下來的科學中最古老的紀念物」。 * George Boolean 在1800年介紹「邏輯代數」,後來成為「布林代數」(Boolean Algebra) * Claude E. Shannon 於 1938 年發表布林代數對於二進制函數的應用 * [世界上只有10種人,一種是懂二進位的](https://hellolynn.hpd.io/2017/08/11/%e4%b8%96%e7%95%8c%e4%b8%8a%e5%8f%aa%e6%9c%8910%e7%a8%ae%e4%ba%ba%ef%bc%8c%e4%b8%80%e7%a8%ae%e6%98%af%e6%87%82%e4%ba%8c%e9%80%b2%e4%bd%8d%e7%9a%84/) ## 運用 bit-wise operator * [實作二進位加法器](https://hellolynn.hpd.io/2017/08/15/%e4%bb%a5c%e5%af%a6%e4%bd%9c%e4%ba%8c%e9%80%b2%e4%bd%8d%e5%8a%a0%e6%b3%95/) * C 語言中,`x & (x - 1) == 0` 的數學意義 * power of two * signed v.s. unsigned * 將字元轉成小寫: 免除使用分支 ```clike ('a' | ' ') // 得到 'a' ('A' | ' ') // 得到 'a' ``` * 將字元轉為大寫: 免除使用分支 ```clike ('a' & '_') // 得到 'A' ('A' & '_') // 得到 'A' ``` * 大小寫互轉: 避免使用分支 ```clike ('a' ^ ' ') // 得到 'A' ('A' ^ ' ') // 得到 'a' ``` * [XOR swap](https://en.wikipedia.org/wiki/XOR_swap_algorithm) * 交換兩個記憶體空間內的數值,可完全不用額外的記憶體來實作 ```C void xorSwap(int *x, int *y) { *x ^= *y; *y ^= *x; *x ^= *y; } ``` * 需要這種手法的情境: 1. 指令集允許 XOR swap 產生較短的編碼 (某些 DSP); 2. 考慮到暫存器數量在某些硬體架構 (如 ARM) 非常有限,register allocation 就變得非常棘手,這時透過 XOR swap 可降低這方面的衝擊; 3. 在微處理器中,記憶體是非常珍貴的資源,此舉可降低記憶體的使用量; 4. 在加解密的實作中,需要常數時間的執行時間,因此保證 swap 兩個數值的執行成本要固定 (取決於指令週期數量); * 避免 overflow * 比方說 `(x + y) / 2` 這樣的運算,有個致命問題在於 (x + y) 可能會導致 overflow (考慮到 x 和 y 都接近 [UINT32_MAX](https://msdn.microsoft.com/en-us/library/mt764276.aspx),亦即 32-bit 表示範圍的上限之際),於是我們可以改寫為以下: ```clike (x & y) + ((x ^ y) >> 1) ``` * 用加法器來思考: `x & y` 是進位, `x ^ y` 是位元和, `/ 2` 是向右移一位 * 位元相加不進位的總和: `x ^ y`; 位元相加產生的進位值: `(x & y) << 1` * `x + y = x ^ y + ( x & y ) << 1` * 所以 (x + y) / 2 = (x + y) >> 1 = (x ^ y + (x & y) << 1) >> 1 = (x & y) + ((x ^ y) >> 1) * 以下 C 語言程式的 DETECT 巨集能做什麼? ```C= #if LONG_MAX == 2147483647L #define DETECT(X) \ (((X) - 0x01010101) & ~(X) & 0x80808080) #else #if LONG_MAX == 9223372036854775807L #define DETECT(X) \ (((X) - 0x0101010101010101) & ~(X) & 0x8080808080808080) #else #error long int is not a 32bit or 64bit type. #endif #endif ``` * 巨集 `DETECT` 在偵測什麼? * Detect NULL 測試這程式時,要注意到由於 **LONG_MAX** 定義在 `<limits.h>` 裡面,因此要記得作 `#include` 這個巨集的用途是在偵測是否為 0 或者說是否為 NULL char ’\0’,也因此,我們可以在 iOS 的原始程式碼 [strlen](http://opensource.apple.com/source/Libc/Libc-583/arm/string/strlen.s) 的實作中看到這一段。那,為什麼這一段程式碼可以用來偵測 NULL char ? 我們先思考 strlen() 該怎麼實做,以下實作一個簡單的版本 ```C= unsigned int strlen(const char *s) { char *p = s; while (*p != ’\0’) p++; return (p - s); } ``` 這樣的版本有什麼問題?雖然看起來精簡,但是因為他一次只檢查 1byte,所以一旦字串很長,他就會處理很久。另外一個問題是,假設是在 32-bit 的 CPU 上,一次是處理 4-byte (32-bit) 大小的資訊,不覺得這樣很浪費嗎? 為了可以思考這樣的程式,我們由已知的計算方式來逆推原作者可能的思考流程,首先先將計算再簡化一點點,將他從 **(((X) - 0x01010101) & ~(X) & 0x80808080)** 變成 ``` ((X) - 0x01) & ~(X) & 0x80 ``` 還是看不懂,將以前學過的笛摩根定理套用上去,於是這個式子就變成了 ``` ~( ~(X - 0x01) | X ) & 0x80  ``` 再稍微調整一下順序 ``` ~( X | ~(X - 0x01) ) & 0x80  ``` 所以我們就可進行分析 * `X | ~(X - 0x01)` => 取得最低位元是否為 0 ,並將其他位元設為 1 * X = 0000 0011 => 1111 1111 * X = 0000 0010 => 1111 1110 * 想想 0x80 是什麼? 0x80 是 1000 0000 ,也就是 1-byte 的最高位元 上面這兩組組合起來,我們可以得到以下結果 * X = 0    => 1000 0000  => 0x80 * X = 1     => 0000 0000 => 0 * X = 2    => 0000 0000 => 0 * ....... * X = 255 => 0000 0000 => 0 於是我們知道,原來這樣的運算,如果一個 byte 是 0,那經由這個運算得到的結果會是 0x80,反之為 0。 再將這個想法擴展到 32-bit,是不是可以想到說在 32bit 的情況下,0 會得到 0x80808080 這樣的答案?我們只要判斷這個數值是不是存在,就可以找到 ’\0’ 在哪了! 參考資料: * [Hacker’s Delight](http://www.amazon.com/Hackers-Delight-Edition-Henry-Warren/dp/0321842685)   * [](http://www.hackersdelight.org/corres.txt)[http://www.hackersdelight.org/corres.txt](http://www.hackersdelight.org/corres.txt) * [FreeBSD 的 strlen(3)](https://blog.delphij.net/2012/04/freebsd-strlen3.html)  * [Bug 60538  - [SH] improve support for cmp/str insn ](https://gcc.gnu.org/bugzilla/show_bug.cgi?id=60538) 應用: * [newlib 的 strlen](https://github.com/eblot/newlib/blob/master/newlib/libc/string/strlen.c) * [newlib 的 strcpy](https://github.com/eblot/newlib/blob/master/newlib/libc/string/strcpy.c) * SSE 4.2 最佳化版本: [Implementing strcmp, strlen, and strstr using SSE 4.2 instructions](https://www.strchr.com/strcmp_and_strlen_using_sse_4.2) ## 算術完全可用數位邏輯實做 只能使用位元運算子和遞迴,在C程式中實做兩個整數的加法,可行嗎? 先回顧[加法器](http://www.gauss.com.tw/logic/ch6/index6.htm) 的實做,思考以下程式碼: ```C int add(int a, int b) { if (b == 0) return a; int sum = a ^ b; /* 相加但不進位 */ int carry = (a & b) << 1; /* 進位但不相加 */ return add(sum, carry); } ``` 延伸閱讀: [How to simulate a 4-bit binary adder in C](http://stackoverflow.com/questions/14695051/how-to-simulate-a-4-bit-binary-adder-in-c) ## Count Leading Zero 當我們計算 log2 (以2為底的對數) 時, 其實只要算高位有幾個 0's bits. 再用 31 減掉即可。 ```C BITS = 31; for (; i < 32; --BITS) { if (N & 0x80000000) break; N <<= 1; } ``` LOG(N) is BITS 當要算 log10 時, 因為 32-bit unsigned integer 最大只能顯示 4294967295U,所以 32-bit LOG10() 的值只有可能是 0 ~ 9. 這時可透過查表法,以省去除法的成本。 ```C unsigned int vals[] = { 1UL, 10UL, 100UL, 1000UL, 10000UL, 100000UL, 1000000UL, 10000000UL, 100000000UL, 1000000000UL, }; for (i = 0; i < (nr - 1); ++i) { // 9 if (N >= vals[i] && N < vals[i + 1]) { // 8 break; // 1 } } ``` 換句話說,計算 log2 時,知道「高位開頭有幾個 0」就成為計算的關鍵操作。 延伸閱讀: [Fast computing of log2 for 64-bit integers](http://stackoverflow.com/questions/11376288/fast-computing-of-log2-for-64-bit-integers) * 類似 De Bruijn 演算法 * 64-bit version ```C const int tab64[64] = { 63, 0, 58, 1, 59, 47, 53, 2, 60, 39, 48, 27, 54, 33, 42, 3, 61, 51, 37, 40, 49, 18, 28, 20, 55, 30, 34, 11, 43, 14, 22, 4, 62, 57, 46, 52, 38, 26, 32, 41, 50, 36, 17, 19, 29, 10, 13, 21, 56, 45, 25, 31, 35, 16, 9, 12, 44, 24, 15, 8, 23, 7, 6, 5 }; int log2_64 (uint64_t value) { value |= value >> 1; value |= value >> 2; value |= value >> 4; value |= value >> 8; value |= value >> 16; value |= value >> 32; return tab64[((uint64_t)((value - (value >> 1 ))*0x07EDD5E59A4E28C2)) >> 58]; } ``` * 32-bit version ```C const int tab32[32] = { 0, 9, 1, 10, 13, 21, 2, 29, 11, 14, 16, 18, 22, 25, 3, 30, 8, 12, 20, 28, 15, 17, 24, 7, 19, 27, 23, 6, 26, 5, 4, 31 }; int log2_32 (uint32_t value) { value |= value >> 1; value |= value >> 2; value |= value >> 4; value |= value >> 8; value |= value >> 16; return tab32[(uint32_t)(value*0x07C4ACDD) >> 27]; } ``` gcc 提供 built-in Function: * [int __builtin_clz (unsigned int x)](http://gcc.gnu.org/onlinedocs/gcc/Other-Builtins.html) * Returns the number of leading 0-bits in x, starting at the most significant bit position. * If x is 0, the result is undefined. 可用來實做 log2: ```C #define LOG2(X) ((unsigned) \ (8 * sizeof (unsigned long long) - __builtin_clzll((X)) - 1)) ``` 那該如何實做 clz 呢? - [ ] iteration version ```C int clz(uint32_t x) { int n = 32, c = 16; do { uint32_t y = x >> c; if (y) { n -= c; x = y; } c >>= 1; } while (c); return (n - x); } ``` - [ ] binary search technique ```C int clz(uint32_t x) { if (x == 0) return 32; int n = 0; if (x <= 0x0000FFFF) { n += 16; x <<= 16; } if (x <= 0x00FFFFFF) { n += 8; x <<= 8; } if (x <= 0x0FFFFFFF) { n += 4; x <<= 4; } if (x <= 0x3FFFFFFF) { n += 2; x <<= 2; } if (x <= 0x7FFFFFFF) { n += 1; x <<= 1; } return n; } ``` - [ ] byte-shift version ```C int clz(uint32_t x) { if (x == 0) return 32; int n = 1; if ((x >> 16) == 0) { n += 16; x <<= 16; } if ((x >> 24) == 0) { n += 8; x <<= 8; } if ((x >> 28) == 0) { n += 4; x <<= 4; } if ((x >> 30) == 0) { n += 2; x <<= 2; } n = n - (x >> 31); return n; } ``` * [ffs](http://man7.org/linux/man-pages/man3/ffs.3.html)() 會回傳給定數值的 first bit set 的位置 * 例如 128 在 32-bit 表示為 `0x10000000`,ffs(128)會回傳 8 * 129 在 32bit 表示為 `0x10000001,`ffs(129) 會回傳 1 延伸閱讀: [Bit scanning equivalencies](https://fgiesen.wordpress.com/2013/10/18/bit-scanning-equivalencies/) ## 省去迴圈 考慮以下 C 程式,解說在 32-bit 架構下具體作用(不是逐行註解),以及能否避開用迴圈? ```c int func(unsigned int x) { int val = 0; int i = 0; for (i = 0; i < 32; i++) { val = (val << 1) | (x & 0x1); x >>= 1; } return val; } ``` 簡單來說這段程式碼就是拿來顛倒輸入數字的位元順序,如下面測試所示,顛倒後位元不足 32bit 者,全部補 0 ```txt ------input number 99-------- 2bit= 1100011 val = 11000110000000000000000000000000 ------output number -973078528-------- ------input number 198-------- 2bit= 11000110 val = 1100011000000000000000000000000 ------output number 1660944384-------- ------input number 297-------- 2bit= 100101001 val = 10010100100000000000000000000000 ------output number -1803550720-------- ------input number 396-------- 2bit= 110001100 val = 110001100000000000000000000000 ------output number 830472192-------- ------input number 4294967281-------- 2-bit= 11111111111111111111111111110001 val = 10001111111111111111111111111111 ------output number -1879048193-------- ``` 參考 [Reverse integer bitwise without using loop](http://stackoverflow.com/questions/21511533/reverse-integer-bitwise-without-using-loop),將原本的 for 迴圈變更為 bit-wise 操作: ``` new = num; new = ((new & 0xffff0000) >> 16) | ((new & 0x0000ffff) << 16); new = ((new & 0xff00ff00) >> 8) | ((new & 0x00ff00ff) << 8); new = ((new & 0xf0f0f0f0) >> 4) | ((new & 0x0f0f0f0f) << 4); new = ((new & 0xcccccccc) >> 2) | ((new & 0x33333333) << 2); new = ((new & 0xaaaaaaaa) >> 1) | ((new & 0x55555555) << 1); ``` 在不使用迴圈的情況下,可以做到一樣的功能。 ## 加解密的應用 - [ ] Caesar shift cipher * 把 A-Z 這 26 個字母表示成 A=0, B=1, ..., Z=25,然後給任意一個 KEY,把訊息的字母加上 KEY 之後 mod 26 就會得到加密之後的訊息。假設 KEY=19,那麼原本的訊息例如 HELLO (7 4 11 11 14) 經過 cipher 後 (26 23 30 30 33) mod 26 => (0 23 4 4 7) 會變成 AXEEH 的加密訊息。 - [ ] XOR * 假設有一張黑白的相片是由很多個0~255的pixel組成(0是黑色,255是白色),這時候可以用任意的 KEY (00000000~2~ - 11111111~2~) 跟原本的每個 pixel 做運算,如果使用 AND (每個bit 有75% 機率會變成 0),所以圖會變暗。如果使用 OR (每個 bit有 75% 機率會變 1),圖就會變亮。這兩種幾乎都還是看的出原本的圖片,但若是用 XOR 的話,每個 bit 變成 0 或 1 的機率都是 50%,所以圖片就會變成看不出東西的雜訊。 ![](https://hackpad-attachments.s3.amazonaws.com/embedded2016.hackpad.com_Sc7AmIvN7EN_p.578574_1463033229650_13199369_1147773728576962_1986608170_o.jpg) 上圖左 1 是原圖,左 2 是用 AND 做運算之後,右 2 是用 OR 做運算之後,右 1 是用 XOR,可見使用 XOR 的加密效果最好。 參考資料:[Ciphers vs. codes ](https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/cryptography/ciphers/a/ciphers-vs-codes)