エルミート作用素（観測量・Observable）のスペクトル分解
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**誰でも編集歓迎**

『量子プログラミングの基礎』p.28より一部変更

ヒルベルト空間$\mathcal{H}$上のエルミート作用素（観測量）$M\in\mathcal{L}(\mathcal{H})$の点スペクトルを$\mathrm{spec}(M)$と書く．

このとき，
\begin{align}
M = \sum_{\lambda\in\mathrm{spec}(M)} \lambda P_\lambda
\end{align}
と書ける（ホンマか？）．ただし$P_\lambda$は固有値$\lambda$に対応する固有空間への射影演算子である．
これを，$M$のスペクトル分解と呼ぶ．

# 証明
$M$の固有空間は$M$の次元と同じ分だけ存在する．
つまり，$M$の固有空間からそれぞれ単位ベクトル$\lvert e_\lambda \rangle\,(\lambda\in\mathrm{spec}(M))$をとったとき，$\{\lvert e_\lambda \rangle\}$の張る空間は$\mathcal{H}$である．
↑これ有限次元のときは$\det(M-\lambda I)=0$について代数学の基本定理を使えば何とかなると思うんですけど無限次元のときはどうすればいいんでしょう？

つまり，任意の$\lvert \psi \rangle \in \mathcal{H}$について
\begin{align}
\lvert \psi \rangle = \sum_{\lambda} a_\lambda \lvert e_\lambda \rangle
\end{align}
と分解すれば
\begin{align}
M\lvert \psi \rangle &= M\sum_{\lambda} a_\lambda \lvert e_\lambda \rangle \\
&= \sum_{\lambda} a_\lambda M\lvert e_\lambda \rangle \\
&= \sum_{\lambda} \lambda a_\lambda \lvert e_\lambda \rangle \\
&= \sum_{\lambda} \lambda P_\lambda \lvert \psi \rangle \\
&= \left(\sum_{\lambda} \lambda P_\lambda\right) \lvert \psi \rangle
\end{align}
であるから（定義より$a_\lambda\lvert e_\lambda \rangle = P_\lambda \lvert \psi \rangle$），
\begin{align}
M = \sum_{\lambda} \lambda P_\lambda.
\end{align}
（証明終）