# ゲーム理論 1. 概論

この文章は, 岡田章によるゲーム理論(有斐閣)の読書まとめである.
この文章の目的は, 筆者がこの本でゲーム理論を学ぶための個人的まとめである.

本の導入部分なので, 形式的な定義は後でされるものと思って読んだ(実際にちゃんと定義されていないものが多い).

## ゲーム理論(game theory)とは
> 様々な意思決定の相互依存関係を, 数理的で厳密な方法論を用いて分析する理論

**ゲーム的状況(game sisuations)**
> 複数の意思決定主体または行動主体が存在し, それぞれ一定の目的の実現を目指して相互位依存し合っている状況.

ゲーム理論では, ゲーム的状況を数理モデルを用いて定式化し, プレイヤーの間の利害の対立と協力を分析する. この数理モデルを **ゲーム(game)** とよぶ.

## ゲームの基礎概念
**プレイヤー(player)**
> ゲームにおいて自律的な意思決定が出来る最小単位のこと
> プレイヤーの数によって, 2人ゲーム, 3にんゲーム, $n$人ゲームと呼ばれる.
>

プレイヤーが **合理的(rational)** とは, プレイヤーがそれぞれに明確な目的をもち, 可能な限り自分の目的を達成するように行動を選択すること.

### ゼロ和ゲームと非ゼロ和ゲーム
プレイヤーの目的が完全に相反するゲームを **ゼロ和ゲーム(zero-sum game)** といい, そうでないゲームを **非ゼロ和ゲーム(non-zero-sum game)** と呼ぶ. 非ゼロ和ゲームにおいて, プレイヤーの目的はある側面では一致するが, 他の側面では異なることが多い. そのため, プレイヤーの間で利害の対立や競争, さらに協力などの複雑で多様な相互依存関係が混在する. 複数のプレイヤーが協力を目的として形成する集団を, **提携(coalition)** という.

### 戦略と結果
ゲームをプレイするために必要な行動の計画を, 一般に, **戦略(strategy)** という. 全てのプレイヤーがそれぞれの戦略に従ってゲームをプレイすることによって, ゲームの **結果(outcome)** が定まる. ゲームに参加するプレイヤーは, それぞれの目的に従ってゲームの結果を評価することができ, 複数の可能なゲームの結果に関する **選好順序(preference order)** をもつ. プレイヤーの選考順序を数値化したものを **効用(utiliy)** もしくは **利得(payoff)** とよぶ. プレイヤーは自分の利得を可能な限り最大にするように戦略を決定する.

### 情報完備ゲームと情報不完備ゲーム
**規則(rule)**
プレイヤーの集合, プレイヤーの目的, 選択可能な行動の集合, ゲームプレイの進行を定める様々な規定のこと

**情報完備ゲーム(game with complete information)**
ゲームに参加する全てのプレイヤーがゲームのルールを完全に知っていて, さらに, 全てのプレイヤーが他のプレイヤーもゲームのルールを完全に知っていることを相互に認識し合っているゲームのこと. また, このとき, ゲームのルールはプレイヤーの **共有知識(common knowledge)** であるという.

**情報不完備ゲーム(game with incomplete information)**
ゲームのルールがプレイヤーの間で共有知識でないゲームのこと

### ゲーム理論で扱う状況
ゲーム的状況における利得の最大化は一人の意思決定問題に比べて著しく複雑である.

なぜなら, プレイヤーの利得が自分自身の行動だけでなく, 他のプレイヤーの行動にも依存するため, プレイヤーは意思決定に際して, 他のプレイヤーの行動を十分に考慮し推論する必要があるから.

ゲーム理論では, 合理的なプレイヤーの特性として, 以下を前提とする.
1. 利得の最大化を目指す
2. 相手の行動を可能な限り推論する

### 合理性(rationality)を探求するアプローチ
以下ではプレイヤーの合理性に仮定をおいた上で, プレイヤーの互いの行動に関する推論を理論的に解明しようとする研究課題が扱っているキーワードについて述べる.

**理性的(intelligent)**
全てのプレイヤーはゲームのルールと互いの合理性を共通に認識していることを前提のもと, 各プレイヤーが相手の行動を推論すること.

**限定合理性(bounded rationality)**
プレイヤーの合理性がさまざまな形で限定されているという前提. これは上のintelligentを緩和した前提になっている.

**ゲームの解(solution)**
ゲームにおいてプレイヤーが相手の行動をどのように推論し, それに基づいてどのように行動しどのようなゲームの結果が実現するかを分析する概念

**ゲームの解を得るためには, ゲームのルールを明確に定義することが必要である**

### 様々なゲームモデル
**戦略形ゲーム(game in strategic form)**
プレイヤーの戦略と利得の関係を関数を用いて記述する, ゲームの最も基本的なモデル.

**展開形ゲーム(game in extensive form)**
ゲームにおける手番の系列をゲームの木を用いて記述し, ゲームの動学的構造や情報構造を定式化する.

**提携形ゲーム(game in coalitional form)**
プレイヤーの様々な提携にとって実現可能な総利得, または利得分配の集合を記述し, 提携行動の分析に用いられる.

### 非協力ゲームと協力ゲーム
**非協力ゲーム(noncooperatve game)**
プレイヤーの間でコミュニケーションが可能でなく, さらに拘束力のある合意が可能でないゲーム. 非協力ゲームではプレイヤーはそれぞれ独立に戦略を決定することが前提とされる.

**協力ゲーム(cooperative game)**
プレイヤーの間で戦略決定に関して話し合いと拘束力のある合意が可能であることを前提としたゲーム.