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title: 給初中生的斜率筆記
tags: [初中數學, 數學]

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# 給初中生的斜率筆記

###### tags: `數學` `初中數學`

# 前言

斜率的概念是高中教的，不過初中也很適合先認識，對很多初中數學的內容會有更完整的學習，而且會有一些好用的工具，我一般會建議初中生就先瞭解過斜率，可以在高中真正開始學的時候負擔不會那麼大。

如果你是初中生而且課內數學已經覺得很吃力了，也可以把下面當故事看，也許忽然就看懂本來就不太拿手的地方喔。

# 複習

在開始之前先複習一下初中一年級的方程式與直角坐標平面。

## 二元一次方程式

形如

* $2x+3y=7$
* $4x-y=10$
* $x-6=\dfrac{2}{3}y$
* $y=8x-5$

可整理為 $ax+by+c=0$ 的兩個變數 $x$ 和 $y$ 線性組合，次數一次的方程式，稱為二元一次方程式。

## 二元一次方程式的解

以 $4x-y=10$ 為例子，當 $x=3$ 且 $y=2$ 時，由於 $4\cdot 3-2=10$ 成立，所以稱

* $x=3$ 且 $y=2$ 滿足 $4x-y=10$
* $x=3$ 且 $y=2$ 是 $4x-y=10$ 的一組解
* $(x,\ y)=(3,\ 2)$ 是 $4x-y=10$ 的一組解
* $\left\{\begin{array}{c}x=3\\y=2\\\end{array}\right.$ 是 $4x-y=10$ 的一組解

而且如果沒有特殊限制時，二元一次方程式的解有無限多組：

* $(x,\ y)=(4,\ 6)$ 使得 $4\cdot 4-6=10$ 成立
* $(x,\ y)=(5,\ 10)$ 使得 $4\cdot 5-10=10$ 成立
* $(x,\ y)=(6,\ 14)$ 使得 $4\cdot 6-14=10$ 成立
* $(x,\ y)=(7,\ 18)$ 使得 $4\cdot 7-18=10$ 成立
* ……

||||||||
|-|-|-|-|-|-|-|
|$x$|3|4|5|6|7|...|
|$y$|2|6|10|14|18|...|

## 一元一次方程式

形如

* $x-3=0$
* $y=\dfrac{1}{2}$
* $3x+5=1$

可整理為 $ax+b=0$ 或是 $ay+b=0$，變數只有一個，次數一次的方程式，稱作一元一次方程式。

## 一元一次方程式的解

以 $x-3=0$ 為例，顯然 $x=3$ 使他成立，但如果加入變數 $y$，也可以看到滿足的數對有無限多組：

* $(x,\ y)=(3,\ 1)$ 使得 $3-3=0$ 成立
* $(x,\ y)=(3,\ 2)$ 使得 $3-3=0$ 成立
* $(x,\ y)=(3,\ 3)$ 使得 $3-3=0$ 成立
* $(x,\ y)=(3,\ 4)$ 使得 $3-3=0$ 成立
* $(x,\ y)=(3,\ 5)$ 使得 $3-3=0$ 成立
* ……

||||||||
|-|-|-|-|-|-|-|
|$x$|3|3|3|3|3|...|
|$y$|1|2|3|4|5|...|

## 直角坐標平面

直角坐標平面是以互相垂直的兩軸形成的坐標系統，習慣上，橫軸向右為正為 $x$ 軸，縱軸向上為正為 $y$ 軸，平面上的點分別作垂直到兩軸，得到軸上的數值做為數對，即為該點坐標。

![](https://i.imgur.com/OVj73bC.png)

如上圖
* $A$ 點作垂直到 $x$ 軸的值為 $2$，作垂直到 $y$ 軸的值為 $3$，記 $A$ 點坐標為 $A(2,\ 3)$
* $B$ 點作垂直到 $x$ 軸的值為 $-3$，作垂直到 $y$ 軸的值為 $1$，記 $B$ 點坐標為 $B(-3,\ 1)$


## 二元一次方程式的圖形

以 $4x-y=10$ 為例，將解 $(3,\ 2)$ 、 $(4,\ 6)$ 、 $(5,\ 10)$ ... 等等描繪在直角坐標平面上，得到的圖形就是二元一次方程式 $4x-y=10$ 的圖形，如下：

![](https://i.imgur.com/FEYCSif.png)

除了坐標值為正整數的 $A(3,\ 2)$ 和 $B(4,\ 6)$，還有負整數的 $C(2,\ -2)$ ，分數或小數的 $D(\dfrac{7}{2},\ 4)$、$E(\dfrac{5}{2},\ 0)$ ，他們都是 $4x-y=10$ 的其中一個解：

* $4\cdot 2 - (-2) = 10$ ，所以 $C(2,\ -2)$ 也是一個解。
* $4\cdot\dfrac{7}{2} - 4 = 10$ 和 $4\cdot\dfrac{5}{2} - 0 = 10$，所以 $D(\dfrac{7}{2},\ 4)$ 和 $E(\dfrac{5}{2},\ 0)$ 也是解。 
* ……

這無窮多個點，綿密地形成一條直線，這條直線就是 $4x-y=10$ 的圖形。

## 特殊的直線

前面提到的一元一次方程式也能視做兩個變數，只是另一個變數代入任何值都可以，這樣解一樣有無窮多組。

### 鉛直線
例如 $x-3=0$ 的解有 $(3,\ 1)$ 、$(3,\ 2)$ 、 $(3,\ 3)$ 、 ... 、$(3,\ -1)$ 、... 如下圖，像這樣與 $x$ 軸垂直的直線稱作「鉛直線」，形式為 $x=k$。

![](https://i.imgur.com/qEt8nUV.png)

### 水平線

例如 $y=\dfrac{1}{2}$ 的解有 $(-1,\ \dfrac{1}{2})$ 、$(0,\ \dfrac{1}{2})$ 、 $(1,\ \dfrac{1}{2})$ 、 $(2,\ \dfrac{1}{2})$ 、... 如下圖，像這樣與 $y$ 軸垂直的直線稱作「水平線」，形式為 $y=k$。

![](https://i.imgur.com/HjSe6zx.png)

# 斜率

對於一條直線，可以有很多性質可以討論，像是上面提到的分類，是鉛直線、水平線或是斜直線，也可以討論方向、位置和傾斜程度。而傾斜程度就是一個很重要的性質。

## 傾斜程度

看下圖的黃色與藍色兩個三角形，哪個三角形的斜面我們會稱作比較「陡」？

![](https://i.imgur.com/IqAGnxZ.png)


是最後比較高的黃色三角形的斜面比較陡嗎？這也不一定，如果將他們疊起來：

![](https://i.imgur.com/niIZi31.png)

或是有角度：

![](https://i.imgur.com/NJxCcye.png)

就可以知道是藍色三角形的斜面比較陡，黃色三角形的斜面比較平緩，但大部份時候沒有剖面圖可知道角度，更不要說移動斜面做重疊了，所以要找別的可以量化傾斜程度的方法，例如高度差與水平距離的比例：

![](https://i.imgur.com/UGtyiwF.png)

* 黃色三角形的斜面在水平距離前進 $5$ 單位時，鉛直高度會上升 $2$ 單位，而 $2:5$ 的比值是 $0.4$
* 藍色三角形的斜面在水平距離前進 $2$ 單位時，鉛直高度會上升 $1$ 單位，而 $1:2$ 的比值是 $0.5$

比值 $0.4$ 與 $0.5$ 是怎樣的概念呢？當後項也就是基準量水平距離是 $1$ 單位時，黃色斜面的鉛直距離會是 $0.4$ 單位，而藍色斜面的鉛直距離是 $0.5$ 單位，比較大，所以藍色斜面比較陡：

![](https://i.imgur.com/OW7T82y.png)

而這個比值概念就是斜率。

## 直線圖形算傾斜程度

回到二元一次方程式的直線圖形，例如 $4x-y=10$，可以在直線上取兩點 $A(2,\ -2)$ 和 $B(4,\ 6)$，而 $C$ 點是過 $A$ 點作水平線與過 $B$ 點作鉛直線的交點，如下圖：

![](https://i.imgur.com/Ffhfae0.png)

求出鉛直距離差 $\overline{BC}=6-(-2)=8$，水平距離差 $\overline{AC}=4-2=2$，而 $8:2$ 的比值是 $4$。可試著在直線上取不同的點，會發現算出來的這個比值都是 $4$，至於為何不會變，這在初中三年級第五冊的相似形章節會解釋，不是此筆記的重點。

所以也可以發現一件事情：同一條直線上任兩點求出來的 $\dfrac{鉛直距離差}{水平距離差}$ 是相同的，我們稱這個數值為直線的斜率。

## 斜率定義

:::info
直線上取相異兩點 $P(x_1,\ y_1)$ 和 $Q(x_2,\ y_2)$，其斜率 $m=\dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$
:::

## 範例

$L:3x-2y+2=0$ 和 $M:x-2y-1=0$ 兩個二元一次方程式的圖形，何者圖形較陡峭？

解：

$L:3x-2y+2=0$ 上取兩點 $A(0,\ 1)$ 和 $B(2,\ 4)$，計算得 $L$ 的斜率 $m_L =\dfrac{1-4}{0-2}=1.5$ 

$M:x-2y-1=0$ 上取兩點 $C(1,\ 0)$ 和 $D(3,\ 1)$，計算得 $M$ 的斜率 $m_M=\dfrac{0-1}{1-3}=0.5$

得知 $L$ 的斜率較大，$L$ 的圖形較陡峭，觀察圖形確實是如此：

![](https://i.imgur.com/XmrV86O.png)

## 特殊斜率：負斜率

如果是直線 $N:2x+5y+1=0$，取兩點 $A(-3,\ 1)$ 和 $B(2,\ -1)$，得斜率 $\dfrac{1-(-1)}{(-3)-2}=-\dfrac{2}{5}$

![](https://i.imgur.com/4MmStjo.png)

會發現斜率是有可能小於零的，當水平變化量 $x_1 - x_2$ 為正數，但是鉛直變化量 $y_1 - y_2$ 為負數時，就會呈現如上圖的「左上-右下」方向的直線，這種「往右下」的直線，斜率就會是負數。

:::success
「左下-右上」走向的直線，或是「往右上」的直線 $\iff$ 斜率為正的直線

「左上-右下」走向的直線，或是「往右下」的直線 $\iff$ 斜率為負的直線
:::

![](https://i.imgur.com/W35Xz5R.png)

## 特殊斜率：水平線

斜率有正有負，那麼有零嗎？有的，當鉛直變化量為零，也就是 $y_1 - y_2 = 0$ 時，而直線取兩點的 $y$ 坐標不變，顯然會連成一條水平線，例如上面舉過的水平線例子 $y=\dfrac{1}{2}$，取兩點 $C(1,\ \dfrac{1}{2})$ 和 $D(2,\ \dfrac{1}{2})$，計算得斜率 $\dfrac{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}}{1-2}=\dfrac{0}{-1}=0$

![](https://i.imgur.com/HjSe6zx.png)

:::danger
水平線 $\iff$ 斜率為零的直線
:::
## 特殊斜率：鉛直線

那鉛直線的斜率又是如何呢？以上面舉過的例子 $x-3=0$，取兩點 $A(3,\ 1)$ 和 $B(3,\ 2)$ ，計算斜率為 $\dfrac{1-2}{3-3}=\dfrac{-1}{0}$ ，分母為零所以不存在斜率。

![](https://i.imgur.com/qEt8nUV.png)

:::info
鉛直線 $\iff$ 沒有斜率的直線
:::
## 相同斜率的兩條直線

會有兩條相異直線，有著相同斜率嗎？下面考慮 $L:2x+3y-5=0$ 和 $M:4x+6y+7=0$：

![](https://i.imgur.com/4adcdSt.png)

各自取兩點，$L$ 上取 $A(1,\ 1)$ 和 $B(4,\ -1)$，得斜率 $m_L = \dfrac{1-(-1)}{1-4}=-\dfrac{2}{3}$

$M$ 上取 $C(0,\ -\dfrac{7}{6})$ 和 $D(-\dfrac{7}{4},\ 0)$，得斜率 $m_M = \dfrac{-\dfrac{7}{6}-0}{0-(-\dfrac{7}{4})}=-\dfrac{2}{3}$

可知 $L$ 和 $M$ 有著相同的斜率 $-\dfrac{2}{3}$，從圖形來看恰好兩直線互相平行。確實在初中三年級第五冊會學到，可利用 SAS 相似三角形性質來證明，==擁有相同斜率的兩條直線，必定重合或平行==。證明不是本筆記的重點，還沒學到這章節的人可以先知道就好。

:::warning
平行的兩條直線 $\implies$ 斜率相等

斜率相等的兩條直線 $\implies$ 兩直線平行或重合

將一條直線平移 $\implies$ 斜率不變
:::
## 斜率大小變化

由以上可以得知，直線的走向與斜率的關係：

* 「左下-右上」的斜直線，斜率為正數
* 「左上-右下」的斜直線，斜率為負數
* 水平線，斜率為零
* 鉛直線，斜率不存在

### 往右上的直線變化

關注在斜率為正數的「往右上的」直線，因為平移不影響斜率的值，所以都平移到通過原點 $O(0,\ 0)$ 來方便比較：

![](https://i.imgur.com/e3T4a2p.png)

從上圖可知，隨著直線從水平線斜率為零，慢慢隨著直線逆時針旋轉愈來愈陡，斜率也愈來愈大，愈是趨近鉛直線 $y$ 軸，斜率就愈趨近於無窮大，當直線和 $y$ 軸重合變為鉛直線，則沒有斜率。

（上圖的斜率無窮大只是示意，實際上不會有直線的斜率恰為無窮大，下圖的負無窮大也是如此）

### 往右下的直線變化

同樣的關注斜率為負數、方向「往右下的」直線，也是平移到通過原點：

![](https://i.imgur.com/1ySj5vI.png)

當 $y$ 軸鉛直線時沒有斜率，逆時針旋轉則從負無窮大慢慢變大，保持著負數愈來愈大，直線也愈來愈平緩，直到旋轉成為水平線與 $x$ 軸重合，斜率為零。

# 工具

學習斜率當然會希望有什麼對初中課內有幫助的，下面來看幾個性質。

## 二元一次方程式係數與斜率

### 性質
:::info
$ax+by+c=0$ 的直線，若 $b\neq 0$，則斜率 $m=-\dfrac{a}{b}$
:::

### 證明

若直線不是鉛直線則有斜率，假設斜率為 $m$，且在直線上取一點 $P(x_0,\  y_0)$，由斜率定義 $m=\dfrac{鉛直變化量}{水平變化量}=\dfrac{m}{1}$，故另一點 $Q(x_0 + 1,\ y_0 + m)$ 也在直線上。

將 $P$ 、 $Q$ 兩點坐標代入方程式必滿足，則有聯立方程組：

$\left\{\begin{array}{l}ax_0 +by_0 + c =0\\a(x_0+1)+b(y_0+m)+c=0\\\end{array}\right.$ 

$\xrightarrow{下式展開}\ \left\{\begin{array}{l}ax_0 +by_0 + c =0\\ax_0+a+by_0+bm+c=0\\\end{array}\right.$


$\xrightarrow{下式整理}\ \left\{\begin{array}{l}ax_0 +by_0 + c =0\\(ax_0+by_0+c)+a+bm=0\\\end{array}\right.$ 

$\xrightarrow{上式代入下式}\ 0+a+bm=0$

$\implies m = -\dfrac{a}{b}$ 得證。


### 範例

* $2x+3y=7$ 的斜率為 $-\dfrac{2}{3}$

* $4x-y=10$ 的斜率為 $-\dfrac{4}{-1}=4$

* $x-6=\dfrac{2}{3}y$ 可整理為 $3x-2y-18=0$ ，得斜率為 $-\dfrac{3}{-2}=\dfrac{3}{2}$

* $y=8x-5$ 可整理為 $8x-y-5=0$ ，得斜率為 $-\dfrac{8}{-1}=8$

由上面兩個範例發現，$y=8x-5$ 或 $y=4x-10$ 形式的直線，斜率恰好是 $x$ 的係數，這又是一個性質喔，這個形式是一次函數，後面會再討論。

### 延伸

由係數與斜率關係的這個性質可知，一個二元一次方程式的斜率可以由 $x$ 項與 $y$ 項係數來決定，所以 $x$ 項與 $y$ 項相同、但是常數項不同的另一個方程式，圖形就會是傾斜程度相同但又不是同一個圖形，就得到平行的直線了。

## 平行線

### 性質

:::success
$ax+by+c_1=0$ 與 $ax+by+c_2=0$ ，其中 $c_1\neq c_2$，其圖形互相平行。
:::

### 範例

求通過 $A(1,\ 2)$ 且平行 $2x+3y=16$ 的直線方程式。

![](https://i.imgur.com/Jjb8cMb.png)

解：假設所求直線方程式為 $2x+3y+c=0$ ，代入 $(x,\ y)=(1,\ 2)$ ，得
$2\cdot 1 + 3\cdot 2 + c = 0$ ，解得 $c=-8$，故所求方程式為 $2x+3y-8=0$

### 聯立方程組的解的討論

課內對平行重合的解釋是用二元一次聯立方程組的解（無解或無限多組解）的討論，結合係數比例做出來的，認識了斜率後可以與之做一個比較。

## 一次函數的係數與斜率

### 性質
:::danger
一次函數 $f(x)=ax+b$，其圖形 $y=f(x)$ 直線的斜率即 $a$ 
:::

或更接近初中一年級學生認識的一次函數形式會是：

:::warning
一次函數 $y=ax+b$，其圖形直線的斜率即 $a$
:::

### 證明

設 $y=f(x)=ax+b$ 圖形上有相異兩點 $(x_1,\ f(x_1))$ 和 $(x_2,\ f(x_2))$ ，

則斜率為 $m=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 - x_2}$

得 $m=\dfrac{(ax_1 +b)-(ax_2 +b) }{x_1 - x_2}$

$=\dfrac{ax_1+b-ax_2-b}{x_1-x_2}$

$=\dfrac{a(x_1-x_2)}{x_1-x_2}$

$=a$ ，故得證。

最後可分母分子約去 $(x_1-x_2)$ 是因為相異兩點故 $x_1\neq x_2$，得 $x_1-x_2\neq 0$ 才可約去。

證明過程的 $\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$ 可能初中生在課內的習題就看過了，算到最後會發現就是 $x$ 項係數 $a$，其實這種形式在高中微積分章節還會常常看到呦。

## 點斜式

### 性質

:::info
通過點 $(x_0,\ y_0)$ 且斜率為 $m$ 的直線，其方程式為 $y-y_0=m(x-x_0)$
:::

### 證明

設動點 $(x,\ y)$ 為直線上一點，與定點 $(x_0,\ y_0)$ 求得的斜率即直線的斜率，故有：

$m=\dfrac{y-y_0}{x-x_0}$ ，兩邊同乘以 $(x-x_0)$ 得 $m(x-x_0) = y-y_0$ ，故得證。

### 範例

* 通過 $(3,\ 1)$ 且斜率 $4$ 的直線方程式為 $y-1=4(x-3)$ ，整理得 $4x-y-11=0$
* 通過 $(-2,\ 5)$ 且斜率 $-\dfrac{3}{4}$ 的直線方程式為 $y-5=-\dfrac{3}{4}[x-(-2)]$ ，整理得 $3x+4y-14=0$

## 兩點式
### 性質
:::success
當 $x_1\neq x_2$ ，通過 $A(x_1,\ y_1)$ 與 $B(x_2,\ y_2)$ 兩點的直線方程式為 $\dfrac{y-y_2}{x-x_2}=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$
:::
### 證明

設動點 $P(x,\ y)$ 為直線上一點，則三點之間任兩點求得的斜率要相同，

![](https://i.imgur.com/mladv7W.png)

考慮 $P$ 點與 $B$ 點的斜率，還有 $A$ 點與 $B$ 點的斜率， $m_{PB}=m_{AB}$ ，即得 $\dfrac{y-y_2}{x-x_2}=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$

### 範例1

求通過 $(-1,\ 1)$ 與 $(9,\ 5)$ 的直線方程式。

#### 初中課內解法：

由通過兩點 $x$ 坐標不同，判斷不是鉛直線，假設所求方程式為 $y=ax+b$，代入通過兩點：

$\left\{\begin{array}{l}1=a\cdot(-1)+b\\5=a\cdot(9)+b\\\end{array}\right.$

$\xrightarrow{整理得}\ \left\{\begin{array}{l}a-b=-1\\9a+b=5\\\end{array}\right.$

$\xrightarrow{兩式相加得}\ 10a=4$ ，得 $a=\dfrac{2}{5}$ ，代回得 $b=\dfrac{7}{5}$

得直線方程式為 $y=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{7}{5}$ ，可再整理為 $2x-5y+7=0$

#### 斜率點斜式解法：

由通過兩點 $x$ 坐標不同，判斷不是鉛直線，先用通過兩點求斜率：$m=\dfrac{1-5}{(-1)-9}=\dfrac{2}{5}$
通過 $(9,\ 5)$，由點斜式得 $y-5=\dfrac{2}{5}(x-9)$

$\xrightarrow{同乘以5}\ 5(y-5)=2(x-9)$ 整理得 $2x-5y+7=0$

#### 斜率兩點式解法：

由通過兩點 $x$ 坐標不同，判斷不是鉛直線，則由兩點式得所求為 $\dfrac{y-5}{x-9}=\dfrac{1-5}{(-1)-9}$

$\xrightarrow{右邊化簡}\ \dfrac{y-5}{x-9}=\dfrac{2}{5}$

$\xrightarrow{同乘以5(x-9)}\ 5(y-5)=2(x-9)$ ，整理得 $2x-5y+7=0$

斜率的精髓，並不是死板地代公式，而是利用成比例的概念，彈性地運用，例如下面的範例：

### 範例2

已知兩點 $A(12,\ 7)$ 和 $B(3,\ 3)$ ，求直線 $\overleftrightarrow{AB}$ 與 $x$ 軸的交點 $C$ 的坐標。 

![](https://i.imgur.com/GHJVPFe.png)

#### 初中課內的解法：

設 $\overleftrightarrow{AB}$ 的方程式為 $y=ax+b$ ，代入 $A(12,\ 7)$ 和 $B(3,\ 3)$ 解聯立，解得 $a$ 和 $b$ 後得直線方程式，再與 $x$ 軸：$y=0$ 解聯立得交點 $C$ 的坐標。

#### 斜率兩點式或點斜式的解法：

由兩點式或點斜式公式，先得到 $\overleftrightarrow{AB}$ 方程式，再與 $x$ 軸：$y=0$ 解聯立得交點 $C$ 的坐標。

#### 三點共線解法：

由於 $C$ 點在 $x$ 軸上，設 $C(t,\ 0)$，利用任兩點求的斜率相同 $m_{AB} = m_{BC}$，得：

$\dfrac{7-3}{12-3}=\dfrac{3-0}{3-t}$

$\xrightarrow{化簡}\ \dfrac{4}{9}=\dfrac{3}{3-t}$

$\xrightarrow{同乘以9(3-t)}\ 4(3-t)=3\cdot 9$ ，解得 $t=-\dfrac{15}{4}$

得交點 $C(-\dfrac{15}{4},\ 0)$

# 結語

斜率牽涉的性質非常多，在高中數學裡結合向量和三角函數後可以變得很複雜，非常推薦在初中負擔還沒有那麼重時先瞭解過喔。