---
# System prepended metadata

title: 'Punkty równowagi, charakterystyki statyczne'

---

---
title: PODA - Egzamin
description: Opracowanko do betonu
...

[toc]

# Punkty równowagi, charakterystyki statyczne

- Rozwiązać układ w zależności od u


# Nieliniowy model statyczny

$\dot{x_1} =ax_1(t) + bx_2(t) + cu(t)$
$\dot{x_2} =dx_1(t) + ex_2(t) + fu(t)$
$y(t)=f(x_1, x_2)$

Rozwiązujemy układ równań
$ax_1 + bx_2 + cu=0$
$dx_1 + dx_2 + fu=0$

Uzależniając $x_1, x_2, y$ od $u$

# Charakterystyka statyczna zlinearyzowana
Podstawiamy tu $f(u)$, tam gdzie jest $x_0$ wstawiamy po prostu $u_0$, pochodną też liczymy po $u$.

$f(x)=f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$

# Macierze modelu liniowego
$\dot{x_1} =ax_1(t) + bx_2(t) + cu(t)$
$\dot{x_2} =dx_1(t) + ex_2(t) + fu(t)$
$y(t) =gx_1(t) + hx_2(t) + iu(t)$

$\dot{x}(t) = \textbf{A}x(t) + \textbf{B}u(t)$
${y}(t) = \textbf{C}x(t) + \textbf{D}u(t)$


$\textbf{A} = \begin{bmatrix}
  a & b\\
  d & e
 \end{bmatrix}$
 
 $\textbf{B} = \begin{bmatrix}
  c\\
  f
 \end{bmatrix}$
 
  $\textbf{C} = \begin{bmatrix}
  g & h
 \end{bmatrix}$
 
   $\textbf{D} = \begin{bmatrix}
  i
 \end{bmatrix}$

 
# Transmitancja operatorowa

$G(s) = \pmb{C}(s\pmb{I}-\pmb{A})^{-1}\pmb{B}+\pmb{D}$

$\pmb{I}$  - macierz jednostkowa

$s$ - jakaś tam zmienna

> Takie coś ale nwm gdzie wrzucić, może się przyda
> $\mathscr{L}[e^{\pmb{A}t}](s) = (s\pmb{I}-\pmb{A})^{-1} = \frac{L(s)}{M(s)}$

## Odwrotność macierzy 2x2
$\begin{bmatrix}
  a & b\\
  c & d
 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}
  d & -b \\
  -c & a
 \end{bmatrix}$

> _Jebanie małych dzieci to nie tylko przyjemność ale też obowiązek._ 
> [name=Jan Paweł II] [time=21:37]


# Odpowiedź impulsowa

$G(s)$ - [transmitancja operatorowa](#Transmitancja-operatorowa)

$g(t) = \mathscr{L}^{-1}[G(s)](t)$




# Odpowiedź skokowa

$G(s)$ - [transmitancja operatorowa](#Transmitancja-operatorowa)

$h(t) = \mathscr{L}^{-1}[\frac{G(s)}{s}](t)$

# Wzmocnienie statyczne

$K_{st} = \displaystyle{\lim_{s \to 0}}\space G(s)$ - na podstawie transmitancji

$K_{st} = \displaystyle{\lim_{s \to \infty}}\space h(s)$ - na podstawie odpowiedzi skokowej

# Transmitancja zastępcza 

## Połączenie szeregowe

![](https://codimd.s3.shivering-isles.com/demo/uploads/upload_35b2630a09e772f574f522a0e1216fcc.png)



## Połączenie równoległe

![](https://codimd.s3.shivering-isles.com/demo/uploads/upload_e65d1fa81cc3c9407bb0144aa548a1b3.png)


## Sprzężenie zwrotne
![](https://codimd.s3.shivering-isles.com/demo/uploads/upload_b9a32da612be00f1e50468664fcf4c47.png)

## Przesuwanie węzłów
![](https://codimd.s3.shivering-isles.com/demo/uploads/upload_7e637cb409c0dfdfffac6b42e4d2b924.png)


# Kryterium Kurwitza

$G(s) = \frac{L(s)}{M(S)}$

Bierzemy mianownik transmitancji zastępczej (wielomian $M(s)$)

$M(s)=a_ms^m + ... + a_2s^2+a_1s+a_0$

* Każdy współczynnik wielomianu musi być dodatni
* Tworzymy macierz Kurwitza:
    * Dla $m = 2$
        $\textbf{H} = \begin{bmatrix}
         a_1 & a_2\\
         0 & a_0
         \end{bmatrix}$

    * Dla $m = 3$
        $\textbf{H} = \begin{bmatrix}
          a_2 & a_3&0\\
          a_0 & a_1 & a_2\\
          0 & 0 & a_0
         \end{bmatrix}$
 
* Każdy minor główny (wyznacznik podmacierzy z lewego górnego rogu) musi być równy 0
    * Dla $m = 2$
        1. $\det{\textbf{H}} = a_1a_0 > 0$
        
    * Dla $m = 3$:
        1. $\Delta_1 = a_2a_1 - a_3a_0 > 0$
        2. $\Delta_0 = a_0 \cdot \Delta_1 > 0$
        
        
        

# Uchyb

Liczymy ile jest całkowań w układzie (w regulatorze i obiekcie)
Całkowanie występuje tam, gdzie występuje współczynnik $\frac{1}{s}$

![](https://codimd.s3.shivering-isles.com/demo/uploads/upload_c8ed19ed51416ce860053c58302837b8.png)

Potem, w zależności od liczby całkowań, liczymy uchyb na pałę wg wzoru w tabeli:

![](https://codimd.s3.shivering-isles.com/demo/uploads/upload_900b6504a5dde1e8f171c40cbd68c993.png)

> $n = 0$ - wymuszenie skokowe
> $n = 1$ - wymuszenie liniowo zmienne w czasie, tzw. prędkościowe


> W zależności od zadanego $y_{zad}$, tylko jedno $l + r$ ma sens w zadaniu, więc jest de facto znane już w samej treści
> [name=Oluś :heart: :gaycouple:]
> 

Dla regulatora PI (tylko taki znamy chyba):

$k = 1$

$k_r = \frac{k_p}{T_i}$


# Charakterystyki Bodego

Np.

$G(s) = \frac{1}{s(s+1)(0.1s+1)}$

Rozbijamy na iloczyn ułamków:

$G(s) = \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s+1} \cdot \frac{1}{0.1s+1} = G_1(s)\cdot G_2(s) \cdot G_3(s)$

## Warianty wykresów

Rysujemy sobie wykresiki $G_n(s)$, a potem $G(s)$ to już sumowańsko na pałę i elo

### Człon całkujący

#### Ułamek w postaci

$G(s)=\frac{k}{s}$

#### Wzorki
$|G(j\omega)|=\frac{k}{\omega}$

$\phi(\omega) = -\frac{\pi}{2}$

#### Wykresy

##### Amplitudowa

![](https://codimd.s3.shivering-isles.com/demo/uploads/upload_dd8166a045378779fe9ed266b5d005f5.png)

> Uwaga: wykres zaczyna się w $0.1k$, nie w $0$. 

Prosta przechodząca przez punkty $(0.1k, 20dB)$ i $(k, 0dB)$

##### Częstotliwościowa
Prosta $\phi(\omega) = -\frac{\pi}{2}$

### Człon inercyjny z opóźnieniem

#### Ułamek w postaci

$G(s)=\frac{k}{sT + 1}e^{-sT_0}$

#### Wzorki

$|G(j\omega)|=\frac{k}{\sqrt{1 + T^2\omega^2}}$

$\phi(\omega) = -\operatorname{arctg}{T\omega} - T_0\omega$

#### Wykresy

##### Amplitudowa

![](https://codimd.s3.shivering-isles.com/demo/uploads/upload_900055d31024e8a1939834140c965221.png)

##### Częstotliwościowa

![](https://codimd.s3.shivering-isles.com/demo/uploads/upload_d2b10bc2b08d92cce51edab9ee7b4f95.png)

# Równania różnicowe

Mamy coś podane w stylu

$R(s) = \frac{U(s)}{E(s)} = 70\cdot \frac{s+2}{s+10}$

Przekształcamy do postaci:

$a\cdot U(s) + b\cdot U(s)s = c\cdot E(s) + d\cdot E(s)s$

Następnie:

$b\cdot \frac{u[k]-u[k-1]}{T_p} + au[k] = d\cdot \frac{e[k]-e[k-1]}{T_p} + c\cdot e[k]$

Wyciągamy $u[k]$ i gituwa $6pkt$ ez wpadło

## Transmitancja dyskretna
Jak już mamy

$u(k)=a \cdot u[k-1] + b\cdot e[k] + c\cdot e[k-1]$

To:

$U(z)=a\cdot U(z)z^{-1} + b\cdot E(z) + c\cdot E(z)z^{-1}$

$U(z)(1-az^{-1})=E(z)(b+cz^{-1})$

$G(z)=\frac{U(z)}{E(z)}=\frac{(1-az^{-1})}{(b+cz^{-1})}$


## Dyskretyzacja metoda Eulera

$R(s) = \frac{U(s)}{E(s)}$

$U(s)\cdot s = \frac{du(t)}{dt}$

$U(s) = u(t)$

$\frac{du(t)}{dt} = \frac{u(k) - u(k-1)}{Tp}$

podobnie E(s)


## Dyskretyzacja metoda Tustina (trapezów)

$\frac{1}{s} = \frac{Tp}{2} \cdot \frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}$

$s = \frac{2}{Tp} \cdot \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$


# Zapas fazy i amplitudy

$90^\circ$
