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# System prepended metadata

title: Boolean Algebra
tags: [Fundamentals of Logic Design]

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tags: Fundamentals of Logic Design
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# Boolean Algebra

## Basic Operations and Truth Table

![](https://i.imgur.com/b6Ya4zg.png)
L, H: 高電位，低電位
F, T: false, true
complement(補數)： 把零變一之類的
圈圈代表一個 inverter。之後寫得簡潔一點就會把前面的三角形拿掉


![](https://i.imgur.com/2krHsDD.png)
And gate
![](https://i.imgur.com/uhz6ov4.png)
OR gate 
沒有特別強調就是 inclusive or 
inclusive or: 可以兩個都是1 或 0


![](https://i.imgur.com/7oYAP4t.png)
布林公式，可以試著推推看


![](https://i.imgur.com/RU45LUZ.jpg)
這是所謂的真值表，左邊是 input 右邊是最後的結果
加法：OR
乘法：AND


![](https://i.imgur.com/C8o3IwX.png)

左邊是 or 右邊是 and
下面那題，後面一個加一，前面都不用看，就是等於一。


## Basic & Advanced Theorems
![](https://i.imgur.com/7qVc6l6.png)
:arrow_up: 上圖的下面定理，電路化簡會用到。


![](https://i.imgur.com/LlK96f9.jpg)
這裡很重要
or＝並聯。 and＝串連


![](https://i.imgur.com/5xKM2TK.png)

![](https://i.imgur.com/Dop0wU8.png)
or＝並聯。 and＝串連


![](https://i.imgur.com/t5PnBXE.png)

串連一個 x+x' = 1，不影響結果
最後並聯一個 xy，不影響結果

![](https://i.imgur.com/idlltX3.png)
分配律的寫法
![](https://i.imgur.com/XuntVCk.png)
也可以由串連並聯的寫法來解釋

![](https://i.imgur.com/c173CTg.png)

![](https://i.imgur.com/z3Ev9QQ.png)
重點：需要假設好幾個 group 來簡化電路



## Multiplying Out and Factoring
Multiplying Out: 把式子乘開

![](https://i.imgur.com/dESQL6n.png)
* SOP
    ![](https://i.imgur.com/M7NhWqk.png)

    sum term = A+B, A
    product term = AB, A


    SOP: (AND) OR (AND) OR (AND)
    括號內不能有 OR


    ![](https://i.imgur.com/FEXfhh9.png)


* POS
    ![](https://i.imgur.com/gWTv4AM.png)


    ![](https://i.imgur.com/PjAmkA7.jpg)
    第三題要用 group 的概念會比較好理解




![](https://i.imgur.com/U6QJqsC.png)
不算 inverter 只算 and, or 只會有兩層






## DeMorgan's Law and Duality 

* DeMorgan's Law
    ![](https://i.imgur.com/wFj6ygi.png)
    為什麼要學DeMorgan's Law ： 這裡是使用正邏輯來判斷什麼時候 f = 0，對 f 取 complement(補數)，原本 x+y = 0 會變成 1 ，再由正邏輯來判斷就可以得知何時 f = 0 。


    ![](https://i.imgur.com/MuJ0yBo.jpg)
    DeMorgan's Law -> 如何快速得到函數的補數
    ![](https://i.imgur.com/cSF3yIz.png)
    法則就是，把補數的符號分配給函數內部的變數，並且轉換裡面的 operators(AND->OR)

* Duality(對偶)

    ![](https://i.imgur.com/VaS2Arc.jpg)
    變數不需要補數，可以降低簡化難度

    ![](https://i.imgur.com/EVUHyjv.jpg)
    回過頭看，這兩個表格個別是彼此的對偶。









## More Multiplying Out and Factoring

![](https://i.imgur.com/oW8x7EJ.jpg)
x(y+z) = xy + xz (背)
x+ yz = (x+y)(x+z) (背)
(x+y)(x'+z) = xz + yx' (背)
example 第二題: ABC 可以再拿掉


![](https://i.imgur.com/kbmaT5R.png)
:arrow_up:(c)證明 : and 一個 (x+x')=1
ab + abc -> 其中 abc 可以直接拿掉
因為 ab(1+c) = ab.
1+c = 1



![](https://i.imgur.com/znOXM70.jpg)



## Exclusive-OR and Equivalence Operations


* Exclusive-OR
    ![](https://i.imgur.com/7V8gpZx.jpg)
    Exclusive-OR: 排他，我有你就不能有。兩個一樣不行
    X (EOR) Y = xy' + x'y -> 下面板書有解釋如何得到
    要對 (EOR) DeMorgan's Law 時，要先轉換成 AND, OR
    * Exclusive-OR用越多，電路面積就越省

* Equivalence Operations
    ![](https://i.imgur.com/PkmNpGN.png)
    ![](https://i.imgur.com/6LPgZuT.jpg)
    式子裡面如果有 (EOR), Equivalence Operations 可以先用上面的式子做替換


![](https://i.imgur.com/P4EXhF0.png)
如何由真值表求得 F 
把所有的1 OR 起來
然後對照個別的 x, y 。遇到零的給他補數
例如 x=0, y=1  -> x'y
x=1, y=0 -> xy'
x=1, y=1 -> xy
F = x'y + xy' + xy
-> xy' + y
-> x + y


![](https://i.imgur.com/BD5iFHI.png)




## The Consensus Theorem


Consensus （共識）




![](https://i.imgur.com/vKwXNzZ.jpg)
此處的證明之前講過了，練習一很重要需要運用 dual form






## Simplification of Switching Expression - Techniques



![](https://i.imgur.com/aS1mmA2.png)
第二個例子說明，可以加一個一樣的邏輯閘幫助化簡。



![](https://i.imgur.com/b1gGC0V.png)

![](https://i.imgur.com/9IGoSBC.jpg)
xy + x'z add yz 
x add xy
(x+x')

Example: 可以發現 x, x' 使用 The Consensus Theorem
加 wz' 是為了刪掉 wy'z'



##  Simplification of Switching Expression - Combining All

![](https://i.imgur.com/ZzRCv9g.jpg)
這個題型用很多 The Consensus Theorem

![](https://i.imgur.com/5zbtrUO.png)
(A+C)(A+B+C) = (A+C) (背)




## Proving the Validity of Equation