---
# System prepended metadata

title: 內積與外積
tags: [cross product, math, wedge product, inner product]

---

---
title: "內積與外積"
path: "內積與外積"
---

{%hackmd @RintarouTW/About %}

# 內積與外積

## 內積 (Inner Product)

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/dot-product-geo0.svg" width="768" height="600"></iframe>

$$
u \cdot v = v\cdot u = |u||v|\cos{\theta}
$$

在代數中，等量非常容易被視為等價，但在幾何中等量不等價於「全等」，在一般代數中內積交換律成立，不代表幾何意義全等，他們只是等量而已。

### 內積值的幾何意義

回到幾何原點，此處仍不以線代概念之(行向量)線性組合視之。
若 ax + by = e，這個 e 可視為 $\vec{v} = \pmatrix{a\\b}$ 與 $\vec{u} = \pmatrix{x\\y}$ 的內積，內積值為 e。

* 投影與被投影向量的面積，$\cos\theta$ 控制 $\pm$，則 e 為一有向積。
   e = $(|\vec{u}|\cos\theta)\cdot |\vec{v}|$ 或 $(|\vec{v}|\cos\theta)\cdot |\vec{u}|$
   |面積|的大小是相對於原座標系的單位面積 ($\hat{i}\hat{j}$)
* 將 $(|\vec{u}|\cos\theta)$ 或 $(|\vec{v}|\cos\theta)$ 視為相對於單位圓長度 1 之比例值，將 |u| 或 |v| 縮放，結果即自原點起的一長度(可為負值)，此長度對應到被投影向量上的一個點，即為純量。
   
兩向量同向 ($\theta < 90^\circ$) 則內積值為正，反向 ($\theta > 90^\circ$) 則內積值為負。

a, b, x, y, e 之值皆相對於 $\hat{i},\ \hat{j}$。

### 線代中內積的幾何意義

$$
\begin{bmatrix}a & b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a \\ b\end{bmatrix}
= e
$$

這個式子可說是線代中最根本的核心，每一行列計算，皆可視為列向量與行向量內積，且內積具有交換律，亦可行列互換，運算後其值相同 = e。

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/dot-product-geo1.svg" width="768" height="600"></iframe>

$$
\vec{u} = \pmatrix{x\\y}, \vec{v} = \pmatrix{a\\b}\\
\hat{u} = \pmatrix{u_x\\u_y} = \pmatrix{\frac{x}{|u|}\\ \frac{y}{|u|}}\\
\eqalign{
\vec{v}\cdot\vec{u} &= \vec{v}\cdot\hat{u}\cdot|u|\\
    &= (au_x+bu_y)|u|\\
    &= (\frac{ax+by}{|u|})|u|\\
    &= ax+by
}
$$

或是由平面矩陣變換壓縮至一維 x 軸的思考方式：

$$
\begin{bmatrix}a & b \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}x & y \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a \\ b\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}e \\ 0\end{bmatrix}
$$


### 內積交換律

兩直角三角形，除直角外，只要有一餘角相等即相似。

任意兩直線交於 A, 而 B, C 為兩各直線上任意兩點, 分別作垂線交於 D, E;

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/dot-product-communative.svg" width="768" height="600"></iframe>

$$
\cases{
\angle ABE = \angle ACD\\
\angle BAE = \angle CAD\\
}\implies \triangle ABE \sim \triangle ACD\\
\therefore \overline{AB}:\overline{AE} = \overline{AC}:\overline{AD}\\
\overline{AB}\times\overline{AD} = \overline{AC}\times\overline{AE}\\
where, \cases{
\overline{AD} = \overline{AC}\cos{\angle\gamma}\\
\overline{AE} = \overline{AB}\cos{\angle\gamma}
}\\
\implies\overline{AB}\times\overline{AC}\cos\angle\gamma = \overline{AC}\times\overline{AB}\cos\angle\gamma
$$

由此亦可證明，任意兩向量 $\vec{u},\vec{v}$，相互投影後內積值相等。

### 內積與座標

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/dot-product-coordinate.svg" width="768" height="600"></iframe>

以上為利用餘弦定理的代數證明，相信也是大多數人在學校時所學的方法，但此方法完全缺少了對投影變化的過程，無法看出純粹幾何上內積與投影的變化對應關係(包含正負有向積）。

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/dot-product-coordinate-2.svg" width="768" height="600"></iframe>


### 內積只是純量?

老實說，我個人覺得內積不只是純量 (兩個長度相乘其實就是面積)，幾何上是可以做圖出來，並對應到餘弦定理裡因為角度變化而增減的 (第三邊面積變化/2)。

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/dot-product.svg" width="768" height="600"></iframe>

## 楔積與外積 (Wedge Product/Cross Product)

若說內積是由餘弦而來，Wedge Product 則是由兩向量所張的向量空間有向積，真若如此解釋，實在太過跳躍，能真聽懂才奇怪，我也不信數學的發展會如此跳躍。

### 究竟是怎麼來的？

以下皆為個人推論當初發展楔積的人是如何思考的。

#### 最初

個人相信外積最初是為求三角形面積而來的概念，即

$$
\triangle = \frac{|a||b|\sin{\theta}}{2}
$$

其中 $|a||b|\sin{\theta}$ 就是兩倍的三角形面積 = 平行四邊形面積。

從這個式子就不難聯想到與內積 $|a||b|\cos{\theta}$ 相對，而且很美。

而人們更早之前就知道在平面上平行四邊形面積等於兩邊長座標 

$$
|a_xb_y-b_xa_y|
$$

如下圖:

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/determinant.svg" width="768" height="600"></iframe>

證明:

$$
a, b\ 所張平行四邊形面積為\\
(a_x+b_x)(a_y+b_y)-2\times\frac{a_xa_y}{2}-2\times\frac{b_xb_y}{2}-2\times{b_xa_y}\\
=a_xb_y-b_xa_y\\
但若是 a, b 位置互換，面積則為\\
-a_xb_y+b_xa_y\\
(此為外積運算不具交換律的根本原因)
$$

也就是說當 $\theta <180^\circ$ 時，

$$
|a||b|\sin{\theta}=|a_xb_y-b_xa_y|
$$

又再一次與內積的座標化

$$
|a||b|\cos{\theta}=a_xb_x+a_yb_y
$$

相對應。

> 與內積座標化是兩項相加而具有交換律不同，外積座標化卻不具有交換律，若交換就會變成負的，也就是說外積是受順序影響的，所以在此寫成絕對值且限定條件為 $\theta <180^\circ$，到目前為止皆非楔積的定義，主要在說明思路形成的過程。

之前的證明仍以量相同即相同的思路以代數來 (間接) 證明，對我而言有種倒果為因的感受，因為看不出究竟平行四邊形面積究竟是如何與兩向量投影有著直接的變化關係。

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/determinant-2.svg" width="768" height="600"></iframe>


### 外積與座標

再來則是向三維向量 (座標) 的延伸問題，因為內積本身是純量，光靠餘弦定理就很完美又簡單的結合了三維的座標與向量；而外積就稍複雜了些，得依靠內積的運算，推導過程如下：

$$
令\ \vec{A}=\pmatrix{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}，\vec{B}=\pmatrix{b_{1}\\b_{2}\\b_{3}}，\\
設\ \vec{N}=\pmatrix{x\\y\\z}\ 與\ \vec{A},\ \vec{B}\ 皆垂直，則\ \vec{N}\ 分別與\ \vec{A},\ \vec{B}\ 內積為\ 0\\
\begin{cases}
a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z &=0\ldots (1)\\
b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z &=0\ldots (2)
\end{cases}\\
\begin{aligned}\\
b_{2}(a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z) &= 0\ldots (3)\\
a_{2}(b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z) &= 0\ldots (4)\\[2ex]
(3)-(4)\ :\ (a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})x &= (a_{2}b_{3}-b_{2}a_{3})z\\[2ex]
b_{1}(a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z) &= 0\ldots (5)\\
a_{1}(b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z) &= 0\ldots (6)\\[2ex]
(6)-(5)\ :\ (a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})y &= (a_{3}b_{1}-b_{3}a_{1})z\\
\end{aligned}\\
\therefore\ \vec{N} = \pmatrix{\frac{a_{2}b_{3}-b_{2}a_{3}}{a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}z\\\frac{a_{3}b_{1}-b_{3}a_{1}}{a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}z\\z}\\
令\ z\ = (a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})
\implies \vec{N} = \pmatrix{a_{2}b_{3}-b_{2}a_{3}\\a_{3}b_{1}-b_{3}a_{1}\\ a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\\[3ex]
\vec{N}\ 則為\ \vec{A}×\vec{B}\ 外積之定義\\ (z\ 的值是人為刻意選定的)
$$

### 結論

其實真正有趣的是「為何如此定義？」

1. 與內積型式對稱且兼俱美感
2. 好算且與克拉碼行列式中 Det (秩) 算法一致
> 說文解字：秩，積也。
3. 外積為一向量 $\vec{N}$，長度為 $|\vec{A}||\vec{B}|sin(θ)$ ，與內積 $|\vec{A}||\vec{B}|cos(θ)$ 為純量相對。$\vec{N}$ 也可以寫成

$$
|\vec{A}||\vec{B}|sin(θ)\cdot\hat{n}\\ \hat{n}\ 為\ \vec{N}\ 的單位向量
$$

4. $|\vec{N}|$ 長度具有幾何意義即$\vec{A}, \vec{B}$ 所張之平行四邊形面積。

###### tags: `math` `inner product` `wedge product` `cross product`