Frobeniusの定理

多様体\(M\)上の\(r\)次元分布\(\mathcal{D}\)について次は同値:

• 分布\(\mathcal{D}\)は完全積分可能
  → 積分多様体の存在 「幾何的性質」

• 分布\(\mathcal{D}\)は包合的
  → Lie括弧積について閉じている 「代数的性質」

目標: 具体例で定理の主張を把握してもらう

難しそうな定理も絵で描けば分かる!

まずはベクトル場から

多様体\(M\)の各点に(接)ベクトルを対応させたもの

\begin{align} X=\sum_i a_i\frac{\partial}{\partial x_i}\quad (a_i\in C^\infty(M)) \end{align}

\(M=\mathbb{R}^n\)で考えるので, \(\frac{\partial}{\partial x^i}\)は\(\mathbb{R}^n\)の基底と思って良い

積分曲線とは

曲線の「速度」が各点でベクトル場と一致するもの

円周 　 　 　 　 　 常螺旋

積分曲線は「速さ」に非依存

ベクトル場の「速さ」が異なっても積分曲線の形は同じ

ベクトル場から1次元分布へ

「速さ」の情報を落とす
各点に1次元線形空間(直線)を対応させる: 1次元分布

灰色線分が対応する1次元線形空間

一般化: \(r\)次元分布\(\mathcal{D}\)

\(r\)次元分布: 各点への\(r\)次元線形空間の対応

\(\mathbb{R}^2\)上の1次元分布 　 　 　 \(\mathbb{R}^3\)上の2次元分布 　 　 　 .

灰色円板が対応する2次元線形空間

一般化: \(r\)次元積分多様体

多様体の「接平面」が各点で分布と一致するもの

定義: 完全積分可能

多様体の各点に対して積分多様体が存在

完全積分可能でない分布は存在するか?
→ 存在する(後述)

状況確認

• ベクトル場 → 積分曲線 (微分方程式の解の一意性)
• 1次元分布 → 1次元積分多様体 (速さの情報を落とす)
• \(r\)次元分布 → \(r\)次元積分多様体 (一般の次元へ)

問題 : \(r\)次元分布から\(r\)次元積分多様体を構成できるか?

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分布に属するベクトル場

ベクトル場\(X\)が分布\(\mathcal{D}\)に属する
:⇔ 各点\(p\)で\(X_p\in\mathcal{D}_p\)が成立

分布に属するベクトル場 　 分布に属さないベクトル場

Lie括弧積

ベクトル場\(X,Y\)から新しくベクトル場\(Z=[X,Y]\)を作る

\begin{align} \small Z=[X,Y]=XY-YX=\sum_{i,j}\left(a_i\frac{\partial b_j}{\partial x_i}-b_i\frac{\partial a_j}{\partial x_i}\right)\frac{\partial}{\partial x_j} \end{align}

\(X\) 　 　 　 　 　 　 \(Y\) 　 　 　 　 　 　 \(Z\)

定義: 包合的

分布\(\mathcal{D}\)に属する任意のベクトル場\(X\), \(Y\)に対してLie括弧積\([X,Y]\)も分布\(\mathcal{D}\)に属する

積分多様体の作り方

分布に沿って円板を滑らせて到達できる点の全体
(1次元のアナロジー)

具体例 (平面)

具体例 (放物面)

具体例 (球面)

完全積分可能でない分布 (1/2)

「完全積分可能でない」⇔「包合的でない」分布
円板は少なくとも水平面には到達できる

完全積分可能でない例 (2/2)

• 水平面は分布の向きに一致しない
• 円板は実は\(\mathbb{R}^3\)全体まで到達可能
• Lie括弧積は閉じていない (包合的でない)

Frobeniusの定理

分布\(\mathcal{D}\)について完全積分可能と包合的は同値.

他の同値な条件

• 完全積分可能
• 包合的
• 分布\(\mathcal{D}\)は局所的に可換なベクトル場で張られる
• \(I(\mathcal{D})\)は微分イデアル
• 積分可能条件

証明概略

完全積分可能 ⇔ 包合的

• (⇒)積分多様体は部分多様体なので
  　 その上に座標を取れば包合的.

• (⇐)包合的なら可換なベクトル場が取れて
  　 それを元に積分多様体の座標が構成可能.

参考文献

• 森田茂之「微分形式の幾何学」
  証明はこれに載ってます.

• Alberto Ishidori「Nonlinear Control Systems」
  工学(制御論)への応用が載ってます.

• 坪井俊「幾何学1 多様体入門」「幾何学3 微分形式」
  図が載ってます.