<style> .reveal, .reveal h1, .reveal h2, .reveal h3, .reveal h4, .reveal h5, .reveal h6 { font-family: "Source Sans Pro", "Helvetica Neue", Helvetica, Arial, "Microsoft JhengHei", Meiryo, sans-serif; } h1, h2, h3, h4, h5, h6 { text-transform: none !important; } .color-yellow{ color: yellow; } .alert { padding: 15px; margin-bottom: 20px; border: 1px solid transparent; border-radius: 4px; text-align: left; padding: 10px 0; } .alert-info { color: #31708f; background-color: #d9edf7; border-color: #bce8f1; } .alert-success { color: #3c763d; background-color: #dff0d8; border-color: #d6e9c6; } .alert-danger { color: #a94442; background-color: #f2dede; border-color: #ebccd1; } .reveal .slides span { text-align: left; display: inline-block; } p, li { font-size: 0.88em !important; } li>p { font-size: 1em !important; } </style> # 関西日曜数学会 (2018/04/21) ###### tags: `kanmath01` --- # Frobeniusの定理 ほりたみゅ (@Hyrodium) --- ## 自己紹介 * 趣味 * POV-Rayでのアニメーション作成 * 曲面模型などの製作 (後ろの机で展示中) * 発表 * 第1回日曜数学会「逆数の作図からCayley変換まで」 * 第4回日曜数学会「Riemann球面に内接する直方体」 * アゴラ「数学アート～見て触れて分かる数学～」 * Yahoo!HackDay「Möbius変換可視化装置」     ---- ## Frobeniusの定理 多様体$M$上の$r$次元分布$\mathcal{D}$について次は同値: * 分布$\mathcal{D}$は完全積分可能 <span>→ 積分多様体の存在<!-- .element: class="fragment" data-fragment-index="1" --></span> <span>**「幾何的性質」**<!-- .element: class="fragment" data-fragment-index="1" --></span> * 分布$\mathcal{D}$は包合的 <span>→ Lie括弧積について閉じている<!-- .element: class="fragment" data-fragment-index="2" --></span> <span>**「代数的性質」**<!-- .element: class="fragment" data-fragment-index="2" --></span> <span>**目標: 具体例で定理の主張を把握してもらう**<!-- .element: class="fragment" data-fragment-index="3" --></span> <span>**難しそうな定理も絵で描けば分かる!**<!-- .element: class="fragment" data-fragment-index="4" --></span> --- ## 完全積分可能 (幾何的性質) * ベクトル場と積分曲線 * 1次元分布と1次元積分多様体 * $r$次元分布と$r$次元積分多様体 * 分布が完全積分可能   ---- ### まずはベクトル場から 多様体$M$の各点に(接)ベクトルを対応させたもの \begin{align} X=\sum_i a_i\frac{\partial}{\partial x_i}\quad (a_i\in C^\infty(M)) \end{align} $M=\mathbb{R}^n$で考えるので, $\frac{\partial}{\partial x^i}$は$\mathbb{R}^n$の基底と思って良い   ---- ### 積分曲線とは 曲線の「速度」が各点でベクトル場と一致するもの   円周 　 　 　 　 　 常螺旋 ---- ### 積分曲線は「速さ」に非依存 ベクトル場の「速さ」が異なっても積分曲線の形は同じ   ---- ### ベクトル場から1次元分布へ 「速さ」の情報を落とす 各点に1次元線形空間(直線)を対応させる: 1次元分布   灰色線分が対応する1次元線形空間 ---- ### 一般化: $r$次元分布$\mathcal{D}$ $r$次元分布: 各点への$r$次元線形空間の対応 $\mathbb{R}^2$上の1次元分布 　 　 　 $\mathbb{R}^3$上の2次元分布 　 　 　 <span style="color: white; ">.</span>    灰色円板が対応する2次元線形空間 ---- ### 一般化: $r$次元積分多様体 多様体の「接平面」が各点で分布と一致するもの    ---- ### 定義: 完全積分可能 多様体の各点に対して積分多様体が存在    完全積分可能でない分布は存在するか? → 存在する(後述) ---- ### 状況確認 * ベクトル場 → 積分曲線 (微分方程式の解の一意性) * 1次元分布 → 1次元積分多様体 (速さの情報を落とす) * $r$次元分布 → $r$次元積分多様体 (一般の次元へ) **問題** : $r$次元分布から$r$次元積分多様体を構成できるか? ＿人人人人人人人人人人＿ ＞ 　 **Frobeniusの定理** 　 ＜ ￣Y\^Y\^Y\^Y\^Y\^Y\^Y\^Y\^Y\^Y\^Y￣ --- ## 包合的 (代数的性質) * 分布に属するベクトル場 * Lie括弧積 * 分布が包合的   ---- ### 分布に属するベクトル場 ベクトル場$X$が分布$\mathcal{D}$に属する :⇔ 各点$p$で$X_p\in\mathcal{D}_p$が成立   分布に<span style="color: red; ">属する</span>ベクトル場 　 分布に<span style="color: blue; ">属さない</span>ベクトル場 ---- ### Lie括弧積 ベクトル場$X,Y$から新しくベクトル場$Z=[X,Y]$を作る \begin{align} \small Z=[X,Y]=XY-YX=\sum_{i,j}\left(a_i\frac{\partial b_j}{\partial x_i}-b_i\frac{\partial a_j}{\partial x_i}\right)\frac{\partial}{\partial x_j} \end{align}    <span style="color: red; ">$X$</span> 　 　 　 　 　 　 <span style="color: green; ">$Y$</span> 　 　 　 　 　 　 <span style="color: blue; ">$Z$</span> ---- ### 定義: 包合的 分布$\mathcal{D}$に属する任意のベクトル場<span style="color: red; ">$X$</span>, <span style="color: green; ">$Y$</span>に対してLie括弧積<span style="color: blue; ">$[X,Y]$</span>も分布$\mathcal{D}$に属する   --- ## Frobeniusの定理 * 分布$\mathcal{D}$は完全積分可能 * 分布$\mathcal{D}$は包合的    #### 具体例 * 完全積分可能な分布: 平面 / 放物面 / 球面 * 完全積分可能でない分布 ---- ### 積分多様体の作り方 分布に沿って円板を滑らせて到達できる点の全体 (1次元のアナロジー)    ---- ### 具体例 (平面)       ---- ### 具体例 (放物面)       ---- ### 具体例 (球面)       ---- ### 完全積分可能でない分布 (1/2) 「完全積分可能でない」⇔「包合的でない」分布 円板は少なくとも水平面には到達できる    ---- ### 完全積分可能でない例 (2/2) * 水平面は分布の向きに一致しない * 円板は実は$\mathbb{R}^3$全体まで到達可能 * Lie括弧積は閉じていない (包合的でない)    ---- ## Frobeniusの定理 分布$\mathcal{D}$について完全積分可能と包合的は同値.       --- ## おまけ * 他の同値な条件 * 証明概略 * 参考文献 ---- ### 他の同値な条件 * 完全積分可能 * 包合的 * 分布$\mathcal{D}$は局所的に可換なベクトル場で張られる * $I(\mathcal{D})$は微分イデアル * 積分可能条件 ---- ### 証明概略 完全積分可能 ⇔ 包合的 * (⇒)積分多様体は部分多様体なので 　 その上に座標を取れば包合的. * (⇐)包合的なら可換なベクトル場が取れて 　 それを元に積分多様体の座標が構成可能. ---- ### 参考文献 * 森田茂之「微分形式の幾何学」 証明はこれに載ってます. * Alberto Ishidori「Nonlinear Control Systems」 工学(制御論)への応用が載ってます. * 坪井俊「幾何学1 多様体入門」「幾何学3 微分形式」 図が載ってます.