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title: Judgement Under Uncertainty
tags: [Prospect Theory, Expected Utility Theory, Management Science Modeling]

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# Judgement Under Uncertainty
###### tags: `Management Science Modeling` `Prospect Theory` `Expected Utility Theory`

各種模型常常被人詬病的最大問題就是許多模型都假設「人是理性的」，但是大家都知道這是個與現實悖離的假設。隨著我們對人類的不理性有更多了解，我們開始可以建構模型來解釋人的不理性是如何影響決策。其中一個很成功可以模擬不理性的模型叫做 Prospect Theory (展望理論)，今天的主題就是要透過展望理論解析人們的一些不理性行為。

## Exepected Utility Theory （期望效用理論）
### 定義

在我們講不理性之前，我們要先想我們在理性的時候會怎麼建立我們的模型，所以現在我們就來談談期望效用理論。

期望效用理論其實很直觀，就是我們高中學的期望值的概念。簡單來說，就是給定某事件發生的機率p乘上某事件的報酬u，所有的p*u加總就是我們的期望值Ｕ。假設Ｕ是101新台幣，代表你預期你會得到101塊，且你有保證得到100塊新台幣的選項給你做選擇且你是理性人的話，你會選擇前者。

這個理論可以模擬其中一個人類不理性的情況在於當你的期望效用函數是凹口向下的函數的話，我們就可以模擬出人類是風險趨避的生物。那什麼是風險趨避？

### 風險趨避

今天有兩個選擇：

> Ａ 你有80%的機會贏得4000元，20%的機會一毛都得不到。

> Ｂ 你直接獲得3000元。

你會選擇哪個？ 根據調查，選擇Ｂ選項的人比較多。這個東西充分表現出大家是風險趨避的現象：即便Ａ選項的期望值比較高(3200元)，大家還是比較傾向直接獲得3000元。我們圖解一下這個模型：

![](https://i.imgur.com/mTMhCvT.jpg)

藍色的函數是效益函數，灰色的割線是期望值。根據期望值的定義，我們等於是取0與4000之間的加權平均，得到割線上的3200。把剛剛那個例子套進來，voila，我們成功模擬出來了！3200的期望值其實跟直接拿到3000塊的報酬是差不多的。透過這張圖我們就可以模擬出「人是風險趨避的生物」的現象。

**這張圖也可以詮釋保險公司的商業模式。**

如果你是一個散戶，你基本上就一條命而已。為了保住你這條小命，或者是至少不要讓你遭遇意外的時候賠那麼多錢，你願意多花一些錢來保護自己免受損害。簡而言之，你不理性。因為即便數學告訴你你根本不會有事，你還是覺得會不會哪天真的雖到就出事了結果就血本無歸（也就是你對數學的不信任）。如下圖所示。

![](https://i.imgur.com/vm8d5PH.jpg)


今天你心裡覺得期望值告訴你你得的到的東西，但你覺得你寧願用低一點卻是實打實一定拿得到的價格去換他，這就是保險商要去算出來大家到底多怕風險。

保險公司之所以可以這樣搞，原因就是因為他有大數法則的支撐。你的不信任其實是不實際的，畢竟數學就告訴我們你如果嘗試多次一點的話你是可以達到的期望值的。散戶們因為命就一條，比較怕；保險公司因為他把保險賣給很多人，所以它就相較起來比較容易接近期望值，也就可以比較理性。

同樣的道理，賭場其實不怕你賭錢。因為如果來賭的人多的話，他們理論上都是會賺錢的。賭場怕的是那些很少出現的那種超級大咖，一次丟下去的賭注都是上千萬那種的，因為他們就不符合大數法則了，就真的是運氣。

剛剛前面也提過期望效用理論能夠描述的情況有限，所以我們需要一些修正才能改良它。

## Prospect Theory (展望理論)

### 期望效用無法衡量什麼