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title: EXERCICE 1

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# EXERCICE 1

Une entreprise achète, utilise et revend des machines à coudre après un certain nombre d'année.
Le tableau suivant donne l'évolution du prix Y de vente d'une machine en fonction du nombre d'années X d'utilisation.



| Nombre $x_j$ d'années | 1 | 2|3|4|5|6|
| ------ | -------- | -------- |-------- |-------- |-------- |-------- |
| Prix $y_i$ (en millier de francs CFA)  | 150     | 125 | 90 |75|50|45|


Le plan est muni d'un repère orthogonal.
Unités graphiques :  en abscisse, 1 cm pour une année : en ordonnée, 1 cm pour 20 000F

**1.** Représente le nuage de points associés à la série statistique (X, Y).

**2.** a) Détermine les coordonnées du point moyen G du nuage de points de cette série statistique. 
On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
      b) On note V(X) = $\frac {35}{12}$ et Cov(X, Y) = $\frac{255}{4}$.
**3.** on admet que la variance V(Y) de Y est égale à 1445.
      a) Justifie que le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (X, Y) est $\frac{-3\sqrt{21}}{14}$.
      b) Justifie qu'il existe une forte corrélation linéaire entre les variables X et Y.
**4.** Soit (D) la droite de régression de Y en X.
Démontre, par la méthode des moindres carrés, qu'une équation de (D) est : $y=-\frac{153}{7}x+\frac{497}{3}$.
**5.** Détermine le prix de vente d'une machine à coudre à la fin de la $7^e$ année.
*On arrondira le résultat au multiple le plus proche de 5*

# EXERCICE 2

**1.** On considère l'équation (E) : $z \in \mathbb{C}, z^3 + (1 + i)z^2 + (2 - 2i)z + 8i = 0$ 
      a) Justifie que 2$i$ est une solution de (E).
      b)Justifie que :  ****** $z \in \mathbb{C}, z^3 +(1+i)z^2+(2-2i)z+8i=(z-2i)[z^2+(1+3i)z-4]$ .
      c) Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation (E'):$z^2+(1+3i)z-4=0$.
      d) Déduis des questions précédentes la résolution dans $\mathbb{C}$ de l'équation (E).
      
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O,I,J). L'unité graphique est 2 cm.
On donne les points A, B, C et D d'affixes respectives : $-3i$ ; $1-i$ ; $2i$ et $-2-2i$.
a) Place les points A, B, C et D sur votre feuille de copie.
b) Démontre que le triangle BAD est rectangle et isocèle en A.

Soit S la similitude plane directe de centre D qui transforme A en B.
a) Démontre que l'écriture complexe de S est $z' = (1+i)z - 2 + 2i$.
b) Démonntre que S(B)=C.
c) Détermine l'image du triangle BAD par la similitude S.

# PROBLEME

### Partie A

On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=2x - e^{-x}$.
**1.** Calcule $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)$.

**2.** Démontre que la fonction $g$ est strictiment croissante sur $\mathbb{R}$, puis dresse son tableau de variation.

**3.** a) Démontre que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$. On la note $\alpha$.
b) justifie que : 0,3<$\alpha$<0,4.

**4.** Justifie que :****** $x\in ]-\infty,\alpha[,$ $g(x)<0$ ;
***** $x\in ]\alpha, +\infty[,$ $g(x)>0$.

### Partie B

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x-1)(2e^x - 1)$.
On note $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
L'unité graphique est 2 cm.
**1.** Calcule $\lim \limits_{x \to+\infty}f(x)$ et $\lim \limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$.
Donne une interprétation graphique des résultats obtenus.
**2.** a) Calcule $\lim \limits_{x \to -\infty} f(x)$.
b) Justifieque : ***** $x \in \mathbb{R}$, $f(x)=1-x+2(x-1)e^x$.
c) Démontre que la droite (D) d'équation $y=1-x$ est une asymptote à $\big(C_f\big)$ en $-\infty$.
d) Etudie la posotion relative de $\big(C_f\big)$ et $(D)$.

**3.** On suppose que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
a) Démontre que ***** $x \in \mathbb{R},$ $f'(x)=e^xg(x)$.
b) Etudie le sens de variation de $f$.
c) Dresse le tableau de variation de $f$

**4.** a) Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation ; $f(x)=0$.
b) Déduis-en les coordonnées des points d'intersection A et B de $\big(C_f\big)$ et l'axe des abscisses.
On choisira : $x_A < x_B$  ( $x_A$ et $x_B$ étant les abscisses respectives de A et B).

**5.** Détermine une équation de la tangente (T) à $\big(C_f\big)$ au point d'abscisse 0.

**6.** Trace les droites (D) et (T), puis construis $\big(C_f\big)$.
On prendra : $\alpha=0,35$ et $f(\alpha)=-1,2$.

**7.** A l'aide d'une intégration par parties, calcule l'aire en cm$^2$, de la partie du plan délimitée par $\big(C_f\big)$, la droite (D) et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.