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title: 2020年8月18日 電磁感應
tags: [高中物理]

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# 2020年8月18日 電磁感應
###### tags: `高中物理`

## 第一階段：隨機抽問
1. （計算題）假設空間中遍佈均勻、穩定、而且可任意改變方向的磁場，其量值為 $B$，又假設有一個曲面 $S:\left\{(x,y,0)\middle||x|+|y|\leq a\right\}$，則：應該怎麼設置磁場方向，才會使曲面 $S$ 的磁通量等於 $Ba^2$？
2. （簡答題）請同時用文字和數學式說明法拉第電磁感應定律。並解釋冷次定律。
3. （證明題）假設一質量均勻的導體棒置於均勻、恆定（即不隨時間變化的）的磁場中，且導體棒方向與磁場方向垂直，若導體棒繞著通過質心的垂直平分線做等速圓周運動，則請問導體棒內部的電位分布是什麼樣子？
4. （計算題）考慮以下情形：
    - 有一個長方形線線圈，在 $y$ 方向的長度為 $\ell$，$x$方向的寬度為 $w$；
    - 線圈在 $xy$-平面上以速率 $v$ 朝向 $x$ 方向移動；因此，線圈中心 $x_C$ 滿足 $v = \text{d}x_C/\text{d}t$。
    - 有一個恆定磁場 $B(x)$，指向 $z$ 方向。則左邊的磁場量值為 $B(x_C − w/2)$，右邊的磁場量值為 $B(x_C + w/2)$。
    
    試求線圈上的電動勢量值與方向。
    ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/40/Right-hand_rule.PNG =300x)
5. （計算題）請解釋法拉第電磁感應定律如何應用於變壓器？

### 答題狀況
| 1  | 2  | 3  | 4  | 5  |
| -- | -- | -- | -- | -- |
| +2 | +2 | +0 | +0 | +2 |


## 第二階段：
### 一、物理量
#### 1. 磁通量（符號：++  ++）
- 〔純量／向量〕
- 定義
    - 概念化：單位面積通過的「淨」++   ++ 數量
    - 數學描述：若 ++    ++  $\mathbf{B}$ 以任意角度 $\theta$ 通過一個面積向量為 $\mathbf{A}$ 的平面，則磁通量為 $$\boxed{\phantom{\Phi_B=\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}=BA\cos\theta}}。$$對於任意曲面 $\mathcal{S}$，需要使用曲面積分，簡單來說就是把曲面分割為無限多微小平面，總磁通量為所有微小平面的加總，即曲面積分$$\Phi_B=\iint_{\mathcal{S}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}。$$
- 單位
    - SI制：



#### 2. 電動勢（electromotive force，EMF）（符號：++  ++）
- 〔純量／向量〕
- 定義：
    - 電動勢源對每單位電荷所供應的能量是其電動勢。$\mathcal{E}=\dfrac{W}{q}$
- 電動勢源：電化電池、太陽能電池、燃料電池、熱電裝置、發電機⋯⋯
- 電磁學中可區分兩種電動勢：（補充）
    - 感應電動勢（induced EMF）：靜止於時變磁場 $\mathbf{B}(t)$ 中的任意迴路 $C$，會在整個迴路上產生感應電動勢$$\mathcal{E}_\text{ind}=\int_C\mathbf{E}\boldsymbol\cdot\text{d}\boldsymbol\ell，\tag{2}$$ 
    - 動生電動勢（motional EMF）：移動於恆定磁場 $\mathbf{B}$ 中的任意線路 $\Gamma$，會在線路兩端產生動生電動勢 $$\mathcal{E}_\text{mot}=\int_\Gamma\mathbf{v}\boldsymbol\times\mathbf{B}\boldsymbol\cdot\text{d}\boldsymbol\ell，\tag{3}$$ 其中 $\mathbf{v}$ 是線路 $\Gamma$ 上線段元素的速度。這可以用勞倫茲力 $\mathbf{F}_m=q\mathbf{v}\boldsymbol\times\mathbf{B}$ 來解釋。


### 二、重要定律、方程式、公式
#### 1. 法拉第電磁感應定律
「一個 ++    ++ 中的 ++   ++ 量值」就是「該  ++    ++ 所圍之 ++  ++ 的 ++   ++」的時變率，++   ++ 的方向（公式中的負號）由 ++  ++ 定律提供。即$$\boxed{\phantom{\mathcal{E}=-\dfrac{d\Phi_E}{dt}}}。$$

#### 2. 法拉第電磁感應定律的微分形式（補充）
法拉第電磁感應定律 $$\mathcal{E}=-\dfrac{\text{d}\Phi_B}{\text{d}t}$$ 搭配電動勢和磁通量的定義可得到 $$\int_C\mathbf{E}\boldsymbol\cdot\text{d}\boldsymbol\ell=-\iint_S\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\boldsymbol\cdot\text{d}\mathbf{a}，$$ 用向量微積分中的斯托克斯定理可以得到 $$\iint_S(\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{E})\cdot\text{d}\mathbf{a}=-\iint_S\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\boldsymbol\cdot\text{d}\mathbf{a}，$$ 但這應該對任意曲面 $S$ 都成立，所以 $$\boldsymbol\nabla\boldsymbol\times\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}，$$ 這說明「電場的旋度等於的磁場時變率的負值」，這就是法拉第電磁感應定律的微分形式，也稱馬克士威－法拉第定律。

#### 3. 馬克士威方程組
![](https://i.imgur.com/8xD6bba.png)


## 第三階段：解答課前提問

## 科普文章選讀
1. [何謂雷射](https://www.gigaphoton.com/ct/technology/laser/what-is-a-laser)
2. [電子如何發射電磁波？](https://sa.ylib.com/MagArticle.aspx?Unit=columns&id=3476)
3. [電波是如何在天線形成並輻射出去的？](https://www.qsl.net/vr2ls/knowings/radiowave/radiowave.html)
4. [磁振造影：核磁共振產生影像有利精準診斷](https://scitechvista.nat.gov.tw/c/sTkX.htm)