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title: 3.6 多自由度系の量子力学と場の量子論

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takaakise.se@gmail.com

# 3.6 多自由度系の量子力学と場の量子論

量子化には、正準量子化と経路積分量子化があり、場の量子論でも等価である。表による対応表が教科書にある。量子力学、場の量子論、モード展開した量子場の対応がある。

場の理論における経路積分は、スカラー場の場合、フーリエモードに展開できるので、その各成分を場の自由度と考えられる。自由場の場合は、それぞれの自由度が調和振動子になる。つまり、各モードを調和振動子の量子力学系と考え、多自由度の量子力学として経路積分を定式化すればよい。

自由場で真空期待値である母関数？分配関数を$Z_0[0]$とかく。
時間間隔Tも含まれている。

真空から真空への遷移振幅は、
$$
Z_0[0] = \int \mathcal{D} \phi\ \psi^*_0(\{\phi_f\}) \psi_0(\{\phi_i\}) e^{iS(\phi)}
$$
両端に真空の波動関数$\psi_0(\{\phi \})$をとるという境界条件は、ファインマン伝搬関数をつくったときの$i \epsilon$処方で代用できるので？、以降は$\psi^*_0(\{\phi_f\}) \psi_0(\{\phi_i\})$を省略する？。

量子力学と同様、場の量子論でも遷移振幅以外の様々な演算子の期待値を計算したい。そのために、スカラー場のN点グリーン関数
$$
G_N(x_1,\cdots, x_N) = \langle 0| T \{ \phi(x_1)\cdots \phi(x_N) \} | 0 \rangle
$$
を計算する必要がある。
省略して、
$$
\langle T \{ \phi(x_1)\cdots \phi(x_N) \} \rangle
$$
と書く。

個別にN点グリーン関数を計算するより、生成母関数を求める方が楽である。[^1]
[^1]:フーリエ変換で微分でモーメントを求めるとか。

$$
Z_0[J] = \sum^\infty_{N=0} \frac{i^N}{N!} \int d^4 x_1 \cdots d^4 x_N G_N(x_1,\cdots, x_N) J(x_1) \cdots J(x_N) \\ 
= \langle 0| T e^{i \int d^4 x J(x) \phi(x)} | 0 \rangle
$$

生成母関数が求めれば、ソース$J(x)$で変分すればN点グリーン関数が求められる。
$$
G_N(x_1,\cdots, x_N) = \frac{ \delta^N Z}
{\delta(iJ(x_1))\cdots\delta(iJ(x_N))}
$$
量子力学の計算と同じように、T積になる。（坂本２に記述）

$$
Z_0[J] = \int \mathcal{D} \phi\ e^{iS(\phi) + \int d^4 x J(x) \phi(x)}
$$

$$
Z_0[J] = Z_0[0] \exp \left( - \frac{1}{2} \int d^4x d^4 y \ J(x) G(x,y) J(y) \right)
$$

例えば４点関数は、
$$
G_4(x,y,z,w) = G(x,y) G(z,w) + G(x,z) G(y,w) + G(x,w)G(y,z)
$$


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# 3.7 相互作用とファイマン図

$$
S = S_0 - \int d^4x V(\phi(x))
$$

$$
Z[J] = \int \mathcal{D} \phi\ e^{iS_0(\phi) - i\ \int d^4x V(\phi(x)) + \int d^4 x J(x) \phi(x)}
$$

$$
Z[J] = \exp \left( - i \int d^4x V(\delta/\delta(iJ)) \right)　Z_0[J] \\
= \exp \left( - i \int d^4x V(\delta/\delta(iJ)) \right)　Z_0[J] e^{i \int d^4 x J(x) \varphi(x)|_{\varphi=0}} \\
= \exp \left( - i \int d^4x V(\delta/\delta(iJ)) \right)　Z_0[\delta/\delta(i\varphi)] e^{i \int d^4 x J(x) \varphi(x)|_{\varphi=0}} \\
= Z_0[\delta/\delta(i\varphi)] \exp \left( - i \int d^4x V(\varphi(x)) + i \int d^4 x J(x) \varphi(x) \right) \large|_{\varphi=0} \\
$$

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# 参考文献
坂本、場の量子論１、２
ナイア

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# test
[^sakamoto]
[^sakamoto]:坂本

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$$
\Phi(x) = \int dx \ \delta (x-y) \Phi(y) \tag{1} \\
\langle{\phi(x_1) | \phi(x_2)}\rangle 　\\
\partial / \partial_x \\
  x^n = \left\{ \begin{array}{ll}
    1 & (n=0) \\
    x \cdot x^{n-1} & (otherwise)
  \end{array}　\right.
$$



