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title: 論理学（おわーー）

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# 論理学（おわーー）

# 第1回
- ガイダンス evernote参照

# 第2回
## タレス
- イオニア自然学
- 天文学・幾何学
- > すべてのもののアルケーは水である。
    - アルケー･･･始原、源、元素、構成要素、原理

- 文系～ideographisch(個律記述的)
- 理系～nomothetisch(普遍法則定立的)

## ヘラクレイトス
- > 普段の私たちは言葉に欺かれている。欺かれないために言葉に耳を傾けよ
    - ことば・・・logos

## パルメニデス
- エレア派
- > 存在するものを存在すると言い、存在しない物を存在しないと言う。
  >これがロゴスである。
  >したがって、真空は存在しない。
- トートロジー　同語反復　恒真式
- ゼノンのパラドックス
    - アキレスは亀に追いつけない
- 背理法

## ピュタゴラス学派
- 証明
- 公開性←→秘技的
- > すべてのもののアルケーは数のロゴスである。
    - アルケー・・・原理、法則  
      数・・・自然数  
      ロゴス・・・ratio 比

## アリストテレス
- 「分析論後書」
- 前提
    - 定義(horoi)─definition(←明瞭)  
      概念の意味を明らかにすること  
      基本的な判断(文)  
      ～それから証明が始まるところのもの  
      公理(axion 要請)･･･各科学に固有  
      共通の考え方=論理法則  
      ～それによって証明が行われるところのもの  
      全科学共通
- 妥当性
- それ自身は証明できない


# 第3回
## 演繹と帰納
- 演繹
    - 証明
    - 一定の命題から論理法則に従ってその命題を変形することによって、新しい命題を得る手続き
- 帰納
    - 検証
    - ある仮説を観察・実験という事実を収集する手続きによって正しいとすること
    - 観察・実験(経験)からある法則が樹立
- 帰納法の限界
    1. 法則は全称命題「すべての･･･は～～～～である」  
       ところが経験は常に有限回
       - 反証可能性
    2. カラスのパラドックス  
       「すべてのカラスは黒い鳥である」
       - 観測の理論負荷性
- 前提
    1. 定義
        - 概念 一義性/明晰性
            - 概念論
    2. 公理
        - 各科学に固有のもの  
          そこから証明がなされるというもの
        - 判断 真偽性/真理値
            - 判断論
    3. 共通の考え方
       - 演繹法則
       - 全科学に共通のもの
       - 推理 妥当性
            - 推理論
1. 概念論
    - 意味
        - 内包 intension
            - 性質の記述の集まり
        - 外廻 extension
            - それに属する対象の集まりの集合
        - ☆内包は異なるが外廻が同一の概念が存在する同値な概念
    - 定義とは ある概念(非定義項)に対し、定義項としての性質の記述(内包)をもつ概念の群を与えることで、ある外廻が一義的に確定される
    - 定性的と定量的
        - 前者「背が高い人」後者「身長180cm以上」
    - 操作的定義
        - 測定の操作を与えること
    - ある言語体系が「論理的」であるための条件
        1. 矛盾律
            - 「Aという判断とAでないという判断とが同時に成立しないこと」  
              「AかつBでない」ことはない
        2. 排中律 二重否定律
            - 「AかAでないかのいずれかであって、廻がAでなくかつAでないことはない」

# 第4回
- 公理化
## エウクレイデス『幾何学原論』
- 定義1 点とは、部分のない全体である
- 定義2 線分とは、2点を結び、その上に点が均等に乗っている線のことである。
## アルキメデスの改良策
- 定義2’ 線分とは、2点を結び、その長さがもっとも短くなる距離を取る線のことである。
>  定義項として挙げられる概念の定義に、複定表現が含まれていてはならない。
## 公理
- 公理1～4 絶対幾何の公理
- 公理5 平行線公理
    - 任意の直線lについて、l外の1点をとおり、同一平面上にあって、lと無限に交わらない直線が**少なくとも1本多くとも1本**存在する。
        - 少なくとも:存在性 多くとも:唯一性
- ある命題Pについてある公理群Xから、その否定が証明されないときPはXに対し無矛盾であるという。それ自体が証明されないときPはXに対し独立であるという。
## 1899年 ヒルベルト『幾何学の原理』
- 無定義語･･･陽表的定義ができない  
XとはAかつBかつ・・・Zのことである。
- 公理･･･陰伏的定義を考える  
～複数の公理体系がありうる。
- 平行線公理
- 連続性公理
## Ⅱ.判断論･･･真理論
- 真理性も問える=有意味=完結
    - 始まり-終わり
- メガラ派 AならばB･･･仮言判断
- アリストテレス A(主語)はB(述語)･･･定言判断(述定判断)
- 定言判断の類別
    - (すべての|ある)S(量)　は　P(質)(である|でない)  
    は･･･(に違いない|無様相|かもしれない)
- 無様相定言判断の4種類
    - 全称肯定判断　すべてのSはPである A
    - 特称肯定判断　あるSはPである I
    - 全称否定判断　すべてのSはPでない E
    - 特称否定判断　あるSはPでない O
- 対当関係
- すべてのペガサスは翼がある⇒あるペガサスは翼がある  
- 翼があるペガサスが存在する。

# 第5回
- 大小対当推理
    - A→I
    - E→O
- 矛盾対当推理
    - Aでない⇔Oである
    - Oでない⇔Aである
    - Eでない⇔Iである
    - Iでない⇔Eである
- 換位の法則
    - あるSはPである⇔あるPはSである
    - すべてのSはPでない⇔すべてのPはSでない
- 換算の法則
    - A Aでないものの否定概念 \overline{A}
    - すべてのSはPでない⇔すべてのSは\overline{P}である
- 周延
    - ある判断において、そこに現れる概念の外延のすべてに渡ってその判断が言及しているとき、この判断はその概念を周延しているという。
    - 主語概念Sについて:
        - 全称{肯定A|否定E}はSを周延
        - 特称{肯定I|否定O}はSを不周延
    - 述語概念について:
        1. A・・・すべてのSはPである　→Pに不周延
        2. I・・・あるSはPである⇔あるPはSである　→Pは不周延
        3. E・・・すべてのSはPでない⇔すべてのPはSでない　→Pは周延
        4. O・・・あるSはPでない　→Pは周延  
        　|S|P|  
         A|○|×|  
         I|×|×|  
         E|○|○|○･･･周延  
         O|×|○|×･･･不周延  
    - すべての○---------×である  
    - ------------SはP  
    - ある×--------------○でない
## Ⅲ.推理論
- 写真参照
- 三段論法
    - すべての哺乳類は脊椎動物であるA
    - すべてのネズミは哺乳類であるA
    - →すべてのネズミは脊椎動物であるA
    - すべての銀河系の中心は巨大重力中心であるA
    - あるブラックホールは銀河系の中心であるI
    - →あるブラックホールは銀河系の中心であるI
    - 規格化←**試験に出る**
        - 恣意的に構成される表層言語を分析してある統一された三段論法の書式に書き換える
        - 大前提･･･大概念を含む前提  
        　小前提･･･中概念を含む前提  
        　結論
        - 結論の主語概念･･･小概念(s)　(←小文字small)  
                述語概念･･･大概念(l)　(←小文字large)
        - 前提にしか出てこない概念･･･中(媒)概念(m)　(←小文字middll)
    - すべてのAはBである|でない
    - あるのAはBである|でない  **A,Bは名詞でなければいけない**
        - A,Bに ダイヤモンドは鉄よりも硬い などは入れてはいけない
    - ex)民主主義国家の中には軍事大国ではない国家があるのだ。なぜなら独裁国家というものはたいてい、軍事大国であるが、民主主義国家は独裁国家であるはずがないから

    - コツ:結論から書く
    - 僕の答え
        - 独裁国家は大抵軍事国家である
        - すべての民主主義国家は独裁国家でない
        - ある民主主義国家は軍事国家ではない
    - 答え
        - 大前提:あるm:独裁国家はl:軍事国家である
        - 小前提:すべてのs:民主主義国家はm:独裁国家でない
        - 結論:あるs:民主主義国家はl:軍事国家ではない

# 第6回
## 問題
- 以下の推論を(a)三段論法として規格化し、(b)その格式を述べ、(c)その妥当性を判定し、(d)非妥当であれば、その理由を述べよ
1. 恐竜の中には北極圏に住むものがいた。したがって恐竜の中には恒温動物であるようなものも多くいたのだ。なぜなら、北極圏に住む動物の多くは恒温動物なのだから。
    > まず結論から！  
    > 恐竜の中には恒温動物であるようなものも多くいたのだ
    - 大前提:ある **m:** 北極圏に住む動物は **l:** 恒温動物である m-l I
    - 小前提:ある **s:** 恐竜は **m:** 北極圏に住む動物である。 s-m I
    - 結論:ある **s:** 恐竜は **l:** 恒温動物である  s-l I
    - **第1格III式** 4^4通りある
- 4通りの格式
    1. 第1格
        - m-l  
        - s-m
        - s-l
    2. 第2格
        - l-m
        - s-m
        - s-l
    3. 第3格
        - m-l
        - m-s
        - s-l
    4. 第4格 妥当性が判断しにくい
        - l-m
        - m-s
        - s-l
- 三段論法の妥当性の判定基準
    - 質の基準
        - C1･･･再前提 肯定ならば結論は肯定
        - C2･･･一方の前提が肯定、他方が否定ならば結論は否定
        - C3･･･再前提 否定ならば非妥当
     - 量の基準
        - C4･･･中概念は少なくとも前提の一方で周延されていなければならない
        - C5･･･結論で周延されている概念は、前提でも周延されていなければならない
- **試験での答えの書き方**
    - C1違反→不当否定の虚偽
    - C2違反→不当肯定の虚偽
    - C3違反→再前提否定の虚偽
    - C4違反→中概念不周延の虚偽
    - C5違反→{大|小|大小}概念不当周延の虚偽←大概念なのか小概念なのか両方かを明示

- ~話題変わる~
- 関係に関する3つの性質
- ある集合Mとその上に定義される関係Rについて
    1. [反射律]任意のx∈MについてxRx
    2. [対称律]任意のx,y∈MについてxRy⇔yRx
    3. [推移律]任意のx,y,z∈MについてxRyかつyRz⇔xRz
- 東論
    1. [半順序構造]　as p.o.s.
        - 任意の集合Mと、その上に定義された≦という関係から構成される構造、$=<M,≦>について、以下が成り立つとき、$は半順序であるといい、p.o.s.という。
    - 1-1 [反射律]任意のx∈Mについてx≦x
    - 1-2 [推移律]任意のx,y,z∈Mについてx≦yかつy≦z⇒x≦z
    - なお、p.o.s.は以下を満たせば全順序(t.o.s.)という。
    - 1-3 [全順序律]
        - 任意のx,y∈Mについてx≦yまたはy≦x
    2. [東]
    - 2-1[和の定義]
        - 任意のx,y∈Mについてx+yとはx≦zかつy≦zなるzの中で最小のもののことである。

# 第7回
- (2)[和と積]
    - 和
        - 任意の半順序構造$=<M,≦>において、任意のMの部分集合であるaについて
        -  x = \Sigma_{x_i \in a} x_i ⇔ df.任意のx_i∈aについてx_i≦x かつ 任意のx_i≦y_iについてx≦y_i
        - すなわち\Sigma_{x_i \in a} x_i とは 任意のx_iより大きい元のうちで最小のもののことである
        - とくに、a={x_1,x_2}のとき
        - \Sigma_{x_i \in a} x_i =x_1 + x_2
        - とあらわす
        - ここから直ちに次が成り立つことが証明される。
        - (2-1)[交換律] 任意のx_1,x_2∈Mについてx_1+x_2=x_2+x_1
        - (2-2)[結合律] 任意のx_1,x_2,x_3∈Mについて(x_11+x_2)+x_3=x_1+(x_2+x_3)=x_1+x_2+x_3
        - ほか x+x=x
            - 任意のx_1,x_2∈Mについてx_1≦x_2⇔x_1+x_2=x_2
    - 積
        - 和Σと同時に積Πを導入しよう
        - x = \Pi_{x_i \in a} x_i ⇔ df.任意のx_i∈aについてx≦x_i かつ 任意のx_i≦y_iについてy_i≦x
        - すなわち\Pi_{x_i \in a} x_i とは任意のx_iより小さい元のうちで最大のもののことをいう
        - とくに、a={x_1,x_2}のとき
        - \Pi_{x_i \in a} x_i =x_1 * x_2
        - とあらわす
        - (2-3)[交換律] 任意のx_1,x_2∈Mについてx_1*x_2=x_2*x_1
        - (2-4)[結合律] 任意のx_1,x_2,x_3∈Mについて(x_1*x_2)*x_3=x_1*(x_2*x_3)=x_1*x_2*x_3
        - ほか x+x=x
            - 任意のx_1,x_2∈Mについてx_1≦x_2⇔x_1*x_2=x_2
    - 以上のように和と積には双対的(dual)に定義
- (3)[完備束]
    - 任意の和と積を導入されたp.o.s.を束(rattice)という
    - 任意の束$=<M,≦,+,*>について、以下が成り立つとき$は完備束であるという。
    - 任意のa⊆Mについて
    - \Sigma_{x_i \in a} x_i ∈ M , \Pi_{x_i \in a} x_i ∈ M
    - がともに存在する
    - このときM⊆について
    - \Sigma_{x_i \in a} x_i ∈ M , \Pi_{x_i \in a} x_i ∈ M
    - も存在し、このとき\Sigma_{x_i \in a} x_i, \Pi_{x_i \in a} x_iとをMの最大元,Mの最小元と呼ぶことができて、最大元と最小元をしばしば1,0で表す。
- (4)[補元]
    - 任意の完備束$=<M,≦,+,*,{1,0}>において、次をみたす-x∈Mを任意のx∈Mの補元であるという
    - -x = df. x*(-x)=0
    - このような-xがMの元として唯一存在することが直ちに証明される。
    - この定義を補元律といい、矛盾律に相当するもの
- (5)[完備ブール代数]
    - 完備代数$=<M,≦,+,*,{1,0}>において、次が成り立つとき完備ブール代数であるという。
    - (5-1)[排中律]任意のx∈Mについてx+(-x)=1
    - (5-1)[分配律]ににのx,y,z∈Mについて
        - x*(y+z)=(x*y)+(x*z)
        - x+(y*z)=(x+y)*(x+z)
    - [完備ブール代数の演算規則]
        - 任意のx,y,z･･･∈Mについて
            - [交換律]x+y=y+x,x*y=y*x
            - [結合律](x+y)+z=x+(y+z),(x*y)*z=x*(y*z)
            - [分配律]x*(y+z)=(x*y)+(x*z),x+(y*z)=(x+y)*(x+z)
            - [補元] x*(-x)=0,x+(-x)=1
            - [和と積の性質]x+x=x,x*x=x  
              x≦y ⇒ x+y=yかつx*y=x
            - [補元に関する法則]--x=x
            - [ドモルガンの法則]-(x+y)=-x*-y,-(x*y)=-x+-y
            - [0,1]-0=1,-1=0  
              x+1=1+x=1 x*1=1*x=x  
              x+0=0+x=x x*0=0*x=0  
              (+1,0のAND,ORの計算省略)
              (紙にメモあり参照)
- ☆現代記号論理
    - 「同一である」とは？
    - 不可識別者同一性原理
    - 「同一であるとは、識別できないこと」
    - 「同一であるとは、性質が全く位置すること」
    - 「同一であるとは、1つであること」



# 第8回
## G・フレーゲ
- 項a,b,c
- 関数φψ
- 固有名詞→個体~定項 ex東京理科大学
- 普通名詞→性質・関係~述語関数 ex私立大学
    - xは私立大学である:単項述語関係 →性質を表す
    - xとyとはzの子である:φ(x,y,z)
    - x+y=z :ψ(x,y,z) n項述語関数→関係
    / a:山田君
    / b:川本さん
    / c:山田教授
    / ψ(a,b,c):山田君と川本さんは山田教授の子である→命題(proposition)
- 命題名→命題を表現 命題定項A,B,C
- 真理関数Φ[p,g,r]
- 概念(普通名詞)の"意味"
    - 内包･･･性質の記述
    - 外延･･･集合
- 個体の表現としての固有名
    - 宵の明星=明けの明星
        - 内包･･･性質の記述
        - 外延･･･個体
- Sim･･･内包的意味~sence
- Bedeutung･･･外延的意味~reference指示されるもの
- 個体の同一性に関する原理
    > <不可識別同一性原理>  
        - 任意の定項a,bにおいて、  
        - 任意の単項述語関数φ(x)について、  
        - a=b ⇔ df.φ(a)≡φ(b)
    - →同一性代入則
- 単項述語関数(性質)に関する原理
    > <同一性(aguiralence)の原理>  
        - 任意の定項aについて、  
        - 任意の単項述語関数φ(x)、ψ(x)について  
        - φ(x)≡ψ(x) ⇔ df.φ(a)≡ψ(a)
    - →同値性代入則
    - これをn項述語関数に関して拡張し、
    > 任意の定数のn次元ベクトル<a_1,・・・a_n>  
        - 任意のn項述語関数φ(x_1,･･･x_n),ψ(x_1,･･･x_n)について  
        - φ(x_1,･･･x_n)≡Ψ(x_1,･･･x_n)　⇔ df. φ(a_1,･･･a_n)≡Ψ(a_1,･･･a_n)
- 命題に関する原理
    > <同値性の原理の命題への拡張>  
        - 任意の命題A,Bについて、  
        - 任意の文脈(真理関数)Φ[p]について、  
        - A≡B ⇔ df.Φ[A]≡Φ[B]
    - →命題に関する同値性代入則
    - △ABCは二等辺三角形である ≡ △ABCは二等辺三角形である
    - この二つの命題が常に真理値が一致するとき、これらは同値である。
    - この原理によれば、任意の文脈は真理性に関する関数と考えることができる
    - Φ[p]:Ω→Ω ただし、Ω={1,0}
    >  任意の命題のn次元ベクトル<A_1,･･･A_n>、<B_1,･･･B_n>  
        - 任意のn個の命題を含む真理関数Φ[p_1,･･･p_n]  
        - <A_1,･･･A_n> ≡ <B_1,･･･B_n> ⇔ Φ[A_1,･･･A_n] ≡ Φ[B_1,･･･B_n]
    - Φ[p_1,･･･p_n]:Ω^n{<x_1,･･･x_n>|x_1,･･･x_n∈Ω={1,0}}→Ω
    - 命題のreference(指示されるもの)は真理値である。
        - referenceとしての真理値が一致すうとき同値であるという
    - どのような論理的文脈も関数になっている入力が決まれば、出力も定まる
    - ということは、命題を項とする論理を**命題の体系**とみなせる
    - 集合の体系→命題算(命題論理)
- ☆標準命題論理(Standard Proposition Valculs:体系SPC)のシンタックス
    - [原始記号]
        - A,B,C･･･[命題定項]
        - p,g,r･･･[命題変項]
        - ~ [原始単項真理関数] (否定記号)
        - ∨ [原始2項真理関数] (選言記号)
    