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title: 選修物理下 第6、7、8、9章（電磁學）總複習
tags: [高中物理]

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# 選修物理下 第6、7、8、9章（電磁學）總複習
###### tags: `高中物理`

## 電路學、電子學、電力學
### A 物理量
#### 1. [電流強度](https://reurl.cc/3DjOEL)（簡稱電流）$I$
- 定義：單位時間內通過導線某一截面的電荷量，即$$\boxed{I=\dfrac{Q}{\Delta t}}。$$
- 單位：[安培](https://reurl.cc/rxQLGN) $\text{A}$，$1\text{ A}=\dfrac{1\text{ C}}{1\text{ s}}$
    - 是SI制七個基本單位之一
#### 2. [電量](https://reurl.cc/MvbR5X) $Q$ 
- 定義：物體所帶電荷的量值。
- 單位：庫侖 $\text{C}$
#### 3. [電壓](https://reurl.cc/Qdj4A2) $V$
- 定義：
- 單位：
- 用於電路中不同場合下的別名：
    - 電位差
    - 電壓降
    - 路端電壓
    - [電動勢](https://reurl.cc/qdOLDy) $\mathcal{E}$
#### 4. [電阻](https://reurl.cc/O1pvjA) $R$
- 定義：
    - 意義：一個物體對於電流通過的阻礙能力
    - 電路元件兩端電壓及電流之比，即$$\boxed{R=\dfrac{V}{I}}。$$
- 單位：歐姆 $\Omega$
#### 5. [電阻率](https://reurl.cc/E7po1g) $\rho$
- 定義：
    - 意義：一種材質對於電流通過的阻礙能力（是材料本身的性質，與尺寸無關。）
    - 對一個單一材質導體，取長度為 $\ell$、截面積為 $A$ 的柱狀樣本，使電流均勻且垂直地通過截面，則電阻率為$$\boxed{\rho=R\dfrac{A}{\ell}}。$$
    ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/68/Resistivity_geometry.png =200x)
- 單位：歐姆－公尺 $\Omega\text{-m}$
#### 6. [電能](https://reurl.cc/ex6D27) $E$
- 定義：
- 單位：
    - SI制：焦耳 $\text{J}$
    - 其他：千瓦小時 $\text{kW⋅h}$，量度電力常用的單位，即1度電的「度」。（$1 \text{ kW⋅h}=3.6\times10^6\text{ J}$）

#### 7. [電功率](https://reurl.cc/d0XDQ8) $P$
- 定義：
    - 在電路中消耗的功率 $P$ 定義為電流 $I$ 與電壓 $V$ 的乘積，即$$\boxed{P=IV}，$$對歐姆元件可套用歐姆定律 $V=IR$，得到$$\boxed{P=\dfrac{V^2}{R}=I^2R}。$$
- 單位：瓦特 $\text{W}$

### B 核心概念
#### 1. 模型
* [點電荷](https://reurl.cc/Mvb8o3)（point charge）：帶有電荷的一個質點，不具有體積，是帶電粒子（charged particle）的理想模型。
* [導體](https://reurl.cc/z8MYk7)（conductor）：能使電流導通的材料。
    * 特性：
        1. 靜電平衡時，導體內部電場為零。
        2. 靜電平衡時，導體內部及表面電位完全相等
* [絕緣體](https://reurl.cc/AqKAlE)（insulator）：難以使電流導通的材料。
#### 2. 電路
* 開路／斷路（open circuit）：電路中測試點兩端的電阻無窮大的情況。
* 閉路／通路（closed circuit）：電路中測試點兩端的電阻為有限值的情況。
* [短路](https://reurl.cc/QdjXk5)（short circuit）：有兩種看法
    * 電路中電位不同的兩點被電阻很小的導體接通的情況，
    * 測試點兩端的電阻為零的情況。
    * 下圖為短路的例子：
    ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d7/Short_circuit_examples.PNG)
* 節點：任意兩條或多條支路的相交點
* 串聯電路
* 並聯電路
#### 3. 元件：
* 導線
* 開關（switch）
    * 電路符號：![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/SPST-Switch.svg =100x) 或 ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/SPST-NC-Switch.svg =100x)
* 電動勢源（source of emf）
    - 電化電池
    - 太陽能電池
    - 燃料電池
    - 熱電裝置
    - 電動機
* [電阻器](https://reurl.cc/ex6DEL)（resistor）：
    * 電路符號：![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ee/Resistor_symbol_America.svg =60x) 或 ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/Resistor_symbol_IEC.svg =60x) 
    * 外觀：
    ![](https://cdn11.bigcommerce.com/s-u8eco68w/images/stencil/1280x1280/products/1662/5190/Carbon_Film_Resistors__96165.1521647557.jpg?c=2 =100x)

* [可變電阻器／電位器](https://reurl.cc/vDe7e1)（variable resistor/potentiometer）
    * 電路符號： ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/Potentiometer_symbol.svg =40x) 或 ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/Potentiometer_symbol_Europe.svg =40x)
    * 外觀：
    ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b5/Potentiometer.jpg =100x)
* [變壓器](https://reurl.cc/D9dAXQ)（transformer）
    * 示意圖：
    ![](https://www.electronics-tutorials.ws/wp-content/uploads/2013/08/trans65.gif?fit=479%2C188)
#### 4. 分類：
* 直流電（direct current，DC）
* 交流電（alternating current，AC）
#### 5. 儀表：
* 伏特計、電壓計（voltmeter）
    * 電路符號：![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/59/Voltmeter_symbol.png =40x) 
* 安培計、電流計（ammeter）
    * 電路符號：![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/da/Ammeter.png =40x)
* [檢流計](https://reurl.cc/1x21Mm)（galvanometer）：用於測量微弱電流的電流計
    * 示意圖：
    ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/05/Galvanometer_scheme.png =150x)

#### 6. 發輸配電系統
* 發電（generation）
* 輸電（transmission）
    * 使用高壓電輸電的理由？降低耗能
* 配電（distribution）
    * 臺灣家用電源規格：110V（少數220V）、60Hz、插座/插頭A、B型
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/41/Electricity_grid_simple-_North_America.svg)
### C 重要定律
#### 1. [歐姆定律](https://reurl.cc/Qdj48O)（Ohm's law，1827）
:::warning
導電體兩端的電壓 $V$ 與通過導電體的電流強度 $I$ 成正比，比例常數 $R$ 為電阻，即$$\boxed{V=IR}。$$
:::
凡是遵守歐姆定律的元件都稱為「歐姆元件」，其電阻與電流、電壓無關。

#### 2. [克希荷夫電路定律](https://reurl.cc/V6j895)（Kirchhoff Circuit Laws，1845）
* 克希荷夫電流／第一／節點定律
::: warning
所有進入某節點的電流的總和等於所有離開這節點的電流的總和，即$$\displaystyle\sum_{k=1}^n i_k=0，$$其中 $n$ 為連接該節點的支路數目，$i_k$ 為流入或流出該節點的第 $k$ 條支路的電流。
:::
此定律等價於電荷守恆定律。

* 克希荷夫電壓／第二／迴路定律
:::warning
沿著閉合迴路所有元件兩端的電位差的代數和等於零，即$$\displaystyle\sum_{k=1}^m v_k=0，$$其中 $m$ 是閉合迴路上元件的數目， $v_k$ 為第 $k$ 個元件的端電壓。
:::
此定律等價於能量守恆定律。

## （古典）電磁學、（古典）電動力學
### A 物理量
#### 1. [電場力](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%BB%E5%A0%B4#%E9%9B%BB%E5%A0%B4%E5%8A%9B) $\mathbf{F}_e$
- 定義：電荷置於電場中所受到的作用力
- 單位：牛頓（$\text{N}$）
#### 2. [電場強度](https://reurl.cc/D9dXnN) （簡稱電場）$\mathbf{E}$
- 定義：
    - 概念化：[電場線](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%BB%E5%A0%B4#%E7%94%B5%E5%9C%BA%E7%BA%BF)密度——單位體積內的「淨」電場線數量
    - 在電場中某一點置一試驗電荷 $+q$，則其所受的力 $\mathbf{F}$ 與 $1/q$ 的純量乘積為$$\boxed{\mathbf{E}=\dfrac{\mathbf{F}}{q}}。$$ 
- 單位：
    - SI制：牛頓/庫侖 $\text{N}/\text{C}$ 或 伏特/公尺 $\text{V}/\text{m}$
- 來源：
    - 靜電荷
    - 時變磁場  
#### 3. [電位能](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%94%B5%E5%8A%BF%E8%83%BD) $U$
- 定義：
    1. 在均勻電場 $\mathbf{E}=E\hat{\mathbf{i}}$ 中將試驗電荷 $q$ 從 $x=a$ 位置遷移到 $x=b$ 位置所需要做的機械功就是位能差 $U(b)-U(a)$，即$$\boxed{\Delta U=U(b)-U(a)=F_x(b-a)=-qE(b-a)}，$$移動過程中，施加的外力 $\mathbf{F}$ 必須恰好抵銷電荷所受的靜電力 $q\mathbf{E}$。
    2. 一般來說，在電場 $\mathbf{E}$ 中將電荷 $q$ 從 $\mathbf{r}=\mathbf{a}$ 位置遷移到 $\mathbf{r}=\mathbf{b}$ 位置所需要做的機械功就是位能差 $U(\mathbf{b})-U(\mathbf{a})$，即$$\Delta U=U(\mathbf{b})-U(\mathbf{a})=\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} q\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}$$
- 單位：焦耳（$\text{J}$）
- 註：電位能的數值不具有絕對意義，只有相對意義，所以需要設定一個電位為零的參考系統。通常選取電荷相距無窮遠的系統，將電位設定為0。

#### 4. [電位](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%BB%E4%BD%8D) $V$ 或 $\phi$
- 定義：
    1. 每單位電荷處於電場中所具有的電位能，即$$\boxed{V=\dfrac{U}{q}}$$
    2. 在均勻電場 $\mathbf{E}=E\hat{\mathbf{i}}$ 中，在任兩個位置 $x=a$ 和 $x=b$ 之間的電位差為 $$\boxed{\Delta V=E(b-a)}$$
    3. 一般來說，電場 $\mathbf{E}$ 中任兩個位置 $\mathbf{r}=\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{r}=\mathbf{b}$ 之間的電位差為$$\Delta V=-\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}$$
- 單位：伏特 $\text{V}$
- 註：
    1. 電位和電位能一樣，數值不具有絕對意義，所以需要設定一個電位為零的參考系統。
    2. 基於一些傳統，符號 $V$ 可以指電位或電位差而不至於混淆，若要區別時，把電位差記做 $\Delta V$


![](https://i.imgur.com/EugIsTV.png)

#### 5. 磁力 $\mathbf{F}_m$ 
- 定義：
    磁體（能產生磁場的物體）間的相互作用，它通常指的是
    1. ==勞倫茲力的磁部分==，也有可能是指
    2. 載流導線在靜磁場中所受的力
    3. 兩平行載流導線之間的作用力——安培力
- 單位：牛頓 $\text{N}$

#### 6. [磁場](https://reurl.cc/nzE7jv) $\mathbf{B}$
- 定義：
    - 概念化：磁場線密度——單位體積內的「淨」磁場線數量 
- 單位：
    - SI制：[特斯拉](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E6%96%AF%E6%8B%89) $\text{T}$
    - cgs制：[高斯](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E6%96%AF_(%E5%8D%95%E4%BD%8D)) $\text{Gs}$ （$1\text{ G}=1\times 10^{-4}\text{ T}$）
- 來源
    - 永久磁鐵
    - 電磁鐵 
    - 電流
        - 載流導線，例如：$\boxed{B=\dfrac{\mu_0I}{2\pi s}}$
        - 載流線圈，例如：$\boxed{B=\dfrac{\mu_0I}{2R}}$ 
        - [螺線管](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%9E%BA%E7%B7%9A%E7%AE%A1)：$\boxed{B=\mu_0 nI}$
        - [亥姆霍茲線圈](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A5%E5%A7%86%E9%9C%8D%E8%8C%B2%E7%B7%9A%E5%9C%88) $B=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{3/2}\dfrac{\mu_0 nI}{R}$
    - 時變電場
#### 7. [磁通量](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A3%81%E9%80%9A%E9%87%8F) $\Phi_B$
- 定義：
    - 概念化：單位面積通過的「淨」磁場線數量
    - 數學描述：若均勻磁場 $\mathbf{B}$ 以任意角度 $\theta$ 通過一個面積向量為 $\mathbf{A}$ 的平面，則磁通量為 $$\boxed{\Phi_B=\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}=BA\cos\theta}。$$對於任意曲面 $\mathcal{S}$，可把曲線分割為無限多微小平面，總磁通量為所有小平面的加總，即曲面積分$$\Phi_B=\iint_{\mathcal{S}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}。$$
- 單位：
    - SI制：[韋伯](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9F%A6%E4%BC%AF_(%E5%8D%95%E4%BD%8D)) $\text{Wb}$（$1\text{ Wb}=1\text{ T}\cdot 1 \text{ m}^2$）
    - cgs制：[馬克士威](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%A6%AC%E5%85%8B%E5%A3%AB%E5%A8%81_(%E5%96%AE%E4%BD%8D)) $\text{Mx}$（$1\text{ Mx}=1\times 10^{-8}\text{ Wb}$）

### B 核心概念
#### 1. 模型：
* 場（field）
* [場線](https://reurl.cc/pdWL9Q)（field line）：1851年法拉第提出的概念
    * 電場線
    * 磁場線 
    
    一些場線模擬的網站：
    * 電場線：[網站1](http://hsilomedus.me/wp-content/uploads/d3electricField/electricField.html)、[網站2](http://flashphysics.org/electricField.html)、[網站3](https://www.falstad.com/vector3de/)、[網站4](https://academo.org/demos/electric-field-line-simulator/)
    * 磁場線：[網站1](https://www.falstad.com/vector3dm/)
#### 2. 數學表述
* 向量
* 向量運算
    * 向量加法
    * 純量積、內積、點積
    * 向量積、外積、叉積
#### 3. 分支
* 靜電學（electrostatics）
* 靜磁學（magnetostatics）
* 電動力學（electrodynamics）
#### 4. 現象
* 電磁感應
* 電流磁效應
### C 重要定律、方程式、公式
#### 1. [庫侖定律](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%93%E4%BB%91%E5%AE%9A%E5%BE%8B)（Coulomb's law，1785）
::: warning
給定兩個電量分別為 $q_1$、$q_2$ 的點電荷，將 $q_1$ 固定於原點 $O$，將 $q_2$ 固定於位置 $\mathbf{r}$，則 $q_1$ 施加給$q_2$ 的電場力 $\mathbf{F}$ 滿足 $$\boxed{\mathbf{F}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_1q_2\hat{\mathbf{r}}}{r^2}}，$$
其中：
- [庫侖常數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%93%E4%BB%91%E5%B8%B8%E6%95%B0) $k_e=1/4\pi\epsilon_0$
- $\epsilon_0$ 為[真空電容率](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9C%9F%E7%A9%BA%E7%94%B5%E5%AE%B9%E7%8E%87)
- $\hat{\mathbf{r}}$ 為 向量 $\mathbf{r}$ 的單位向量，
- $r$ 為 向量 $\mathbf{r}$ 的量值。
:::
#### 2. [必歐－沙伐定律](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AF%95%E5%A5%A5-%E8%90%A8%E4%BC%90%E5%B0%94%E5%AE%9A%E5%BE%8B)（Biot-Savart Law，1820）
::: warning
設定一段固定於原點 $O$ 的載流微小線元素，其作用於一點 $\mathbf{r}$ 的微小磁場 $d\mathbf{B}$ 滿足$$\boxed{d\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{Id\boldsymbol\ell\times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}}，$$
其中：
- $I$ 為通過微小線元素的電流強度，
- $d\boldsymbol\ell$ 是微小線元素向量，其方向為電流方向，
- $\hat{\mathbf{r}}$ 為 向量 $\mathbf{r}$ 的單位向量，
- $r$ 為 向量 $\mathbf{r}$ 的量值。

純量形式為$$\boxed{dB=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{Id\ell \sin\theta}{r^2}}。$$
:::
1. [安培力定律](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%89%E5%9F%B9%E5%8A%9B%E5%AE%9A%E5%BE%8B)（1825）
::: warning
設定兩條細直、無限長、固定的、相互平行的載流導線，則在自由空間內，任意一條導線施加於對方的「每單位長度作用力」 $f_m$ 為$$\boxed{f_m=\dfrac{\mu_0I_1I_2}{2\pi r}}，$$
其中：
- $I_1$、$I_2$ 分別是載於兩導線的電流強度，
- $r$ 是兩條導線之間的垂直距離。
:::
2. [安培環路定律](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%89%E5%9F%B9%E7%8E%AF%E8%B7%AF%E5%AE%9A%E5%BE%8B)（1826）
    1. **載流長直導線**在空間中任一點的磁場為
$\boxed{\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0I}{2\pi s}\hat{\boldsymbol{\theta}}}，\tag{A}$其中：
        - $I$ 為電流強度，電流方向為 $+z$，就是安培右手定則中拇指的方向。
        - $s$ 為徑向距離，
        - $\hat{\boldsymbol{\theta}}$ 為周向（azimuthal）單位向量，就是安培右手定則中四指的方向。
    2. **載流圓形線圈**在圓心的磁場為
$\boxed{\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0I}{2R}\hat{\mathbf{z}}}，\tag{A}$其中：
        - $I$ 為電流強度，電流方向為 $+\theta$，
        - $R$ 為線圈半徑，
        - $\hat{\mathbf{z}}$ 為軸向（axial）單位向量。   
    3. **載流圓形線圈**在軸向上的磁場為
$\boxed{\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}\hat{\mathbf{z}}}，\tag{A}$其中：
        - $I$ 為電流強度，電流方向為 $+\theta$，
        - $R$ 為線圈半徑，
        - $z$ 為軸上的點到線圈圓心的距離，
        - $\hat{\mathbf{z}}$ 為軸向（axial）單位向量。
![](https://i.imgur.com/kTAnUA4.png)[圖片來源](https://reurl.cc/GVoo1v)
    4. **螺線管**造成的磁場為
$\boxed{\mathbf{B}=\mu_0 nI\hat{\mathbf{z}}}，\tag{A}$其中：
    - $I$ 為電流強度，方向為 $+\theta$，
    $n$ 為單位長度內的線圈匝數。
    - $\hat{\mathbf{z}}$ 為軸向（axial）單位向量。
    ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0d/VFPt_Solenoid_correct2.svg)

#### 3. [法拉第電磁感應定律](https://reurl.cc/NjpG5x)（Faraday's law of electromagnetic induction，1831）
::: warning
「一個閉合迴路中的電動勢 $\mathcal{E}$ 量值」就是「該閉合迴路所圍之曲面的磁通量 $\Phi_E$」的時變率，電動勢的方向（公式中的負號）由[冷次定律]()提供。即$$\boxed{\mathcal{E}=-\dfrac{d\Phi_E}{dt}}。$$
:::

#### 4. [馬克士威方程組](https://reurl.cc/WdkDa7)（Maxwell's equations，1861）
由四個方程式的重新表述組成：
1. 庫侖定律的延伸——高斯定律
2. 高斯定律的磁版本——高斯磁定律
3. 法拉第電磁感應定律
4. 安培環路定律的修正——馬克士威－安培定律

![](https://i.imgur.com/C5RRzGC.png)
#### 5. [勞倫茲力](https://reurl.cc/oLe0QQ)（Lorentz force，1892）
::: warning
運動於電磁場中、帶有電量 $q$ 的點電荷，其受力為$$\boxed{\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})}，$$
其中：
- $\mathbf{v}$ 電荷運動的速度，
- $\mathbf{E}$ 為電場強度，
- $\mathbf{B}$ 為磁感應強度（磁場）。
:::
#### 6. 守恆定律
1. 電荷守恆定律
2. 能量守恆定律

### D 應用
#### 1. 電動機、馬達（motor）

#### 2. 發電機（generator）
![](https://i.imgur.com/cXf28hj.jpg)

[參考資料](http://www.excelatphysics.com/ac-generators.html)