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title: Relatório - Lab. V - Prática I de potência
tags: [UFBA]

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# Relatório - Lab. V - Prática I de potência
Alunos: Lucas Pinheiro e Maurício Taffarel

## a. Introdução

Neste trabalho iremos analisar e discutir sobre os efeitos da potência reativa e o fator de potência, bem como a legislação vigente responsável por regulamentar seu limite mínimo e a tarifa adicional do excedente de reativos das unidades consumidoras.

Iremos analisar diferentes cargas elétricas, calcular seus efeitos teóricos e comparar com os obtidos experimentalmente, calculando quais os meios mais eficientes para a correção do fator de potência do circuito. 

## b. Fundamentação teórica

Quando cargas capacitivas e indutivas são alimentadas com corrente alternada, parte da energia fornecida é utilizada na formação dos campos eletromagnéticos dos dispositivos. Essa energia é representada na forma de potência reativa, que juntamente com a potência ativa e a potência aparente formam o triângulo de potências. 

No triângulo de potências (figura 1), a potência ativa é perpendicular à potencia reativa e a soma vetorial das potências forma a potência aparente, que é a medida nos mostradores das distribuidoras de energia.

A potência reativa não realiza trabalho efetivo, mas contribui com gastos evitáveis para a concessionária de energia, já que a corrente total em um sistema com alta potência reativa é maior do que em um sistema com cargas resistivas. 

O cosseno do ângulo formado entre a potência aparente e a potência ativa ou a razão entre a potência reativa e a potência aparente é chamado de fator de potência (equação 1) e é um indicador da "qualidade" do sistema elétrico. Quanto mais próximo de 1, mais a potência ativa se aproxima da potência total do sistema.

$$
F.P. = cos\phi=\frac{P_{ativa} (kW)}{S_{aparente}(KVA)}
\tag{1}
$$

<center>
    
![](https://i.imgur.com/c4xBFVx.png)
    
##### Figura 1 - Triângulo de potências
    
</center>

O fator de potência pode ser corrigido com a adição de cargas reativas opostas às utilizada no sistema. No caso de motores indutivos (cargas indutivas) podedm ser adicionados capacitores, por exemlo. Essas cargas reativas adicionais não contribuirão com a potência ativa e diminuirão a potência reativa total, causando a diminuição da potência aparente do sistema.

Como as tensões fornecidas pelas distribuidoras e concessionárias energéticas são fixas, a redução da potencia total de um sistema acarreta em correntes menores e por consequência, na redução da secção transversal dos cabos do sistema de distribuição.

Devido à relativa facilidade de correção do fator de potência e às vantagens de manter um fator de potência elevado, a ANEEL (Agencia nacional de energia elétrica), orgão que controla e fiscaliza as empresas da rede de distribuição do país, estabeleceu, através da resolução normativa N° 414, Art. 95, um limite mínimo de 0,92 para o fator de potência e uma tarifa adicional para o excedente de potência reativa das unidades consumidoras.

<!-- 
https://www.aneel.gov.br/documents/656877/14486448/bren2010414.pdf/3bd33297-26f9-4ddf-94c3-f01d76d6f14a?version=1.0
-->

## c. Cargas Individuais

Para o cálculo das cargas individuais iremos partir de algumas considerações:
- $V_s = 127V$;
- Referência ângular 0° em $V_s$;
- Frequencia da rede $f=60Hz$

### Cargas resistivas:

As cargas resistivas, individualmente num circuito, possuem fator de potência unitário, pois toda a energia entregue é utilizada para realização de trabalho, não havendo nenhuma parcela de energia reativa necessária para formar campos elétricos e magnéticos. Assim, calcula-se:

#### Potência ativa:
$$
P_{100\space\Omega} = \frac{V_s^2}{R_{100\Omega}}=\frac{127^{2}}{100} = 161.29 W\\
P_{50\space\Omega} = \frac{V_s^2}{R_{50\Omega}}=\frac{127^{2}}{50} = 322.58 W
\tag{2}
$$

#### Potência reativa:

$$
Q_{100\Omega}=Q_{50\Omega}=0\space VAr
\tag{3}
$$

#### Potência aparente:

$$
S_{100\Omega}=P_{100\Omega}=161.29 VA\\
S_{50\Omega}=P_{50\Omega}=322.58 VA
\tag{4}
$$

#### Corrente elétrica:

$$
I_{100\Omega}=\frac{V_{s}}{R_{100\Omega}}=\frac{127}{100}=1.27A\\
I_{50\Omega}=\frac{V_{s}}{R_{50\Omega}}=\frac{127}{50}=2.54A
\tag{5}
$$

#### Fator de potência:

$$
FP_{100\Omega} = FP_{50\Omega}= \frac{P_{ativa}}{S_{aparente}} = 1.0
\tag{6}
$$

### Indutor de 300mH:

O indutor teoricamente é um elemeto passivo que armazena energia na forma de campo magnético, sendo assim, a potência ativa dissipada é nula, tendo apenas potência reativa, responsável pelas trocas de energia do componente com a rede. Primeiramente calculamos a reatância indutiva do componente, logo em seguida, as potências. Deste modo, temos:

#### Reatância indutiva:
$$
X_{L}=\ 2\pi fL = 2\pi\cdot60\cdot300\cdot10^{-3} = 113.10\Omega\\
Z_{L} = 113.10\angle90^\circ \Omega
\tag{7}
$$


#### Potência ativa:
$$
P_{300mH} = 0W
\tag{8}
$$

#### Potência reativa:
$$
Q_{300mH}=\frac{\left|V_{s}\right|^{2}}{Z_{L}^\ast}=\frac{127^{2}}{113.09\angle-90^\circ}=142.61\angle90^\circ VA\\
Q_{300mH}=142.61VAr\\
\tag{9}
$$

#### Potência aparente:

$$
S_{300mH}=142.61 VA
\tag{10}
$$

#### Corrente elétrica

$$
I_{300mH}=\frac{V}{Z_{L}}=\frac{127}{j113.10}=1.12\angle-90^\circ A
\tag{11}
$$

#### Fator de potência:

$$
FP_{300mH}= \frac{P_{ativa}}{S_{aparente}} = 0
\tag{12}
$$

### Capacitor de $5\mu F$ e $10\mu F$:

O capacitor teoricamente é um elemento passivo que armazena energia na forma de campo elétrico, sendo assim, a potência ativa dissipada é nula, tendo apenas potência reativa, responsável pelas trocas de energia do componente com a rede. Primeiramente calculamos a reatância capacitiva do componente, logo em seguida, as potências. Deste modo, temos:

#### Reatância capacitiva:
$$
X_{10\mu F}=\frac{1}{2\pi fC}=265.26\Omega\\
Z_{C1} = 265.26\angle-90^\circ \Omega\\
X_{5\mu F}=\frac{1}{2\pi fC}=530.52\Omega\\
Z_{C2} = 530.52\angle-90^\circ \Omega\\
\tag{13}
$$

#### Potência ativa:
$$
P_{10\mu F} = P_{5\mu F} = 0W
\tag{14}
$$

#### Potência reativa:
$$
Q_{10\mu F}=\frac{\left|V_{s}\right|^{2}}{Z_{C}^\ast}=\frac{127^{2}}{265.26\angle 90^\circ}=60.80\angle-90^\circ VA\\
Q_{10\mu F}=-60.80VAr\\
Q_{5\mu F} =-30.40VAr
\tag{15}
$$

#### Potência aparente:

$$
S_{10\mu F}=60.80 VA\\
S_{05\mu F}=30.40 VA
\tag{16}
$$

#### Corrente elétrica

$$
I_{10\mu F}=\frac{V}{Z_{L}}=\frac{127}{-j265.26}=0.48\angle90^\circ A\\
I_{5\mu F}=\frac{V}{Z_{L}}=\frac{127}{-j530.52}=0.24\angle90^\circ A
\tag{17}
$$

#### Fator de potência:

$$
FP_{10\mu F}=FP_{5\mu F} =\frac{P_{ativa}}{S_{aparente}} = 0
\tag{18}
$$

### Motor Erberle

<!-- https://www.desmos.com/calculator/sigoynm3qe -->

:::info
Considerando um motor de:
- 1/30 cv potência mecânica
- $\eta=50\%$
:::

#### Potência ativa:
$$
P_{motor}=\frac{P_{cv}\cdot736}{n}=\frac{\frac{1}{30}\cdot736}{0.5}=49.07W
\tag{19}
$$

#### Potência aparente:
$$
S_{motor}=V_{fab}\cdot I_{fab}=110\cdot0.55=60.5VA
\tag{20}
$$

#### Fator de potência:
$$
FP=\frac{P_{motor}}{S_{motor}}=0.81
$$

#### Potência reativa:
$$
Q_{motor}=S_{motor}\space\cdot sen(\phi)=35.39VAr
\tag{21}
$$

#### Corrente elétrica:
$$
I=\frac{S_{motor}}{V_s} = \frac{60.5}{127} = 0.48A
\tag{22}
$$


### Lâmpada fluorescente compacta (LFC) de 20W/127V:

Utilizando os valores fornecidos pelo fabricante:
- $P = 20W$;
- $FP = 0.5$ indutivo.

Calcula-se:

#### Potência ativa:
$$
P_{LFC} = 20W
\tag{23}
$$

#### Potência aparente:

$$
S_{LFC}=\frac{P_{LFC}}{cos \phi}=\frac{20}{0.5}=40VAr\\
\tag{24}
$$

#### Impedância:
$$
Z_{LFC}=\frac{\left|V\right|^{2}}{S_{LFC}^\ast}=403.225\angle 60^\circ
\tag{25}
$$

#### Potência reativa:
$$
Q_{LFC}=S_{LFC}\space\cdot sen(\phi)= 40\frac{\sqrt{3}}{2}=34.64VAr 
\tag{26}
$$

#### Corrente elétrica

$$
I_{LFC}=\frac{V}{Z_{LFC}}=0.31A\angle -60^\circ
\tag{27}
$$

#### Fator de potência:

$$
FP_{LFC}=cos(\phi)=0.5
\tag{28}
$$

---

Assim, podemos preencher a *Tabela 1* das cargas individuais:

<center>

|    Componentes     | P (W)  | Q (VAr) | S (VA) | I (A) |  FP  |
|:------------------:|:------:|:-------:|:------:|:-----:|:----:|
| Resistor 100 ohms  | 161.29 |    0    | 161.29 | 1.27  | 1.0  |
|  Resistor 50 ohms  | 322.58 |    0    | 322.58 | 2.54  | 1.0  |
|   Indutor 300 mH   |   0    | 142.61  | 142.61 | 1.12  |  0   |
|   Motor Erberle    | 49.07  |  35.39  |  60.5  | 0.48  | 0.81 |
|      LFC 20W       |   20   |  34.64  |   40   | 0.31  | 0.5  |
| Capacitor de 5 µF  |   0    |  30.40  | 30.40  | 0.24  |  0   |
| Capacitor de 10 µF |   0    |  60.80  | 60.80  | 0.48  |  0   |

##### Tabela 1 -  Cargas individuais calculadas
    
</center>

---

## Resultados obtidos

Em laboratório, foram obtidos experimentalmente os valores do motor e da lampada fluorescente enquanto os valores dos demais componentes (capacitores, resistores e intutor) foram medidos pelos professores e passados diretamente aos alunos devido a limitações referêntes à pandemia de COVID-19.

As medições foram feitas a partir do analisador de energia portátil AE-200 que mede a tensão e corrente de todas as fases da rede que alimenta uma carga, fazendo a análise de vários parâmetros da rede.

O dispositivo pode ser usado para medir as característica de sistemas com diversas configurações de rede, com variadas quantidades de vias e retornos de corrente.

Em sala de aula foi utiizada a configuração de rede monofásica com dois fios já que o laboratório não possuia rede de alimentação trifásica. As cargas foram alimentadas com tensão 127V e foram analisados todos os parâmetros calculados anteriormente. Seguem abaixo os resultados obtidos.

<center>
    
| Resistor 100 Ohms | Valor Calculado | Valor Medido |
|:-----------------:|:---------------:|:------------:|
|       P (W)       |     161.29      |    160.4     |
|      Q (VAr)      |       0.0       |     8.0      |
|      S (VA)       |     161.29      |    164.2     |
|       I (A)       |      1.27       |     1.27     |
|        FP         |       1.0       |      1       |
##### Tabela 2a - Valores medidos - Resistor 100 Ohms
   
---
    
| Resistor 50 ohms | Valor Calculado | Valor Medido |
|:----------------:|:---------------:|:------------:|
|      P (W)       |     322.58      |    342.7     |
|     Q (VAr)      |       0.0       |     15.0     |
|      S (VA)      |     322.58      |    342.7     |
|      I (A)       |      2.54       |     2.64     |
|        FP        |       1.0       |     1.0      |
##### Tabela 2b - Valores medidos - Resistor 50 Ohms
        
---

| Indutor 300 mH | Valor Calculado | Valor Medido |
|:--------------:|:---------------:|:------------:|
|     P (W)      |       0.0       |     11.0     |
|    Q (VAr)     |     142.61      |    134.0     |
|     S (VA)     |     142.61      |    134.2     |
|     I (A)      |      1.12       |     1.03     |
|       FP       |       0.0       |     0.08     |
##### Tabela 2c - Valores medidos - Indutor 300mH
        
---


| Motor Erberle | Valor Calculado | Valor Medido |
|:-------------:|:---------------:|:------------:|
|     P (W)     |      49.07      |      51      |
|    Q (VAr)    |      35.39      |      63      |
|    S (VA)     |      60.5       |     80.3     |
|     I (A)     |      0.48       |     0.62     |
|      FP       |      0.81       |     0.63     |
##### Tabela 2d - Valores medidos - Motor Erbele

---

<center>
    
![](https://i.imgur.com/4iKeAtn.png)
    
###### Medição da lâmpada fluorescente compacta

</center>


| LFC 20W | Valor Calculado | Valor Medido |
|:-------:|:---------------:|:------------:|
|  P (W)  |      20.0       |     22.4     |
| Q (VAr) |      34.64      |     29.8     |
| S (VA)  |      40.0       |     37.4     |
|  I (A)  |      0.31       |     0.29     |
|   FP    |       0.5       |     0.60     |
##### Tabela 2e - Valores medidos - LFC 20W  
        
---

| Capacitor de 5 µF | Valor Calculado | Valor Medido |
|:-----------------------:|:---------------:|:------------:|
|          P (W)          |        0.0        |     1.4      |
|         Q (VAr)         |      30.40      |     21.4     |
|         S (VA)          |      30.40      |     21.4     |
|          I (A)          |      0.24       |     0.17     |
|           FP            |        0.0        |     0.06     |
##### Tabela 2f - Valores medidos - Capacitor de 5 µF  

---

| Capacitor de 10 µF | Valor Calculado | Valor Medido |
|:------------------:|:---------------:|:------------:|
|       P (W)        |        0.0        |     3.7      |
|      Q (VAr)       |      60.80      |     52.9     |
|       S (VA)       |      60.80      |    53.04     |
|       I (A)        |      0.48       |     0.40     |
|         FP         |        0.0        |     0.07     |
##### Tabela 2g - Capacitor de 10 µF
    
</center>

Observa-se uma discrepância maior entre os valores calculados e medidos do motor, isso se deve ao fato de não termos claramente o modelo do capacitor antes da realização da prática. 

Em sala de aula ainda foram feitas discussões a respeito dos harmonicos gerados peloa componentes e processados pelo analisador de energia. Pôde-se perceber a distribuição de potência dos harmônicos e a magnitude dos harmônicos múltiplos de 3 que são danosos à rede de distribuição.

## d. Blocos de carga

Nesta seção, ao invés de analisar as cargas individualmente, será analisado blocos de carga conectados em paralelo. Portanto, considerando o circuito apresentado na tabela II, esquematizado na figura 3, temos:

<center>

|Equipes|	Componentes em paralelo|
|:-:|:-:|
|1.1 e 3.1|Resistor de 100 ohms, motor e LFC|
|1.2 e 3.2	|Resistor de 100 ohms, indutor e LFC|
|1.3 e 3.3	|Resistor de 100 ohms, indutor e motor|
|1.4 e 3.4|Resistor de 100 ohms, indutor e capacitor|
|1.5 e 3.5	|Resistor de 50 ohms, indutor e motor|
|**2.1 e 4.1**	|**Resistor de 100 ohms, indutor e duas LFC**|
|2.2 e 4.2	|Resistor de 100 ohms, motor e duas LFC|
|2.3 e 4.3	|Resistor de 50 ohms, motor e LFC|
|2.4 e 4.4	|Resistor de 50 ohms, indutor e LFC|
|2.5 e 4.5	|Resistor de 50 ohms, indutor e duas LFC|

##### Tabela 3 – Bloco de carga sugerido para os grupos
    
![](https://i.imgur.com/BLgxBMh.png)
    
<!-- https://tinyurl.com/y74xuhk8 -->

##### Figura 2 - Circuito proposto
    
</center>

Para o cálculo de $P$, $Q$, $S$, $I$ e $FP$, podemos iniciar somando as potências complexas:


#### Potência complexa total:
$$
S_{total}=S_{resistor}+S_{indutor}+S_{lâmpadas}\\
S_{total}= 161.29\angle 0^\circ + 142.61\angle 90^\circ + 2\times 40\angle 60^\circ\\
S_{total}=291.82\angle 46.38^\circ VA
\tag{29}
$$

#### Potência ativa total:
$$
P_{total} = \Re\{ S_{total} \} = 201.29W
\tag{30}
$$

#### Potência reativa total:
$$
Q_{total} = \Im\{ S_{total} \} = 211.28VAr
\tag{31}
$$

#### Corrente total:
$$
I_{total}=\frac{S_{total}}{V_{s}}=\frac{291.82\angle 46.38^\circ}{127}=2.29\angle 46.38^\circ A
\tag{32}
$$

#### Fator de potência total:
$$
FP = cos(\sphericalangle S_{total}) = cos(46.38^\circ)=0.69
\tag{33}
$$


O fator de potência observado apresenta um valor fora dos definidos pela legislação caso este fosse uma carga para um determinado propósito. Isto se deve ao fato das lâmpadas fluorescentes e do motor serem cargas indutivas e, não havendo presença de cargas indutivas no circuito o fator de potência total apresenta este valor.

Para corrigir o fator de potência conforme a norma apresentada previamente, iremos considerar que corrigiremos para $FP=0.92$, uma outra consideração é que iremos utilizar o conjunto de cargas calculadas acima e indicadas na _tabela 3_ como uma carga equivalente, conforme a _eq. 29_. Considerando a carga equivalente, temos:

$$
S_{eq}=S_{total}=291.82\angle 46.38^\circ VA\\
P_{eq}=P_{total}=201.29W\\
Q_{eq}=Q_{total}=211.28VAr
\tag{34}
$$

Considerando o circuito com o capacitor para correção do fator de potência em paralelo com as cargas, temos:

<center>

![](https://i.imgur.com/ygcVHvz.png)

##### Figura 3 - Circuito para correção do FP
    
</center>

A potência total entregue pelo alimentador pode ser modelada como:

$$
S_{corrigida} = S_{eq} + S_{capacitor}\\
S_{corrigida} = (P_{eq} + jQ_{eq}) + jQ_{c}\\
\tag{35}
$$

O acréscimo de um capacitor não resultou em mudanças na parte real da potência $S_{corrigida}$, assim a potência real da mesma é a própria $P_{eq}$, já o potência complexa pode ser somada com a potência reativa do capacitor para compor a potência complexa corrigida:

$$
Q_{corrigida} = Q_{eq} + Q_{c}
\tag{36}
$$

Através da _eq. 36_ é imediato calcular o valor de $Q_{c}$ se for conhecido a $Q_{corrigida}$ para um fator de potência de **0.92**. A _eq. 37_ nos permite calcular o valor de $Q_{corrigida}$:

$$
\cos\left(\arctan\left(\frac{Q_{corrigida}}{P_{eq}}\right)\right)=0.92\\
\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{Q_{corrigido}}{P_{eq}}\right)^{2}}}=0.92\\
Q_{corrigida}=P_{eq}\sqrt{\left(\frac{1}{0.92}\right)^{2}-1}\\
Q_{corrigida}=201.29\sqrt{\left(\frac{1}{0.92}\right)^{2}-1}\\
Q_{corrigida}=85.75VAr
\tag{37}
$$

Utilizando _eq. 36_ e resultado da _eq. 37_:

$$
Q_{c} = Q_{eq} - Q_{corrigida}\\
Q_{c} = 211.28 - 85.75\\
Q_{c} = 125.53VAr
\tag{38}
$$

Assim, finalmente calculamos o valor do capacitor:

$$
C=\frac{1}{2\pi fQ_{c}}\\
C=21.131\mu F
\tag{39}
$$

Vale ressaltar que a potência total vista pelo alimentador será:

$$
S_{corrigida} = P_{corrigida} + jQ_{corrigida}\\
S_{corrigida} = 201.29W + j85.75VAr
\tag{40}
$$

Algo interessante a ser feito é calcular o módulo da corrente após a correção do fator de potência e comparar com o valor do módulo da corrente antes da correção do fator de potência (encontrado na eq. 32, $|I_{total}| = 2.29 A$).

$$
I_{corrigida}=\left(\frac{S_{corrigida}}{V_{rede}}\right)^\ast=1.72\angle 23.07^\circ A
\tag{41}
$$

## e. Calcular os ganhos de tensão,  perdas e redução de correntes, para a carga escolhida no item anterior, antes e depois da correção de fator de potência. O circuito tem uma fonte de 127 Volts com uma distância para a carga de 50 m com um cabo de 2,5 mm2

Considerando ainda a figura 3 como referência, o valor da resistência do alimentador não tinha sido considerado antes nos cálculos. Agora que foi observado uma diferença no módulo da corrente antes e depois da correção do fator de potência, é interessante analisar o efeito da queda de tensão que poderia ocorrer caso essa resistência fosse considerada.

A modelagem desta resistência será considerada devido a resistência do fio. Para um cabo de $2,5mm^2$ de cobre com 50m de distância entre o alimentador a carga. Utilizando a condutividade do cobre $\sigma = 58 Sm/mm^2$ (ou $\rho = 0.0172 \Omega mm^2/m$).

Como são 2 condutores para alimentar a carga, para $50m$ de distância, são necessários 100m de fio, assim, a _eq. 42_ será considerado $L=100m$:

$$
R\ =\ \frac{L}{\sigma A} = \frac{100}{58\cdot2.5}\\
R = 0.69 \Omega
\tag{42}
$$

Assim, pode ser calculado a queda de tensão antes de depois da correção do fator de potência:

$$
\Delta V = R \times I\\
\Delta V_{antes}=0.69\times2.29 \angle 46.38^\circ = 1.58 \angle 46.38^\circ V\\
\Delta V_{corrigida}=0.69 \times 1.72\angle 23.07^\circ = 1.19 \angle 23.07^\circ V
$$

Esta queda de tensão a depender da característica da carga, pode fazer até mesmo a carga solicitar mais corrente, acentuando ainda mais o efeito da queda de tensão.

Além disso através desta prática foi utilizado o analisador de qualidade de energia, onde é possivel calcular potências ativas, reativas, além do fator de potência, distorção harmônica entre outros:

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![](https://i.imgur.com/qq3Yjg5.png)

###### Figura 4 - Exemplo de uma medição com o analisador
    
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## f. Referências

- Resolução Normativa ANEEL nº 414/2010

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