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title: 三角函數 SOH CAH TOA
tags: [高中數學, 三角函數, 數學]

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# 三角函數 SOH CAH TOA
###### tags: `數學` `三角函數` `高中數學`

在國外，三角函數有一個口訣叫「SOH CAH TOA」，我很喜歡想要介紹他，不過這還牽涉到台灣人對比值的理解，所以下面先從分數與比值講起。

# 分數和比值

## 台灣、日本分數
例如 $\dfrac{3}{4}$ 四分之三，我們讀的「四分之三」意思是「四等分中的三分」；又例如 $\dfrac{5}{13}$ 十三分之五，是先讀「十三」再讀「五」，可能東亞都是這樣，像是日本讀 $\dfrac{3}{5}$ 是「ごふんのさん」、「五分の3」。

:::info
我們：先讀分母，再讀分子
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## 歐美的分數
例如 $\dfrac{3}{4}$ 四分之三，英語是「three-fourths」，意思是「三個四等分」。就算是假分數也是，例如 $\dfrac{5}{3}$ 是「five-thirds」，五個三等分的意思，fouth 和 third 除了有我們熟悉的「第四」、「第三」的意思外，還有「四等分」、「三等分」的意思在。有人口語一點會用「over」，例如 $\dfrac{3}{4}$ 讀作「3 over 4」、「three over four」。

:::warning
歐美：先讀分子，再讀分母
:::

## 差別？

除了先後或說上下讀的差別，這影響了我們對「分」的概念，先讀分母的我們在看一個分數的時候，是先思考「1」的整體，被等分，再取幾分。例如 $\dfrac{3}{4}$ 是先想四等分，再想取三分：

![](https://i.imgur.com/hZCJwsG.png)

而 three-fourths 是先點數 3，再思考三個什麼？三個怎樣的量？知道四等分是怎樣的量後，形成 $\dfrac{3}{4}$ 的概念，四個四等分會是 1，若三個四等分則不到1。

![](https://i.imgur.com/SiwBCa4.png)

這樣看下來似乎前者比較好，確實在分數的討論中，思考「什麼是 1？」是非常重要的，但我個人認為前者的思維只在入門時較容易理解，反而在高年級甚至中學後會拖垮學習。例如很多學生不懂為什麼異分母的加減必須通分，算則都精熟，但就不知道為什麼。

如果用歐美點數幾等分的思維，那 $\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{8}$ 就知道「$\dfrac{1}{6}$ 一個六等分」必須化為等值分數的「$\dfrac{4}{24}$ 四個二十四等分」，而「$\dfrac{3}{8}$ 三個八等分」化為等值分數的「$\dfrac{9}{24}$ 九個二十四等分」，總共是「$\dfrac{13}{24}$ 十三個二十四等分」，==都是「二十四等分」才能 4 個加 9 個總共 13 個==。

不過扯遠了，講分數是要認識歐美分數的思維，記住： $\dfrac{a}{b}$ 是 $a$ 個 $\dfrac{1}{b}$ 的意思就足夠了。

:::success
$\dfrac{a}{b}$ 是 $a$ 個 $\dfrac{1}{b}$ ，也是 $\dfrac{1}{b}$ 的 $a$ 倍
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:::warning
$\dfrac{a}{b} = a \div b$ 
:::

:::info
$\dfrac{a}{b}$ 可讀作 $a$ over $b$
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## 比值

複習一下小六數學，我們都知道 $a : b$ 的比值是 $a \div b=\dfrac{a}{b}$ ，還有前項後項一起同乘以非零的數為等比，也就是 $a : b = (a \times c) : (b \times c)$

例如：

$3 : 5$ 的比值是 $3 \div 5 = \dfrac{3}{5} = 0.6$

$3 : 5$ 和 $6 : 10$ 和 $9 : 15$ 和 $30 : 50$ 是等比

$3 : 5$ 也和 $\dfrac{3}{2} : \dfrac{5}{2}$ 和 $1.5 : 2.5$ 和 $\dfrac{3}{5} : 1$ 和 $0.6 : 1$ 是等比。

## 基準量、比較量

計算這個沒有意思，到底比值的意義是什麼呢？如果弟弟有 30 元，姐姐有 50 元，弟弟的錢是姐姐的幾倍？30 是 50 的幾倍？應該大部份的人都會回答 $\dfrac{3}{5}$ 倍，或 $0.6$ 倍。這個就是基準量與比較量的問題，弟弟的錢是比較量，姐姐的錢是基準量，問「比較量是基準量的多少倍？」這個倍數就是「比較量：基準量」的比值，同時也有「當基準量是 1 的時候，比較量等於比值」。

例如：

比較量 9，基準量 6，得知 $9 : 6$ 的比值 $\dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} = 1.5$，表示「9 是 6 的 $\dfrac{3}{2}$ 倍」，或「9 是 6 的 $1.5$ 倍」，而且反過來可以得到，基準量 6 乘以比值 $1.5$，會得到比較量 9。

又例如：

紅繩長 5 公尺，白繩長 13 公尺，紅繩比白繩的比值為 $\dfrac{5}{13}$，表示**比較量紅繩**的長度，是**基準量白繩**長度的 $\dfrac{5}{13}$ 倍。
:::success
「比較量是基準量的多少倍？」這個倍數就是「比較量：基準量」的比值
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:::info
基準量 $\times$ 比值 $=$ 比較量
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# 三角函數

回到這個筆記的主題，三角函數，不過三角函數還有分狹義的銳角三角函數和廣義的任意角三角函數。

## 銳角三角函數定義

![](https://i.imgur.com/fBBsZ6L.png)

一個銳角可再配上一個直角與餘角，做出如上的直角三角形，例如上圖有：

* $\angle A$ 的對邊是 $\overline{BC} = 3$
* $\angle A$ 的鄰邊是 $\overline{AB} = 4$
* 斜邊是 $\overline{AC} = 5$

就有三角函數：

* $\angle A$ 的正弦值 $\sin{A} = \dfrac{對邊}{斜邊} = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}} = \dfrac{3}{5}$

* $\angle A$ 的餘弦值 $\cos{A} = \dfrac{鄰邊}{斜邊} = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \dfrac{4}{5}$

* $\angle A$ 的正切值 $\tan{A} = \dfrac{對邊}{鄰邊} = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}} = \dfrac{3}{4}$

但這種定義枯燥難記，幾乎是背誦等級的程度了，於是就有了一些輔助的方法。

## 書寫體記憶法

一定很多人聽過下圖的記法：

![](https://i.imgur.com/CwdwK64.png)

剛好 `s` 的筆順先向右上畫，再向下，先 5 再 3，五分之三，記 $\sin{A}= \dfrac{3}{5}$

`c` 的筆順向左下再向右畫，先 5 再 4，五分之四，記 $cos{A}= \dfrac{4}{5}$

`t` 的筆順先平的向右畫，往上再向下，先 4 再 3，四分之三，記 $tan{A} = \dfrac{3}{4}$ （忽略最後的一橫）

## 筆順記法的缺點

但我個人頗不喜歡書寫體的記法，最大原因是他只適用在「銳角在左下，直角在右下」的圖形，然後就會看到很多學生在轉動他的習作或考卷，想方設法要讓紙上的圖形符合上圖的直角三角形，不是長這樣的就不會寫了。如果旋轉就能得到那還行，可是有的圖形還必須翻轉才能符合，就會看到學生在空白處畫幾十個上面的「銳角在左下，直角在右邊」的直角三角形。

例如求下圖中的 $\angle ABC$ 的正弦值 $\sin{\angle ABC}$，就轉不出那個圖形：

![](https://i.imgur.com/0iwpkwv.png)

幾乎可說這個輔助記法反而限制了學習，過於依賴也就無法進入廣義角的三角函數。

英文書寫體的記憶法，會是英語系國家的學生學習三角函數的方法嗎？其實也沒有，原因是那個筆順其實是符合亞洲對分數的讀法，先分母，再分子。前面提過，歐美對分數的讀法是先分子，再分母，所以書寫體筆順來記憶對歐美國家來說，其實是反過來的，他們的口訣是此筆記的主題：SOH CAH TOA。

## O A H

在講 SOH CAH TOA 之前，先講英文字 O、A、H 是什麼，其實就是對邊、鄰邊、斜邊的字首。

:::danger
O 對邊 Opposite
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:::warning
A 鄰邊 Adjacent
:::

:::info
H 斜邊 Hypotenuse
:::

熟悉對邊、鄰邊、斜邊的定義，就不需要侷限在書寫體筆順的那張圖了，以下三個例子：

如下圖，$\angle A$ 的對邊 Opposite 是 $\overline{BC}$，鄰邊 Adjacent 是 $\overline{AB}$，斜邊 Hypotenuse 是 $\overline{AC}$：

![](https://i.imgur.com/aNhsn12.png)

如下圖，$\angle C$ 的對邊 Opposite 是 $\overline{AB}$，鄰邊 Adjacent 是 $\overline{BC}$，斜邊 Hypotenuse 是 $\overline{AC}$：

![](https://i.imgur.com/MFfaJSr.png)

如下圖，$\angle D$ 的對邊 Opposite 是 $\overline{EF}$，鄰邊 Adjacent 是 $\overline{DF}$，斜邊 Hypotenuse 是 $\overline{DE}$：

![](https://i.imgur.com/OOwi7yb.png)

## SOH CAH TOA

其實這個口訣就只是銳角三角函數 $\sin{}$、$\cos{}$ 和 $\tan{}$ 的定義：

![](https://i.imgur.com/fBBsZ6L.png)

正弦值 sine 是「對邊：斜邊」的比值， $\sin{\angle A}= \dfrac{Opposite}{Hypotenuse} = \dfrac{3}{5}$

==S==ine is ==O==pposite over ==H==ypotenuse

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餘弦值 cosine 是「鄰邊：斜邊」的比值， $\cos{\angle A} = \dfrac{Adjacent}{Hypotenuse} = \dfrac{4}{5}$

==C==osine is ==A==djacent over ==H==ypotenuse


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正切值 tangent 是「對邊：鄰邊」的比值， $\tan{\angle A} = \dfrac{Opposite}{Adjacent} = \dfrac{3}{4}$

==T==angent is ==O==pposite over ==A==djacent

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會讀 SOH CAH TOA，就能反推 sin、cos 和 tan：

* 知道 SOH，得 **S**in 是 **O**pposite 除以 **H**ypotenuse
* 知道 CAH，得 **C**os 是 **A**djacent 除以 **H**ypotenuse
* 知道 TOA，得 **T**an 是 **O**pposite 除以 **A**djacent


如果來看剛剛的問題，要求 $\angle ABC$ 的正弦、餘弦、正切值，用書寫體記憶法無法旋轉到符合的樣子，可能要再畫一個圖了？都不用，回到對邊、鄰邊、斜邊的定義即可。

![](https://i.imgur.com/0iwpkwv.png)

求 $\sin{\angle ABC}$ ，由 SOH，$\angle ABC$ 的對邊(*Opposite*)是 $\overline{AC} = 21$，斜邊(*Hypotenuse*)是最長的邊也是直角所對的 $\overline{AB} = 29$，21 over 29 ，所以 $\sin{\angle ABC} = \dfrac{21}{29}$

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求 $\cos{\angle ABC}$ ，由 CAH，$\angle ABC$ 的鄰邊(*Adjacent*)是 $\angle ABC$ 和直角 $\angle BCA$ 之間的邊 $\overline{BC} = 20$，斜邊(*Hypotenuse*)是最長的邊也是直角所對的 $\overline{AB} = 29$，20 over 29 ，所以 $\cos{\angle ABC} = \dfrac{20}{29}$

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求 $\tan\angle ABC$ ，由 TOA，$\angle ABC$ 的對邊(*Opposite*)是 $\overline{AC} = 21$，鄰邊(*Adjacent*)是 $\angle ABC$ 和直角 $\angle BCA$ 之間的邊 $\overline{BC} = 20$，21 over 20 ，所以 $\tan{\angle ABC} = \dfrac{21}{20}$

# 影響

要改變使用已久的分數讀法，或不再用書寫體記憶法，確實會有陣痛期。其實認識 SOH CAH TOA 的好處是這種比值的思維，在很多地方會有呼應，會慢慢看到好處的。


## 基準量乘以比值

前面提過的「比較量：基準量」的比值是「$比較量 \div 基準量$ 或 $\dfrac{比較量}{基準量}$」，這個比值可以這樣用：

:::info
基準量 $\times$ 比值 $=$ 比較量
:::

習慣了「基準量乘以比值會得到比較量」的思考，在三角函數課題上會得到提升，例如下面一個常見的基礎問題：

已知 $\overline{AB}=12$ 、 $\angle C = 90^\circ$ 與 $\sin{\angle A} = \dfrac{3}{4}$ ，求 $\overline{BC}$ 長度。

![](https://i.imgur.com/kzxFFD8.png)

### 一般解法

剛學三角函數的學生都會把 $\sin{\angle A}$ 的定義列出來，然後放上已知的值，解方程式：

$\sin\angle A = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}\\
\implies \dfrac{3}{4} = \dfrac{\overline{BC}}{12}\\
\implies\overline{BC}=\dfrac{3\times 12}{4}=9$

### 基準量解法

認識 SOH CAH TOA 後會習慣 $\sin\angle A$ 的 SOH 是==比較量對邊==除以==基準量斜邊==的比值，也就是「**對邊長是基準量斜邊長乘以正弦值**」：

$\overline{BC} = \overline{AB}\times\sin{\angle A} =12 \times \dfrac{3}{4}=9$

### 除改乘

比起除法，應該多數人對乘法會比較沒有壓力，所以這種基準量乘以比值的轉化，會讓三角函數比較親切。

![](https://i.imgur.com/vrLuKIG.png)

上圖在原本的定義是這樣：

$\left\{
\begin{array}{r}
\sin{\theta}=\dfrac{a}{c} \\
\cos{\theta}=\dfrac{b}{c}\\
\tan{\theta}=\dfrac{a}{b}
\end{array}\right.$

可以調整成：

$\left\{\begin{array}{l}
a=c\cdot\sin{\theta}\\
b=c\cdot\cos{\theta}\\
a=b\cdot\tan{\theta}
\end{array}\right.$

在確定 sin、cos、tan 各自是以什麼為基準量得到的比值，就可以輕鬆推得比較量。

### 物理分力

物理上蠻多運用三角函數的地方，尤其是牛頓力學的章節，例如下圖，光滑斜面與地面夾角為$\theta$，有一物重量 $W$ 公斤重，求物體沿斜面下滑的加速度，之類的問題：

![](https://i.imgur.com/3ZO3T93.png)

決定平行與垂直運動方向的兩軸後，要將 $W$ 分解，先求出 $W$ 與垂直斜面的方向夾角也是 $\theta$。

![](https://i.imgur.com/USZ87TP.png)

如上圖，將 $W$ 分解成垂直斜面的 $W_1$ 與平行斜面的 $W_2$，還有斜面會施加在重物的正向力 $N$，但這不是此筆記的重點，我們要找出 $W_1$ 與 $W_2$ 的大小。

![](https://i.imgur.com/QLhdMtd.png)

如上圖，關注在黃色的 $\triangle ABC$ ，已知 $\angle A=\theta$，且 $\overrightarrow{CB}=W_2$

* $\overline{AC}=W_1$ 與 $\overline{AB}=W$ 對 $\theta$ 來說是鄰邊 A 與斜邊 H，由 CAH 所以用餘弦 $W_1=W\cdot\cos{\theta}$
* $\overline{CB}=W_2$ 與 $\overline{AB}=W$ 對 $\theta$ 來說是對邊 O 與斜邊 H，由 SOH 所以用正弦 $W_2=W\cdot\sin{\theta}$

很多問題是力要被分解在互相垂直的兩個方向上，這時原來的力通常會是三角形的斜邊，就很適合因為斜邊為基準量時，乘上對應餘弦值或正弦值，可得到比較量的鄰邊分力或是對邊分力。

## 廣義三角函數

鈍角能不能討論三角函數呢？這就要用廣義的三角函數了，在直角坐標平面上，以 $x$ 軸正向為始邊，有向角 $\theta$ 的終邊上取一點 $P$，其坐標為 $(x,y)$，原點 $O$ 和 $P$ 的距離 $\overline{OP} = r$，則有三角函數：

![](https://i.imgur.com/fP9LvhH.png)

$\left\{
\begin{array}{r}
\sin{\theta}=\dfrac{y}{r} \\
\cos{\theta}=\dfrac{x}{r}\\
\tan{\theta}=\dfrac{y}{x}
\end{array}\right.$

雖然 SOH CAH TOA 在非銳角無法畫出直角三角形就無法使用，但其精神仍在（也是有人提出 SYR CXR TYX 的版本，但實在不好讀）：

* 正弦值是 y 坐標與距離 r 的比值，$\sin{\theta}=\dfrac{y}{r}$
* 餘弦值是 x 坐標與距離 r 的比值，$\cos{\theta}=\dfrac{x}{r}$
* 正切值是 y 坐標與 x 坐標的比值，$\tan{\theta}=\dfrac{y}{x}$

同樣的也可以用基準量乘上比值，來得到比較量的想法：

* 比較量 y 坐標，即基準量距離 r 乘上正弦值 $y=r\cdot\sin{\theta}$
* 比較量 x 坐標，即基準量距離 r 乘上餘弦值 $x=r\cdot\cos{\theta}$
* 比較量 y 坐標，即基準量 x 坐標乘上正切值 $y=x\cdot\tan{\theta}$

## 正負

廣義三角函數看的是有向角終邊上點的 y 坐標與 x 坐標，所以函數值自然會有正負，很多學生在這一塊是背「才字圖」，其實熟悉定義就會很自然。

如下圖，以 sin 為例，由於距離 r 恆為正數，原本相除的定義可知 $\sin{\theta}$ 和 $y$ 同號，若 y 為正數則 sin 正弦值為正數，如果用相除的來看覺得不是那麼顯然，試著用基準量乘以比值的式子換個角度來看。

![](https://i.imgur.com/JSrjQtl.png)

==正弦 sin 是 y 與 r 的比值==，而基準量 r 為長度必為正值，所以==正負決定在 y==，當有向角的終邊落在第一象限或第二象限時，y 為正則 sin 為正；當有向角的終邊落在第三象限或第四象限時，y 為負則 sin 為負：

![](https://i.imgur.com/LbbGFHG.png)

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==餘弦 cos 是 x 與 r 的比值==，而基準量 r 為長度必為正值，所以==正負決定在 x==，當有向角的終邊落在第一象限或第四象限時，x 為正則 cos 為正；當有向角的終邊落在第二象限或第三象限時，x 為負則 cos 為負：

![](https://i.imgur.com/o97mDKg.png)

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==正切 tan 是 y 與 x 的比值==，兩個值都有正負的可能，相除所以==正負決定在 x 和 y 同號還是異號==，當有向角的終邊落在第一象限或第三象限時，x 和 y 同號則 tan 為正；當有向角的終邊落在第二象限或第四象限時，x 和 y 異號則 tan 為負：

![](https://i.imgur.com/aYKId6R.png)

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記定義再由投影到兩軸的垂足，從 x 與 y 坐標來判斷三角函數值的正負，其實也是很快很踏實的，比大小也是這樣看。