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# System prepended metadata

title: Normes

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Manipuler ces modèles nécessite que l'on sache
* comment exprimer l'équation d'une droite (d'un hyperplan en général) : de *sea* (sous-espace affine) $\mathbb{R}^n$
* de quel côté de la droite (hyperplan) on est : signe du produit scalaire

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**Définition** on appelle sous-espace affine de $\mathbb{R}^n$ tout partie de $\mathbb{R}^n$, $A$ qui s'écrit sous la forme $A = x + F$,
où $x$ est un point de $\mathbb{R}^n$ et $F$ *sev* (sous-espace vectoriel) de $\mathbb{R}^n$.

* $F$ est unique est s'appelle la direction de A
* $x$ n'est pas unique, car l'origine peut être n'importe quel point du sev. Par exemple, pour la droite affine d'origine $(0, 1)$ et de direction $(1, 1)$ peut aussi avoir pour origine $(1, 2)$.

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En toute généralité, un sea (sous espace affine) de $\mathbb{R}^n$ s'écrit sous ces seules forme:
* **implicitement**: $A \times X = b$, où $b$ est une constante, $A$ une matrice et $X$ un vecteur d'inconnues
* **paramétriquement**: $\lgroup A \times T + C \vert \forall \in \mathbb{R}^{cerise} \rgroup$

**Exemple de passage de paramétrique à implicite**

$$A =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
3 & 1
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}t \\ u\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}
$$

On cherche à identifier des équations qui décrivent $A$.
Si $x,y,z \in A$, on obtient, avec un pivot de Gauss, l'écriture implicite de $A$:
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
x = t \\
z = -u + i \\
\boxed{y = 3x - z + i}
\end{array}
\right.
$$

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# Normes

Une norme sur un $\mathbb{R}$-ev est une manière de mesurer la longueur d'un vecteur tout en respectant un minimum la structure de l'espace vectoriel. Elle permet donc de mesurer la distance entre deux points, en mesurant la longueur d'un vecteur les lie (dans $R^n$, il s'agit de la différence).

Elle permet aussi d'exprimer la notion de voisinage d'un point (l'ensemble des points à distance inférieur à un $\epsilon$).

**Définition** soit $E$ un $\mathbb{R}$-ev. Une norme sur $E$ est une application $||.||: E\rightarrow\mathbb{R}^+$ telle que:
1. $||x|| = 0 \Longleftrightarrow x = 0$
2. $||\lambda{}x|| = |\lambda{}|\times||x||$
3. $||x+y|| \leq ||x|| + ||y||$ (inégalité triangulaire)
    3b. $| ||x|| - ||y|| | \leq ||x - y||$

L'inégalité triangulaire dit juste que la longueur d'un côté du triangle est plus petite que la somme des deux autres (ce n'est pas une propriété anecdotique, car elle est fausse dans certains espaces).

**Exemple 1** $$||x||_2 = \sum_{i=1}^{n}x_i^2 = \sqrt{x^Tx}$$

**Exemple 2** $$||x||_1 = \sum_{i=1}^{n}|x_i|$$

**Exemple 3** $$||x||_{\infty} = \max_{i \in 1,..,n} |x_i|$$

**Exemple 4** $$\forall p \geq 1: ||x||_p = (\sum_{i=1}^{n} |x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$

On appelle boule ouverte (respectivement fermée) centrée en $x\in\mathbb{R}^n$ et de rayon $\epsilon\gt{}0$ pour $||.||$, la partie de $\mathbb{R}^n$:
$$
\mathcal{B}(x, \epsilon) = y\in\mathbb{R}^n, ||y - x|| \lt \epsilon
$$

Respectivement:
$$
\mathcal{B}(x, \epsilon) = y\in\mathbb{R}^n, ||y - x|| \le \epsilon
$$

**Remarque**: toute boule $\beta(x, \epsilon)$ est obtenue par translation et dilatation de $\mathcal{B}(0, 1)$::
$$\mathcal{B}(x, \epsilon) = \epsilon\times\mathcal{B}(0, 1) + x$$


**Exemple** la boule $\mathcal{B}(0, 1)$ sur $\mathbb{R}^2$ en utilisant la norme 2 (distance euclidienne) est le cercle de rayon $1$ centré en $0$. Si elle est ouverte, elle "comprend le bord". 

Si on utilise la norme infinie, il s'agira d'un carré.

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Définir une norme permet d'étudier les notions de convergence, de continuité ou de comparaisons, par exemple:


**Continuité**
Une fonction $f: (E, ||.||_E) \Longrightarrow (F, ||.||_F)$ est dite continue en $\alpha \in E$ si $\forall \epsilon \gt 0; \exists\mu\gt0$ tel que:
$$||x -a||_E \lt \mu \Longrightarrow ||f(x)-f(a)||_E \lt \epsilon$$


Une fonction peut-elle être continue pour une norme et pas pour une autre ?

**Dans $\mathbb{R}^n$, toutes les normes sont équivalentes. On n'a donc pas d'ambiguité sur la continuité ou convergeance des objets qu'on manipule** (ce ne serait pas le cas en dimension infinie).
>   **Mais le choix d'une norme garde de l'importance sur des cas concrets**