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# System prepended metadata

title: 幾何原本筆記 (Euclid’s Elements)
tags: [math, geometry, euclid]

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title: "幾何原本筆記 (Euclid’s Elements)"
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# 幾何原本筆記 (Euclid’s Elements)

## 幾何 = Geometry?

Euclid’s Elements 徐光啟翻成「幾何原本」，但「幾何」二字何來？「原本」二字能省？Elements of What?

> 九章：「今有田廣十五步，從十六步。問為田**幾何**?」，幾何為「數量多少」之意。

以數量多少之意來解釋「幾何原本」四字，則應是「求取數量多少之所本」，若單純以為幾何是 Geometry 之意解，個人以為實在是表面了點。不過，這世界本是如此，名可名，非常名；不求甚解者眾，慎思者希，吾亦浮萍爾，知之尚力有未逮，何言其它。

## 重拾被忽視省略的過程
  * 點與點連線
  * 線與線共面 (線代則可解譯為平面可由兩線性獨立的的線性組合所構成)
      * 共一平面
      * 共曲面
  * 兩直線僅有一交點則共一平面
  * 任意不共線三點間連線可成三角形
      * 兩線段共點夾角非 0 可成三角形
      * 外角和為 ${360^\circ}$ *(Think out of the box)*
      * 同角兩邊做高(投影)必為兩相似三角形
![](https://i.imgur.com/dDlybtC.png)
[Play](https://www.geogebra.org/geometry/sxryqkag)
  * 線對稱與點對稱
      * 鏡射指的是線對稱(以線為對稱軸，而非點，只有與對稱軸垂直的座標相反)
        90 度
![](https://i.imgur.com/0TOqBLN.png)[Play](https://www.geogebra.org/geometry/u2qarwpe)
      * 點對稱是穿透(真正上下巔倒，左右相反的倒影。)
        180 度
        ![](https://i.imgur.com/Sj2ex2D.png)
[Play](https://www.geogebra.org/geometry/ttqkegw3)
      * 以三角形任一點做點對稱練習並區分線對稱與點對稱的不同
  * 平行四邊行沒那麼單純 (TODO)
  * 更認識平行的力量 (TODO)
  * $1^2 = 1??$ (TODO)
    從前為了計算快速，我們總將 
    $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$
    但問題是此處的 1 原本應該是 $1\times1=1^2$，二項式相乘出來的每一項也必然是 n 次相乘。
    為了快速計算，很可能錯過了這個重要的原則，2 次元裡不存在 1 次元的東西。  
    $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ 
    與 
    $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$ 的差別
    $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ 
    與 
    $(A+B)^2=A^2-AB-BA+B^2$ 的差別
  * 投影(Projection) (TODO)
  * 圓
      * 圓最重要的特性?
          * 圓周任一點至圓心等距
      * 圓與直角
          * 過圓心為直徑，直徑所切兩弧各為 $\pi$，直徑兩點外與其外圓周上任一點連接必為直角三角形，所有直角三角形皆可由圓做出。
      * 圓與三角形
          * 所有三角形皆有外接圓（即三點共圓），反過來說也就是我們在一個圓上即可做出所有三角形的相似形。
    * 和差角公式同一圖解
![](https://i.imgur.com/QxtNvDA.png)
![](https://i.imgur.com/5Zu7k5P.png)


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## TODO
  * 發現畢式定理的由來猜想
  * 先有面積還是體積?
  * 橢圓(Ecllipse)、角錐(Cone)與雙曲線（一點一線間距離的藝術）
    * 旋轉
      * 只轉一個向量 vs 整個座標軸都旋轉
      * 轉速與轉動加速度
        * 角速度, 角加速度
        * 日常能理解的單位(圏/t) rpm
    * 思考層次
      * 透過加減乘除來表達關係
        \+ - * /是否有更深層本質的意義？ => 分析式數學(線代，離散，群論等)

## 過程其實比最後的答案更有趣
   觀察、分析、歸納、思考、提問、解答，別只想著解答。
   
###### tags: `math` `geometry` `euclid`