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title: 第3章　最小メッセージ契約による正直申告と高努力の実装

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## 3.1 目的と設計思想

本章の目的は、状態 $Z$ が第三者に検証不能であるにもかかわらず、当事者間では事後に $Z$ が共通知識になるという環境の下で、正直申告と高努力が同時に均衡となるような最小契約を提示することである。

契約は $Z$ を参照できない代わりに、(i) 当事者が事後に真実を知っていること、(ii) 買い手に拒否権を与えること、(iii) 拒否が出たときに売り手が失う金額を契約内で内生的に作ること、の3点を用いて嘘を自己抑止し、その上で成功確率に影響する共同投資のインセンティブを回復する。

## 3.2 環境

### 状態、努力、情報

プレイヤーは買い手 $B$ と売り手 $S$ の2者である。状態は二値 $Z\in{0,1}$（失敗、成功）で、努力は二値 $e_i\in{0,1}$（低、高）である。

努力は成功確率に影響し、
$$
\Pr(Z=1\mid e_B,e_S)=\pi(e_B,e_S)
$$
とする。高努力の追加費用を $c_i>0$ とし、$c_i(0)=0$、$c_i(1)=c_i$ とする。

$t=2$ で当事者は真の $Z$ を観察し、それが共通知識になる。一方、スマートコントラクト（第三者）は $Z$ を観測、検証できない。

### 実行アクション

実行は3つのみである。

$x^{G}$ は成功向け（Good）、$x^{B}$ は失敗向け（Bad）、$x^{D}$ は拒否時デフォルト（Default）である。

主体 $i$ の状態 $z$ の下での実物価値を $v_i^{z}(x)$ とする。


### コミットメント

メッセージ送信後、スマートコントラクトは本章の実行、支払い規則を自動執行し、当事者はエスクローからの支払い、返金を事後に上書きできないとする。

## 3.3 契約

### メッセージと順序

売り手は $m_S\in{\text{success},\text{failure}}$ をスマートコントラクトに送る。買い手はそれを見て $m_B\in{\text{accept},\text{reject}}$ をスマートコントラクト送る。

### 実行ルール

$m_B=\text{accept}$ のとき、$m_S=\text{success}\Rightarrow x^{G}$、$m_S=\text{failure}\Rightarrow x^{B}$ とする。
$m_B=\text{reject}$ のとき、常に $x^{D}$ とする。

### 予算

買い手は $t=0$ にスマートコントラクトに $F+K$ を預託する。
そしてもし、accept のとき売り手へ $F+K$ を支払い、reject のときは売り手へ $F$ を支払い、買い手へ $K$ を返金する。

## 3.4 Budget feasibility

支払不能を避ける最小条件は
$$
F\ge 0,\quad K\ge 0
$$
であり、かつ事前に $F+K$ がエスクローに預託されていることである。

## 3.5 正直申告の誘因

契約が真偽判定するのではなく、当事者間で真の $Z$ が共通知識になることを用いる。正直申告が均衡となるためには、買い手が真実に応じて accept、reject を選ぶことが最適であり、かつそれを見越して売り手が嘘を選ばないことが必要である。

なお、$t=2$ で当事者は真の $Z$ を観察し、それが共通知識になるという仮定を置いているので、当事者の間では努力量を事後にはわかっている。そのため、買い手は売り手が嘘の申告をしているのかそうでないかを事後には把握することができる。

### 3.5.1 買い手の真実反応（IC for $B$）

買い手が、状態に合致する申告には accept、合致しない申告には reject を選ぶための条件は次である。
$$
\text{(B1)}\quad K \le v_B^{1}(x^{G})-v_B^{1}(x^{D})
$$
$$
\text{(B2)}\quad K \ge v_B^{0}(x^{G})-v_B^{0}(x^{D})
$$
$$
\text{(B3)}\quad K \le v_B^{0}(x^{B})-v_B^{0}(x^{D})
$$
$$
\text{(B4)}\quad K \ge v_B^{1}(x^{B})-v_B^{1}(x^{D})
$$

これらは同値に、$K$ の下限と上限としてまとめられる。

下限は

$$
K \ge K_L \equiv \max\Bigl\{0,\ v_B^{0}(x^{G})-v_B^{0}(x^{D}),\ v_B^{1}(x^{B})-v_B^{1}(x^{D})\Bigr\}
$$

であり、上限は
$$
K \le K_U \equiv \min\Bigl\{v_B^{1}(x^{G})-v_B^{1}(x^{D}),\ v_B^{0}(x^{B})-v_B^{0}(x^{D})\Bigr\}.
$$
である。

従って、買い手の真実反応が成立するための必要十分条件は
$$
K_L \le K \le K_U
$$
である。

### 3.5.2 売り手の正直申告（IC for $S$）

買い手の真実反応が成立すると、売り手が嘘をつけば買い手は reject を選び、実行は $x^{D}$ となる。状態 $z$ の下で、正直申告利得は $v_S^{z}(x^{z})+(F+K)$、虚偽申告利得は $v_S^{z}(x^{D})+F$ である。よって売り手の正直申告には
$$
K \ge v_S^{z}(x^{D})-v_S^{z}(x^{z})\qquad (z=0,1)
$$
が必要である。

これを
$$
K \ge K_S \equiv \max_{z\in{0,1}}\big(v_S^{z}(x^{D})-v_S^{z}(x^{z})\big)
$$
とまとめる。

### 3.5.3 正直申告を支える $K$ の許容範囲

以上より、正直申告が同時に成立するための条件は
$$
\max{K_L,K_S}\le K \le K_U
$$
である。従って、$K$ が存在するための最小の存在条件は
$$
\max{K_L,K_S}\le K_U
$$
となる。
## 3.6 参加制約と $K$

契約に参加しない場合の効用を $\bar U_B,\bar U_S$ とする。

一方で契約に参加して、正直申告が成立し、 reject が起きない均衡では、実行は $Z=1$ で $x^{G}$、$Z=0$ で $x^{B}$、支払いは常に $F+K$ である。

合計移転を
$$
T\equiv F+K
$$
とおく。

### 3.6.1 参加制約

売り手の参加制約は
$$
\text{(IR-S)}\quad \mathbb{E}\big[v_S^{Z}(x^{Z})\mid e\big] + T - c_S(e_S)\ \ge\ \bar U_S
$$

であり、買い手の参加制約は

$$
\text{(IR-B)}\quad \mathbb{E}\big[v_B^{Z}(x^{Z})\mid e\big] - T - c_B(e_B)\ \ge\ \bar U_B
$$
である。

### 3.6.2 売り手の参加制約

売り手の参加制約は、
$$
\mathbb{E}\big[v_S^{Z}(x^{Z})\mid e\big] + T - c_S(e_S)\ \ge\ \bar U_S
$$

であり、両辺から $\mathbb{E}\big[v_S^{Z}(x^{Z})\mid e\big]$ を引くと
$$
T - c_S(e_S)\ \ge\ \bar U_S-\mathbb{E}\big[v_S^{Z}(x^{Z})\mid e\big].
$$

両辺に $c_S(e_S)$ を足すと
$$
T\ \ge\ \bar U_S-\mathbb{E}\big[v_S^{Z}(x^{Z})\mid e\big]+c_S(e_S).
$$

よって下限を
$$
T_S^{\min}\equiv \bar U_S-\mathbb{E}\big[v_S^{Z}(x^{Z})\mid e\big]+c_S(e_S)
$$
と定義すれば、
$$
T\ge T_S^{\min}
$$
が必要である。

### 3.6.3 買い手の参加制約

一方で買い手の参加制約は

$$
\mathbb{E}\big[v_B^{Z}(x^{Z})\mid e\big] - T - c_B(e_B)\ \ge\ \bar U_B
$$

であり、両辺に $T$ を足すと
$$
\mathbb{E}\big[v_B^{Z}(x^{Z})\mid e\big] - c_B(e_B)\ \ge\ \bar U_B + T.
$$

両辺から $\bar U_B$ を引くと
$$
\mathbb{E}\big[v_B^{Z}(x^{Z})\mid e\big] - c_B(e_B)-\bar U_B\ \ge\ T.
$$

従って（同値に書き換えて）
$$
T\ \le\ \mathbb{E}\big[v_B^{Z}(x^{Z})\mid e\big] - c_B(e_B)-\bar U_B.
$$

よって上限を
$$
T_B^{\max}\equiv \mathbb{E}\big[v_B^{Z}(x^{Z})\mid e\big]-c_B(e_B)-\bar U_B
$$
と定義すれば、
$$
T\le T_B^{\max}
$$
が必要である。


以上より
$$
T_S^{\min}\le T \le T_B^{\max}
$$
が必要である。


### 3.6.2 Budget feasibility との整合性

Budget feasibility の $F\ge 0$ は $F=T-K$ より
$$
F\ge 0\ \Longleftrightarrow\ T-K\ge 0\ \Longleftrightarrow\ T\ge K
$$
である。

したがって、参加制約と $T\ge K$ を同時に満たすには
$$
\max{T_S^{\min},K}\le T \le T_B^{\max}
$$
を満たす $T$ が存在することが必要であり、このとき
$$
F=T-K
$$
と置ける。


## 3.7 高努力の誘因

正直申告が成立すると、成功は成功として処理され、失敗は失敗として処理される。このとき移転 $T$ は状態によらず一定であるため、努力誘因は実物価値差のみで決まる。

成功確率の増分を
$$
\Delta\pi_B(e_S)=\pi(1,e_S)-\pi(0,e_S),\qquad
\Delta\pi_S(e_B)=\pi(e_B,1)-\pi(e_B,0)
$$
と書く。

高努力が最適反応であるための条件は、各相手努力 $e_{-i}$ について次が成り立つことである。
$$
\text{(E-B)}\quad \Delta\pi_B(e_S)\cdot\big(v_B^{1}(x^{G})-v_B^{0}(x^{B})\big)\ \ge\ c_B
$$
$$
\text{(E-S)}\quad \Delta\pi_S(e_B)\cdot\big(v_S^{1}(x^{G})-v_S^{0}(x^{B})\big)\ \ge\ c_S
$$

## 3.8 命題

次が成り立つとする。

1. Budget feasibility と事前預託、すなわち $F\ge 0$、$K\ge 0$ と $F+K$ の前払い
2. 買い手 IC、すなわち $K_L\le K\le K_U$
3. 売り手 IC、すなわち $K\ge K_S$。従って $\max{K_L,K_S}\le K\le K_U$
4. 参加制約と整合性、すなわち $\max{T_S^{\min},K}\le T\le T_B^{\max}$ を満たす $T$ が存在し、$F=T-K$ と置ける
5. 努力誘因：正直申告が成立した下で，各主体が高努力を最適反応として選ぶ。条件 $\text{(E-B)}$，$\text{(E-S)}$

6. 実行、支払い規則へのコミットメント

このとき、正直申告が均衡として成立し、かつ (E-B)(E-S) の下で高努力が選ばれる。従って、正直申告と高努力が同時に均衡として実装される。

## 一言

このモデルでは、大学で議論させていたあいた旧モデルとは異なり、売り手メッセージはGood or Badで、買い手メッセージはAccept or Rejectとなり、予算は最低保証 $F$ と留保 $K$ のみであり、担保、罰金、市場、連続価格、手数料等を必要としません。

正直申告は買い手が事後に真実を知るという情報構造と、reject による $K$ の回収、売り手の $K$ 没収、デフォルト $x^D$ の組み合わせにより自己抑止されます。

これはchen論文でいうところの市場内利得を$v_i(x^Z)$、外部オプションを $K$ とみなして、信頼区間を定義していると考えることもできるかもしれません。

高努力は正直申告により成功が正しく処理されることによって共同投資の効果が歪められず、成功時と失敗時の実物価値差が費用を上回る範囲で成立します。

効用誤差をどのように評価するかはまだ考えていませんが、実際にはスマートコントラクトはガス代がかかるのでそういったところで誤差評価するのか？とか思ってます。