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(3)$\implies$(1)の証明：


$\gamma(t), \nu(t)$

$$d(\gamma(t), \nu(t))$$







(2)$\implies$(1)は反例がありそう？

(2)$\implies$(1)反例ありました
$(X,d)=(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1)$で
$\gamma(t)=(\frac{t}{2},\frac{t}{2}),\nu(t)=(\frac{t-\log(t+1)}{2},\frac{t+\log(t+1)}{2})$
とすると$\gamma(t), \nu(t)$は最短測地線で$d(\gamma(t), \nu(t))=\log(t+1)$となるので,
(2)は成り立ちますが(1)は成り立たないです.
