---
# System prepended metadata

title: Advanced Programming & Maths

---

---
title: Advanced Programming & Maths
---
Notations in [MathJax](https://math.meta.stackexchange.com/questions/5020/mathjax-basic-tutorial-and-quick-reference)
empty space = "⠀ "

# Theorie
## Reële functies

Een reële functie is een relatie in **$ℝ$** waarbij elke x hoogstens één
beeldwaarde f(x) heeft.

Elke functie heeft:
- domain
- range
- functievoorschrift

### Functievoorschrift
$f : domein \to bereik: x \to y = f(x)$
$f : ℝ \to ℝ: x \to y = x^3 - 4x$

### Nulpunten
Elke functie kan nulpunten hebben.

Wordt via een tekenschema verduidelijkt:
![](https://i.imgur.com/adzcTUl.png =300x)

### Veelterm en veeltermfuncties
Veelterm:
$A(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0$
Veeltermfunctie:⠀ ⠀⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ $(a_n,a_{n-1},a_{n-2}, \ldots ,a_2,a_1,a_0 \in ℝ)$
$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0$

Graad van veelterm: n als $a_n \neq 0$ 

**Bijzondere veeltermfuncties**
- Constante functie
- Lineaire functie
- Tweedegraadsfunctie
- Exponentiële functie

|Constant ⠀⠀⠀ ⠀ ⠀⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀$f(x) = a$|Liniair⠀⠀ ⠀ ⠀ ⠀⠀⠀⠀ ⠀ ⠀ ⠀$f(x) = ax +b$|
|-|-|
|![](https://i.imgur.com/4Z1yFr8.png =300x)|![](https://i.imgur.com/bmWotp7.png =300x)|
|![](https://i.imgur.com/KV4Ntfa.png =300x)|![](https://i.imgur.com/CdIP4jv.png =300x)|
|**Tweedegraads** ⠀ ⠀ $f(x) = ax^2 +bx +c$|**Exponentieel** ⠀⠀ ⠀ ⠀ ⠀⠀ ⠀⠀ $f(x) = a^{g(x)}$|

**Bijzondere Exponentiele functie**
Constante van Euler: $e \approx 2.718281828…$

$f(x) = e^x$
![](https://i.imgur.com/mJWLvnf.png =400x)

## Functies m.b.t machine learning
### Logistic function
Bijvoorbeeld bij groei van populatie:
![](https://i.imgur.com/Lgyunts.png =500x)

Functievoorschrift:
$y=\frac{G}{1+B*g^t}$
waarbij:
• $t$: Tijd
• $B$ en $g$: Constanten
• $G$: Bovengrens


### Regression model
#### Linear regression
1 input: $x$

$h_\emptyset(x) = \emptyset_0 + \emptyset_1x$
Uitkomst:
$0 \le h_\emptyset(x) \le 1$

#### Logistic regression
1 input: $x$

$p = \frac{1}{1+e^{-(b_0+b_1x)}}$
Uitkomst:
1 als $h_\emptyset(x) \ge 0.5$
0 als $h_\emptyset(x) \lt 0.5$

### Softmax functie
Softmax-model berekent de mate van zekerheid dat een toestand tot
een bepaalde categorie behoort.
= Classifier

Voorbeeld: berekening of z1, z2 tot klasse A behoort
$$\frac{e^{\emptyset_{A,0} + \emptyset_{A,1}z_1 + \emptyset_{A,2}z_2}}{
e^{\emptyset_{A,0} + \emptyset_{A,1}z_1 + \emptyset_{A,2}z_2} + e^{\emptyset_{B,0} + \emptyset_{B,1}z_1 + \emptyset_{B,2}z_2} + e^{\emptyset_{A,0} + \emptyset_{A,1}z_1 + \emptyset_{A,2}z_2}}$$

Dit model wordt via deze functie geschreven:
$$\frac{e^{x_k}}{\sum^n_{i=1}e^{x_i}}$$

waarbij: $x_k=\emptyset_{k,0} + \emptyset_{k,1}x_1 + \emptyset_{k,2}x_2 + \cdots + \emptyset_{k,m}x_m$
en $n$ het aantal groepen en $m$ het aantal meetcriteria

## Kansrekening
Berekenen van de waaschijnlijkheid van een gebeurtenis

### Laplace
De defenitie van laplace is $P(G) = \frac {n⠀ gunstige⠀ uitkomsten}{n⠀ mogelijke⠀ uitkomsten}$
Waarbij $P(G)$ de kans op gebeurtenis $G$

Wiskundige notatie is hiervoor: $P(A) = \frac {\#A}{\#\Omega}$
met $A$: een gebeurtenis
met $Ω$: alle mogelijkheden (‘het universum')
met $\#A$: aantal elementen (uitkomsten) die voldoen aan deze gebeurtenis
met $\#Ω$: totaal aantal elementen uit univesum
met als voorwaarde: alle mogelijke uitkomsten zijn **even waarschijnlijk**

### “en” => toepassen van de productregel
gewn de breuken vermenigvuldigen fam
### “of” => toepassen van de somregel
Bv: je gooit met twee dobbelstenen
Wat is de kans op ‘veschil is 1 **of** product is 12’?
$$P(G_1\ of\ G_2) = P(G_1)+P(G_2)$$

Als er overlap is van de kansen loop je gevaar op dubbele telling
![](https://i.imgur.com/ygmtLBI.png =100x)

Bij overlap kan je deze oplossen toor het aftrekken van de kans met de **"en"** regel
$$P(G_1\ of\ G_2) = P(G_1)+P(G_2)\quad -P(G_1\ en\ G_2)$$

**Extenties op somregel**

Wiskundige formule:
- de gebeurtenis dat A of B of beide optreden: $𝐴∪𝐵$  ('vereniging')
- de gebeurtenis dat A en B tegelijkertijd optreden optreden: $𝐴∩𝐵$ ('doorsnede')

De kans dat de vereniging zich voordoet (“som-regel"):
$P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)$
Als $𝐴∩𝐵$ leeg is, dan geldt:
$P(A∪B)=P(A)+P(B)$

### Complementregel
Complement = de kans dat een gebeurtenis **NIET** gebeurt
$P(G) + P(G_{complement}) = 1$

### Stochaisch experiment
= Opéénvolging van enkelvoudige experimenten


Uitkomstenverzameling: $U = \{aa,ab,ba,bb\}$
elke uitkomst = weg in kansboom
Elke tak: bijhorende deelkans
#### Trekking met terugleggen
**Onafhankelijke deelexperimenten**
kansen bij de tweede trekking zijn onafhankelijk van het resultaat van de eerste trekking

![](https://i.imgur.com/dkEbs8b.png =200x)

**Productregel voor kansen**
De kans op een weg is gelijk aan het product van de kansen langs die weg

#### Trekking zonder terugleggen
**Afhankelijke deelexperimenten**
kansen bij de tweede trekking zijn afhankelijk zijn van het resultaat
van de eerste trekking
![](https://i.imgur.com/0guBj3z.png =200x)

### Theoretische en emperische kansen
*Gooien met een dobbelsteen*
Dit is een '*theoretische*' of '*a priori*' kans:
de kans op een gebeurtenis is vooraf berekenbaar

Verwachting: 10 keer 1, 10 keer 2, 10 keer 3, …
Maar is de werkelijkheid = verwachting?

**De wet van de grote getallen**
*Wanneer we een experiment heel vaak herhalen komt de relatieve frequentie steeds dichter in de buurt van de kans op de gebeurtenis*

|Vaststelling na 60 keer gooien|Vaststelling na 600 keer gooien|Vaststellingna 6000keer gooien|
|-|-|-|
|![](https://i.imgur.com/uWRB0cn.png)|![](https://i.imgur.com/1r1wJaH.png)|![](https://i.imgur.com/pVQJ0aH.png)|

Nuttig wanneer we kans niet vooraf kunnen berekenen.
Door het experiment heel vaak te herhalen, kunnen we de kans afleiden.

Dit heet de **empirische kans**: de kans op waarneming gebaseerd

### Voorwaardelijke kans
= kans die aan een voorwaarde voldoet
![](https://i.imgur.com/ND9qt7H.png =300x)

Bereken exact de kans dat een willekeurig gekozen …
- ... leerling één sport
    P(leerling één sport beoefent)? $\frac{39}{71}$
- ... leerling een jongen is en niet sport?
    P(leerling is een jongen en niet sport)?  $\frac{5}{71}$
- ... meisje méér dan één sport beoefent?
    P(meisje boefent méér dan één sport)?  $\frac{7}{32}$
- ... niet sportende leerling een jongen is?
    P(niet sportende leerling is een jongen)?  $\frac{5}{13}$
- ... meisje aan sport
    P(meisje doet aan sport)? $\frac {17+7}{32}=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}$


De kans dat B onder de voorwaarde van A gebeurt:
$$P(B|A) = \frac{P(A∩B)}{P(A)}=\frac{P(AB)}{P(A)}$$
Indien alle elementen in A en B evenwaardig zijn:
$$P(B|A) = \frac{P(A∩B)}{P(A)}=\frac{\#(A∩B)}{\#(A)}$$

Ook hier kan de productregel toegepast worden:
De kans dat A en B samen voorkomen
= kans op B onder voorwaarde van A * kans op A
= kans op A onder voorwaarde van B * kans op B

### Onafhankelijke gebeurtenissen

# Labo