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title: 高斯定律
tags: [物理補強]
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tags: 物理補強
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# 高斯定律
* **為何均勻導體內電場為零？**
> 1. **均勻導體內部的電場與靜電力**
> 2. **任意形狀之導體電場（法拉第電籠又稱屏蔽效應）**
> 3. **補充：摩擦起電與自由電子**
* **小考第五題：電荷與帶電球體對外界電場的影響**
* **高斯定律的電場應用**
> 1. **無限長直線**
> 2. **無限延伸面**
> 3. **無限延伸之圓柱體**
> 4. **高斯定律總結**
## 為何均勻導體內電場為零？
從附圖中會發現，球體內並沒有電場與庫倫靜電力，而球外符合平方反比定律。
**此時我們要探討的是：為什麼球內沒有電場？以及為什麼沒有庫倫靜電力？**
### 均勻導體內部的電場與靜電力
在圓內任取一點A：
\begin{aligned}
F_{ABC}&=\frac{KQ_{ABC}Q_{A}}{R_1^2}=BC對A產生的力\\
F_{ADE}&=\frac{KQ_{ADE}Q_{A}}{R_2^2}=DE對A產生的力\\\\
\because &均勻球體內部，每一點的電量皆相同\\\\
&dQ\propto area\propto r^2\\\\
&\frac{area_{ABC}}{R_1^2}=\frac{area_{ADE}}{R_2^2}\\\\
&\Rightarrow F_{ABC}=F_{ADE}\\
\\
&如果將圓剖分成無限分，則每一點都力皆為0。\\
&同樣道理推廣到電場，每一點的電場也皆為0。
\end{aligned}
### 任意形狀之導體電場（法拉第電籠又稱屏蔽效應）
假設有一方向的外部電場，導體內的電子會受到庫倫靜電力影響，向電場來源移動。
因為質子不會移動，會使得電場來源側有較多電子聚集，此時內部不再是均勻分布進而產生內部的電場。
由於內部電場與外部電場的方向正好相反，於是互相抵銷的結果就是：
> 任意封閉導體內，電場必為零。
此外，如果外部沒有電場，那麼電子就不會移動（這裡不考慮量子力學的其他效應），內部均勻分布，也就沒有電場的產生。
重要條件：封閉、均勻且是導體（代表內部的電子屬於自由電子，可以任意移動）。
而自由電子的想法，跟摩擦起電又有些許不同。
### 補充：摩擦起電與自由電子
簡單來說是透過摩擦的動作，讓兩物體之間的電子發生轉移，進而使某一物體產生電。
原因正是物體間，對電子的吸引力不同，讓電子發生轉移。
選擇絕緣體正是因為，上面的電子非自由電子，摩擦後會停留在物體上，而非導體的電子會快速移動，使物體帶異電。
## 小考第五題：電荷與帶電球體對外界電場的影響
根據[殼層定理](https://zh.m.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AE%BC%E5%B1%A4%E5%AE%9A%E7%90%86)，可以得知：
> 實心球對外部物體的重力貢獻如同將所有質量集中於球心。
同理也適用於均勻帶電球體所貢獻的電場（與補強提及的平方反比律有關）。
簡單來說：球體的重力可以用質心來代替計算。
而均勻球體的電場也可以用中心來計算。
將導電球體視為點電荷：
$\vec{E}=\frac{k_eq}{r^2}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$
==$E\propto\frac{1}{r^2}$==
\begin{aligned}
&\because 2R = 4R \times \frac{1}{2}\\
\\&when\ \ r = 4R,\\
&\Rightarrow \vert{E}\vert = 1400\times (\frac{1}{2})^2 = 350\frac{N}{C}
\end{aligned}
## 高斯定律的電場應用
\begin{aligned}
\Phi_E&=\vec{E}\cdot{A}=\oint_E\vec{E}\cdot{d\vec{A}}=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}
\end{aligned}
### 無限長直線
\begin{aligned}
縱向看能看出&2\pi r的圓周，即為高斯封閉曲面。\\
透過高斯定律&來計算電場：\\
\Phi_E &= \vec{E}\times 2\pi rh=\frac{\lambda h}{\varepsilon_0}\\
\vec{E}&=\frac{\lambda}{2\pi r\varepsilon_0}\\
\end{aligned}
### 無限延伸面
假設有一圓柱面，因電場只由兩面射出並具有對稱性，
所以只要計算兩面所具有的電通量，就能透過高斯定律計算電場。
\begin{aligned}
\because 電場&有兩個方向的面\\
\Phi_E &= 2\vec{E}A = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}\\\\
\because 面電&荷密度δ×面積\pi r^2=這個面的電量Q_{enc}\\
&\Rightarrow 2\vec{E}=\frac{δ\cdot\pi r^2}{\pi r^2\varepsilon_0}\\
&\Rightarrow \vec{E}=\frac{δ}{2\varepsilon_0}
\end{aligned}
註：不管怎麼假設都沒問題，因任意面皆會在算式中被消除，這裡只是舉一個相較好理解的例子。
### 無限延伸之圓柱體
\begin{aligned}
\because 電場&有圓柱面\\
\Phi_E &= \vec{E}\times 2\pi rh = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}\\\\
\because 圓柱體電&荷密度\rho×體積\pi a^2h=這個圓柱體的電量Q_{enc}\\
\Phi_E &= \vec{E}\times 2\pi rh=\frac{\rho\cdot\pi a^2h}{\varepsilon_0}\\
\vec{E}&=\frac{a^2\rho}{2 r\varepsilon_0}\\
\end{aligned}
### 高斯定律總結
\begin{aligned}
\Phi_E&=\vec{E}\cdot{A}=\oint_E\vec{E}\cdot{d\vec{A}}=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}
\end{aligned}
| 電場形式 | $\vec{E}$ | 註解 |
| -------- | -------- | -------- |
| 點電荷 | $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$ | |
| 導電球 | $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$ | [殼層定理](https://zh.m.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AE%BC%E5%B1%A4%E5%AE%9A%E7%90%86) |
| 無限長直線 | $\frac{\lambda}{2\pi r\varepsilon_0}$ | $\lambda$ 線電荷密度 |
| 無限延伸面 | $\frac{δ}{2\varepsilon_0}$ | δ 面電荷密度 |
| 無限延伸圓柱體 | $\frac{a^2\rho}{2 r\varepsilon_0}$ | $\rho$ 圓柱體電荷密度 |
## 參考資料
https://hackmd.io/@yizhewang/SJHCp1OR7?type=view
https://zh.m.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AE%BC%E5%B1%A4%E5%AE%9A%E7%90%86
http://www.e-physics.net/Download/newchap17a.pdf
http://140.130.15.232/student/file/%E9%9B%BB%E7%A3%81%E5%AD%B8/02%E9%AB%98%E6%96%AF%E5%AE%9A%E5%BE%8B.pdf