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# System prepended metadata

title: 學測數學解題技巧整理
tags: [math]

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每個主題皆為適合已經把對應主題所有基本觀念複習完畢的人使用  
注意：這裡不會證明公式，也不會證明定理，所以要先把公式和定理了解後，看了才會更有幫助。  
也可以先看之後，看看自己有哪裡不懂，再去複習一次  
只要把這些讀到精熟，高三上就可以直接準備刷題了  






## 基本邏輯

* 若$p$則$q$成立不代表若$q$則$p$也成立，成立時$p,q$互為充要條件
* 「有一$\dots$」的否定敘述為「每一個都不$\dots$」
* 「每一個都$\dots$」的否定敘述為「有一個不$\dots$」
* 判斷充分與必要條件：畫圖

若$p$則$q$成立：  
![](https://hackmd.io/_uploads/S1v037gPn.png =50%x)  
當$p,q$互為充要條件，則表示$p$集合等同$q$集合  

## 集合

* $A$集合的子集合個數$2^{|A|}$，$|A|$表示$A$集合的元素個數
* 若已知$|A|+|B|$，當$|A\cap B|$有最小，則$|A\cup B|$有最大



## 數論

整數可拆成兩整數相加或相乘  
($10=2+8=2\times5$)  
($k,m,n\in\mathbb{N},2n+1=2k+m$)(奇數可拆成偶數+奇數)  

在一封閉範圍內其整數解個數可數  
比如：$|ax-3|\le3$的整數解有$6$個且$a>0$，求$a$範圍？  

:::spoiler 解
$-3\le ax-3\le3$  
$0\le ax\le6$  
因為$a>0$，所以
$5<\dfrac{6}{a}-0+1\le6$  
$4<\dfrac{6}{a}\le5
\\\implies 4a<6 \land 5a\ge 6
\\\therefore \dfrac{6}{5}\le a<\dfrac{3}{2}$
:::

「求某方程式整數解」$\implies\begin{cases}將方程式整理成分數形式，分子必為分母的倍數\\若為多項式\to利用一次因式檢驗法\\畫圖解\end{cases}$

比如：$3^n>2000$或是$\dfrac{1}{5^n}<3\times10^{-5}$求$n$的最小正整數值  
$\implies$兩邊同取$\log$估計

估計技巧：利用信賴區間，在某值$\pm 5\%$的範圍皆可近似  
近似時想辦法讓分子分母有公因數可以約分，剩下的再長除法  
最後選答案的時候要知道「分母越大其值越小」和其他之類的原則，看你高估或低估，選個比較靠近的答案。

判別某數是否為有理數$\implies$$\begin{cases}有理數可寫成兩整數相除\\有理數對於加減乘除具有封閉性\end{cases}$

分點公式$\vec{AP}=\dfrac{m\vec{AB}+n\vec{AC}}{m+n}$

交叉乘，係數和為$1$，某項是負數則為外分點

無理數$\begin{cases}不能寫成兩整數相除\\超越函數之函數值\log{3},\sin{3}\\\pi,\sqrt{2}\end{cases}$

算幾不等式：
已知積求和最小   
已知和求積最大  
(變數幾方就分幾分)(高次算幾)  
要檢驗等號成立時是否合理  

乘法公式：請背到$n$次的一般式，不然上大學會死  
[數與式 \- HackMD](https://hackmd.io/1_QIBgY-QLmj-gTZ8R3Ieg?view#%E5%BC%8F)



絕對值：$\begin{cases}去絕對值\implies平方，正負討論\\畫絕對值\implies\cases{一次時描折點\\正負討論\\對稱\\倒影}\end{cases}$

$f(x)=b_0|x-a_0|+b_1|x-a_1|+b_2|x-a_2|+\dots+b_n|x-a_n|$  
$f(x)$具有最小值$\implies$$x$在$\underbrace{a_0,a_0,\dots,a_0}_{b_0個},\underbrace{a_1,a_1,\dots,a_1}_{b_1個}\dots$的中位數時  


出現若$b$是正數$a$的小數部分...此種題型，立即將以下條件列出：  
$0<b<1$且$0<b^n<1$且$a-b$是正整數。


根號：$\begin{cases}平方\implies\cases{裡面平方(雙重根號)\\外面平方}\\有理化\implies分母有理化或分子有理化(後者在算極限時會遇到)\end{cases}$



## 數列與級數

### 求數列一般項

* 等差就是一次式$a_n=pn+q$，可利用等差中項解題
* 等比就是指數函數$a_n=r^n$，可利用等比中項解題
* 找規律$\implies$念念看(用眼睛)，減減看(前後項相減可能是定值或是前後項的差是等差)
* 高階差數列：$k$階差就是$k$次式，一階差就是等差
* 給遞迴定義式：$\begin{cases}令b_n=a_{n}-a_{n-1}(加法對消式)，此時b_n可以求和(有公式)，則可得a_{n}一般項\\令a_n-\alpha=\beta(a_{n-1}-\alpha)，由首項開始列之，乘在一起相消，則可得a_{n}一般項(乘法對消式)\\列列看找循環\end{cases}$

### 求和

* 背公式
* 對消$\begin{cases}分式型：分項對消\\根式型：有理化\\差比級數：利用S-rS，k階差比級數就做k次S-rS\end{cases}$



## 函數

### 概論

* 根：代入為0，存在因式，根與係數
* 方程式就是聯立式，畫圖找交點；不等式也是聯立式，畫圖比高低
* 求$y$範圍($值域$)$\implies$圖形與$y=k$有交點的水平線範圍(一元二次判別式法)
* 求極值$\begin{cases}一元二次配方法\\一元二次判別式法\\算幾\\柯西\\畫圖\\參數\\微分\\疊合\implies確定自變數相同，找\theta範圍，有範圍時畫圖切斷\end{cases}$

### 多項式函數


* 最重要的是次數和係數，已知次數設一般式，未知次數先依條件解$n$
* $f(0)$就是常數項($f'(0)$是一次項)

:::spoiler k次項係數
定義$f^{(k)}(x)$是$f(x)$的$k$階導函數，則$\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}$是$f(x)$的$k$次項係數
:::

* 因式定理
    * 關鍵字為「整除」，「是方程式的根」，立即設$f(x)=(x-a)q(x)$

比如：$若x^2-3x+2$整除三次實係數多項式$f(x)=ax^3+x^2+7x+b$
求$a,b=?$  
(之所以把$a,b$擺在首項係數與末項係數，是為了不讓有些偷學一次因式檢驗法的人偷吃步)
:::spoiler 解
法一：因為已知$f(x)$的係數，可以直接用長除法，再利用餘式為$0$的條件解$a,b$，但如果這時候$f(x)$是高次就很慢(比如變成$f(x)=ax^{10}+x^5+4x^3+7x+b$)  
法二：  
$\because x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$且整除$f(x)$  
$\therefore f(x)=a(x-\alpha)(x-2)(x-1)$，$\alpha$是實數  
$\implies f(2)=f(1)=0$  
$\implies\begin{cases}8a+4+14+b=0\\a+1+7+b=0\end{cases}$  
可解$a,b$  
:::


* 餘式定理
    * $f(a)$等同給$f(x)$除以$x-a$的餘式
    * 求$f(x)$除以$(x-a)^n$的餘式$\implies$$f(x)$化為$x-a$的泰勒展開
    * 求$f(a)$，$a$很醜時(比如$3+\sqrt{2}$)$\implies$令除式為$0$，太煩時找倍式(令$x-3=\sqrt{2}$，則$(x-3)^2=2$，化泰勒展開得到餘式，再代入)
    * 牛頓插值法$f(x)=(x-a)(x-b)q(x)+t(x-a)(x-b)+k(x-a)+r$
* 根與係數(二次函數)
    * 因為有和，有乘積，所以可以搭配考算幾
    * $\tan{(\alpha+\beta)}=\dfrac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}$也有和，有乘積，可以搭配根與係數考
* 首項係數決定圖形趨勢，最高次方為奇數時反向，偶數時同向
* 求近似值：先找最靠近題目給的$x=?$(比如題目給$x=0.39$就找$x=4$)做泰勒展開，看四捨五入至小數第幾位，太高次方就不需考慮。

### 二次函數
$f(x)=ax^2+bx+c$

* 先看開口方向
* 給頂點設$f(x)=a(x-h)^2+k$，依條件解聯立
* 恆正或恆負$\iff$判別式$\Delta<0$

### 三次函數

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

* 先看趨勢
* 對稱中心之$x$座標為$\dfrac{-b}{3a}$
* 若給$f(x)=a(x-h)^3+p(x-h)+k$(缺平方項)，則表示$(h,k)$是對稱中心(因為$(x-h)^3$、$(x-h)$和常數函數都是奇函數)
所以若有平方項，寫成$f(x)=a(x-h)^3+p(x-h)^2+q(x-h)+k,p\not=0$不要上當
* 判別式$\Delta=b^2-3ac$，可判別圖形有幾個極值
    * $\Delta>0$，圖形有兩個極值
    * $\Delta=0$，即表示$f(x)=a(x-h)^3+k$(完全立方式的上下平移)，圖形沒有極值
    * $\Delta<0$，表示$f(x)=a(x-h)^3+p(x-h)+k$，圖形沒有極值
* 在$x=a$處的一次近似即為$f'(a)(x-a)+f(a)$，或求$f(x)$在$x=a$處的泰勒展開式，取到一次式

### 多項式函數求根法

(前兩個沒教)

1. 一次因式檢驗法
2. 勘根定理
3. 公式解(二次)

> 多項式函數解題小提醒：如果不會就微分吧  
> 多項式微分沒有那麼難，只要掌握$(cx^{n})'=ncx^{n-1}$與微分加減可分開就可以了。  
> 導數的幾何意義是在求某點切線斜率，所以可以搭配圖形來看。  
> 真的不會微分的話就把上面的方法記熟吧。

### 三角函數

* 先看次數，再看角度，化成同種函數
    * 同角度時疊合
    * 升高次數縮小角度(例如$\sqrt{1+\cos{x}}=\sqrt{2}|\cos{\dfrac{x}{2}}|$)
    * 降低次數放大角度(例如$\sin^2{x}=\dfrac{1-\cos{2x}}{2}$)
    * 若令$t=\sin{x}+\cos{x}$，則可得$\dfrac{t^2-1}{2}=\sin{x}\cos{x}$，先求極值，再依$t$範圍畫圖切斷
* 看到$\cos{\theta}\cos{2\theta}\cos{4\theta}\dots$$\implies$一乘一除$\sin{\theta}$造成倍角公式連鎖
* 畫圖求解時，先找極大值，往回推$\dfrac{1}{4}$週期，往前推$\dfrac{3}{4}$週期
* 疊合時可直接疊成$\sin$和角、差角或$\cos$和角、差角
* $\theta$沒範圍時在解$\theta$需考慮同界角

### 指對數函數

* (指數函數)給多個圖形，問對應底數大小(在漸進線是$y=0$的情況下)$\implies$畫$x=1$比高低
* (對數函數)在漸進線是$x=0$的情況下畫$y=1$
* 解指數方程式$\begin{cases}化為同底\\化為同次\\取\log(強迫化為同底)\\代換法，注意變數範圍，有範圍時畫圖切斷\end{cases}$
* 凹口向上可以改成問分點公式版本($\dfrac{mf(x_1)+nf(x_2)}{m+n}>f(\dfrac{mx_1+nx_2}{m+n})$)(又稱琴生不等式)，因為不是高等微積分，不用嚴格代數證明，所以可以直接畫圖解釋。
* 看到$\dfrac{a^x\pm a^{-x}}{a^x\mp a^{-x}}$$\implies$上下同乘$a^x$
* $a^x=10^{x\log{a}}$(學微積分時直接化成$a^x=e^{x\ln{a}}$)
* 科學記號表示法：利用估計與題本後面給的參考值
* 對數律：同底時，對數相加減，真數相乘除
* 換底公式：強迫化為同底，且可推論$\log_{a}b=\dfrac{1}{\log_{b}a}\qquad$(111學測)
* 不會時嘗試化為指數再解
* 搭配底數大於$0$與不等於$1$的條件可以考某些不等式範圍的解
* 真數必大於$0$，故$\log{x^{2n}}=2n\log{|x|},n\in\mathbb{N}$
* $\log_{a}x$是$a^x$的反函數，故兩者圖形對稱於$y=x$，可利用此性質解題
* 解對數方程式基本和解指數方程式相同
* 看到很多$\log$相加$\implies$化同底對消化簡


### 函數圖形問題

* 平移：向正向平移用減的
    * 多項式平移即泰勒展開，綜合除法連續除或直接微分
    * 指對數的平移相當於伸縮某些倍數
    * 三角函數平移不影響週期，但若搭配絕對值則需畫圖觀察
* 伸縮：伸縮$k$倍除以$k$

以下三個個人認為學測不太考，但還是有可能會出現
(非選題引導式之類的奇怪題目)

* 對稱：關於誰$=0$對稱就誰變號，或設動點$P$關於某直線對稱(背對稱點公式)，或使用鏡射矩陣(先平移到使得直線過原點，鏡射完後再平移回去)
    (第一個是學測可能出現的，後兩個基本上是競賽考題才會有)
* 絕對值：對稱或倒影
* 旋轉：設動點$P(x,y)$，用旋轉矩陣求出$P'(x',y')$，新舊關係代回已知
    (白話來說是把$x',y'$用$ax+b,cy+d$表示代回去原本的方程式)

給一函數$y=af(bx+c)+d$，問他是如何由$y=f(x)$做了以上四個動作得來的  
順序：  
先看伸縮量，化成$(y-d)=af(b(x+h))$  
再看平移量，最後如果有絕對值則畫圖，由正區向負區倒影  

:::spoiler 一些綜合以上各種變換的範例，沒時間可不用研讀

比如：作$y=|3\sin{(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3})}+1|$之圖
> 有時候題目會直接問週期  
> 有人會因為看到$\dfrac{x}{2}$，所以週期先變成$4\pi$，又有絕對值，週期變回$2\pi$，就直接選了$2\pi$  
> 但是忘了有個向上平移，所以折的時候不是從平衡點折，造成不完整重現，所以週期還是$4\pi$

先化成$y=|3\sin{(\dfrac{1}{2}(x-\dfrac{2\pi}{3}))}+1|$  
先畫絕對值內，再把$y$的負區折回正區

比如：問$y=|\sin{x}|+|\cos{x}|$之週期？  
先畫$|\sin{x}|$再畫$|\cos{x}|$，再相加  
兩個函數各自最高點距離最小值即為週期  

:::


## 排列組合

四大方法
* 樹狀圖(條件多，沒規則)
* 聯集法(看到「二、三條件」，含關鍵字「或、且」)
* 加法原理(事件互斥時相加)
* 乘法原理(有順序)


--- 
* 排列：有順序之分，等同先組合再乘以對調數
* 組合：無順序
---

* 不盡相異物的直線排列$\implies$除掉同物對調數
* 重複排列(每個人有幾種選擇)$\implies$誰是主動就放指數
* 重複組合(多種物選幾個)$\implies$討論異同
* 分組(組表示不同組有差)$\implies$先決定人數，分好組後依組數對調
* 分堆(堆表示不同堆沒差)$\implies$不用組數對調
* 塗色問題$\implies$先決定順序，不要跳著塗，再討論異同
* 二項式定理$\begin{cases}係數和\implies f(1)\\高次時的化簡工具\\係數問題：\binom{n}{k}乘以前項n-k次後項k次\end{cases}$
* 看到一串$C$相加：巴斯卡和二項式，用剩餘定理化簡，搭配求和技巧
---
* 骰子問題：擲兩次畫棋盤方格，二次以上時討論
* 只要順序固定，則視為同物
* 不相鄰問題$\implies$先排椅子人再入座
* 不好做時設非集合，用全部扣不合。如何判別好不好做？和自己相反的集合比看看
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討論的原則
* 先列出條件
* 一個一個照順序討論
* 思考有沒有可能重複$\implies$多的扣掉

## 機率

機率就是所要可能除以所有可能

條件機率就是縮小樣本空間，在$B$事件發生的情況下，$A$事件再發生的機率是$P(A\mid B)$

$A,B$事件為獨立$\iff$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$(且變乘)

貝氏定理  
畫方格找所有，找所要，記得乘倍率

機率必定介於0和1之間，如果在算的過程中發現可能不在這區間就馬上停下來

期望值：$\sum$(值$\times$機率)

## 數據分析

* 標準差有${\mu_x}^2$，有$\sum{x_{i}}^2$，可用來代換求值
* 看到回歸直線斜率$\implies r\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}$已知，可用來比較${\sigma_y},{\sigma_x}$大小關係。
* 求平均數可平移後再求，求標準差可乘以倍數後最後再除回來


## 幾何

### 三角幾何

* $\sin{\theta}\pm\cos{\theta}=k\implies$平方關係化簡
* $36^{\circ}-72^{\circ}-72^{\circ}$等腰三角形有黃金比例
* 兩角互補$\implies$(餘弦)=-(餘弦)
* 角多時用正弦，邊多時用餘弦
* 外接圓半徑用正弦或面積，內接圓半徑用面積
* 直角三角形的外心在斜邊中點上$\implies$直角的頂點作中線到斜邊上，中線長為$\dfrac{斜邊}{2}$
* 公共邊和面積公式可用來代換

### 向量幾何

* 組合向量$\begin{cases}三點共線交叉乘，係數和為1\\孟氏帥氏找比例\\斜坐標系找座標\\垂心外心利用內積解聯立\end{cases}$
* 四點共面係數和為$1$
* 面積比問題可使用兩向量並列與行列式性質化成大三角形面積的倍數去比較
* 向量長度平方=本身內積
* 外積長是面積，是平面的法向量
* 柯西不等式$\implies$先畫格子，已知平方和求乘積和最大，已知乘積和求平方和最小
* 題目給的向量不好做時可以拆解成兩個好做的向量相加減
* 等式兩邊可關於某向量做內積(垂心外心求法)
* 線性組合的終點圖形：畫斜坐標系，就是某些倍數的原本平行四邊形面積
* 求長度，面積，體積的最大最小通常都與垂直、平行有關，可以直接猜$\cos{\theta}=0$或$\sin{\theta}=0$

### 解析幾何

* 求軌跡，設動點，依條件，寫出來
* 平面上直線方程式的工具使用時機$\begin{cases}點斜式\implies已知一點\\斜截式\implies已知斜率\\參數式\implies想化成一個變數觀察\\截距式\implies與座標軸相交相圍時\\一般式\implies判別資訊用\\組合式(線性組合)\implies過兩線交點設組合式，代點解k(可用於求角平分線方程式)\end{cases}$
* 線圓關係：用點線距離公式判別，若給弦長則利用點線距離公式求半徑，也可用半徑與弦長求方程式
* 空間中的平面方程式$\begin{cases}標準式\implies有一點一法向量(簡稱已知答案)\\一般式\implies有法向量，再找一點\\截距式\implies與三座標軸相交相圍時(可用柯西求出與x=0,y=0,z=0所圍的四面體體積或三角形面積最大最小)\end{cases}$
* 空間中的直線方程式使用時機$\begin{cases}參數式\implies需要動點P來跟別人連成向量\\比例式\implies判別資訊用，記得化簡\\兩面式\implies外積得線向量\\(因為隨便一直線不可能與三平面(x=0,y=0,z=0)同時無交點\\所以用兩面式隨便和這三個其中一個解聯立即可得一交點)\end{cases}$
* 圓方程式$\begin{cases}標準式\implies已知答案\\一般式\implies看資訊用(先配方化簡)\\參數式\implies求\text{xx}點，搭配三角函數疊合或代換法之類的可求最大最小\end{cases}$

### 三角形四心

重心$G$：$\dfrac{座標和}{3}$，分割面積相同，$2:1$  
內心$I$：內分比，加權平均，面積比是底邊比  
外心$K$(為了不和原點搞混)：到三頂點等距  
垂心$H$：三高倒數比是邊長比  
等腰三角形四心共線  
正三角形四心共點  
任意三角形垂心重心外心共線，此線為尤拉線，且 $\overline{GK}:\overline{GH}=1:2$  



### 幾何總結

拿到幾何題目，先問有無坐標系，再問幾維  
沒坐標系$\implies$三角幾何或向量幾何  
有坐標系$\implies$向量幾何或解析幾何，但有可能可以直接用三角幾何  

求平行線間距離  
二維時：$\dfrac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$   
三維時：兩線上隨便各找一點$P,Q$(剛好找到和線向量垂直算你狠)，拿線向量和$\vec{PQ}$外積，外積長除以線向量長就是平行四邊形的高，就是平行線距

求公垂線段長  
法一：先找一面包含一線(拿線向量外積當法向量，線上一點當一點)，再另一線上找一點$Q$做點面距離  
法二：先在$L_1$和$L_2$上各找一點$P,Q$   
則公垂線段長為$\vec{PQ}$在$\vec{l_1}\times\vec{l_2}$上的正射影長

求公垂線方程式  
先在$L_1$和$L_2$上各找一點$P,Q$，設參數式，依條件$\vec{PQ}_{//}\vec{l_1}\times\vec{l_2}$解聯立方程式  

求對稱線方程式(平面上某線關於另一線對稱，或空間中某線關於某平面對稱)  
直接以參數式代進對稱點公式

求角平分線方程式  
二維時：
法一：設參數式，依點線距相等的條件解出兩個解  
法二：設組合式(線性組合)，找線向量長度交叉乘方程式$|\vec{l_2}|(l_1)+|\vec{l_1}|(l_2)=0$  
三維時：找兩個單位向量相加減，銳角平分向量較長，再由交點伸縮線向量$t$倍

求角平分面方程式  
跟二維線一樣，但線向量改成法向量  

求對稱面方程式  
($E$關於$F$對稱)  
先假設$E+kF=0$($E,F$表示方程式)，將$E$上一點$P$關於$F$對稱再代回組合式(線性組合)解k



求各種幾何量：

* 求長度$\begin{cases}畢氏\\餘弦\\和向量內積(長度平方=本身內積)\\定積分(求弧長)\end{cases}$
* 求夾角$\begin{cases}餘弦\\內積\\\tan{\theta}(斜率)\end{cases}$
* 求面積$\begin{cases}三角形七面積公式\\切割，全部扣掉多算\\外積長\\定積分\end{cases}$
* 求體積$\begin{cases}三階行列式\\三重積\\背公式\\旋轉體積分\\重積分\end{cases}$


以下列出各種關係，可以自我檢驗是否都已經懂了

檢驗方法大致如下：
1. 先問自己知不知道這個詞的定義(每種情況都要分得清楚，例如四點不共線一定代表所圍成四面體體積不為$0$嗎？)
2. 可以用哪些角度切入思考(三角，向量，解析幾何分別可以怎麼考)
3. 可以嘗試自己出個題目，檢驗自己會不會做
4. 跟同學討論還可以怎麼出，或是找老師討論也可以
5. 別忘了和函數，數列級數，數論，排列組合一起思考

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* 兩點關係：距離，連線方程式
* 三點關係：共線，不共線，所圍成三角形面積
* 四點關係：共面，共線，不共面，不共線，所圍成四面體體積
* 點線關係：距離，在線上，投影點，對稱點(先問自己維度？平面上的直線？空間中的直線？)
* 點面關係：距離，在面上，投影點，對稱點
* 線線關係：平行，重合，相交一點，歪斜，角平分線方程式，對稱線方程式
* 線面關係：垂直，交一點，平行，線在面上，投影線，對稱線
* 面面關係：垂直，交一點，平行，重合，角平分面方程式，對稱面方程式
* 三面關係：克拉瑪法則

其他雜例
* 求兩面角：先找過交線的垂線，再餘弦，或法向量內積
* 求兩線夾角：先問維度，$\begin{cases}二維時\tan差角\\三維時再問相交情況，恰交一點才有夾角，再用線向量內積\end{cases}$
* 求線面角：線向量和法向量夾角的餘角，所以是$\cos{\theta}=\dfrac{|\vec{l}\times\vec{n}|}{|\vec{l}||\vec{n}|}$
* 求某線和圓有幾個交點：看圓心和線的距離
* 求圓上到線的距離小於$d$，且距離為整數的點有幾個：在一封閉範圍內其整數解個數可數
* 求過圓外一點對圓做切線：設(斜率)得(點斜式)代(點到圓心距離=半徑)解完，或背$m$切公式
* 平面上，線(可以是各種函數的曲線，但只會問第一種)上有一點$P$，線外相異兩點$A,B$，求$\begin{cases}\overline{PA}+\overline{PB}之max\implies造成異側再連線\\|\overline{PA}-\overline{PB}|之min\implies造成同側再連線\\\overline{PA}^2+\overline{PB}^2之min\implies找中點投影到線上\end{cases}$
* 求投影線：拿參數式投影
* 投影面積：乘以$\cos{\theta}$

各種體
* 正四面體(邊長$a$)$\begin{cases}兩面角\cos{\theta}=\dfrac{1}{3}\\高\dfrac{\sqrt{6}}{3}a\\體積\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3\end{cases}$
* 錐體體積$\dfrac{1}{3}Ah$，$A$是底面積，$h$是錐體的高
* 平行六面體體積$|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|=6\times四面體體積$
* 球體體積$\dfrac{4}{3}\pi r^3$
* 旋轉體體積$\pi|\displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2dx|$

## 一次線性方程組討論

* 二三維時可就其幾何意義探討
* 方程組無解或無限多組解$\iff\Delta=0$
* 若題目給方程組，也給了其中一解，先把解代入再觀察
* 給方程組及其解，係數皆未知，求另一組方程組的解為何
    * 法一：克拉瑪，利用行列式性質
    * 法二：矩陣線性變換，用反方陣
* 討論其解時，要將所有可能發生的情況一一列出，並說明要發生這個情況需要滿足的條件

## 矩陣與行列式

* 矩陣沒有乘法公式(因其乘法無交換律)，若其有乘法公式，比如$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$，則表示$AB=BA$
* 求反方陣：將方陣右邊多寫出一個同階的單位方陣變為增廣矩陣，再用列運算使得左邊變為單位矩陣，二階時主對角線對調逆對角線變號，除以行列式值
* 小提醒$\det(A_0A_1A_2\dots A_n)=\det(A_0)\det(A_1)\dots\det(A_n)$
* 由樓上可得$\det(A^n)=\det(A)^n$，$\det(A^{n})=0\iff\det(A)=0$

線性變換矩陣的關鍵判別法  
(二維時)
* 伸縮矩陣：逆對角線為$0$
* 推移矩陣：主對角線皆為$1$，逆對角線一個是$0$另一個不為$0$
* 旋轉矩陣(可能乘以倍數)：主對角線同號，逆對角線異號，且第一(二)列兩元平方和是行列式值平方
* 鏡射矩陣(可能乘以倍數)：主對角線異號，逆對角線同號，且第一(二)列兩元平方和是行列式值平方
* 鏡射矩陣的偶數次方是單位方陣，奇數次方是自己
* 旋轉矩陣$n$次方等同旋轉$n$倍角
* 某封閉圖形經過線性變換的面積變化倍率即為線性變換矩陣之行列式值的絕對值
* 看到矩陣高次$\implies$想到利用循環關係化簡，或是搭配數列級數一般項求法
* 轉移矩陣：每行之元的和為$1$，兩轉移矩陣相乘為轉移矩陣，$n$個轉移矩陣相加再除以$n$也是轉移矩陣
* 行列式求值時盡量化簡，產生出越多$0$越好算