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# System prepended metadata

title: 極限(Limits)

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#   極限(Limits)

# 1-1 何謂極限 

# 變化率

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***定義***  $\ y=f(x)$ 在 $x\in[a_1,a_2]$上的平均變化率(average rate of change)為$\dfrac{\Delta{x}}{\Delta{y}}= \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\dfrac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}$ ，$h=x_2-x_1$
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![](https://hackmd.io/_uploads/HJ2E-pxUn.png)

# 極限的直觀定義
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***Def:*** (直觀) $\lim \limits_{h \to 0}$
$f(x) = L$ 表示: 當 $x$ 很靠近 $a$ 時, $f(x)$ 很靠近 $L$, 而且要有多接近, 就有 多接近。 我們稱 $f(x)$ 在 $x = a$ 的極限 (limit) 為 $L$。
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# 極限的四則運算

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***定理***: 若存在$\lim \limits_{x \to a}f(x)=L且\lim \limits_{x \to a}g(x)=M$則:
    • $\lim \limits_{x \to a}cf(x)=c\lim \limits_{x \to a}f(x)$
    • $\lim \limits_{x \to a}f(x)\pm g(x)=\lim \limits_{x \to a}f(x)\pm g(x)$
    • $\lim  \limits_{x \to a}f(x) g(x)=\lim \limits_{x \to a}f(x)*\lim \limits_{x \to a}g(x)$
    • $\lim \limits_{x \to a}\frac {f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \to a}f(x)\div\lim \limits_{x \to a}g(x)$
    
    
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# 極限的種類
### (一)單側極限 $\lim \limits_{x \to a^+}$
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**例 1.1.1**$\lim \limits_{x \to a}$
### (二)無窮極限 $\lim \limits_{x \to a}$
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**例 1.1.1**$\lim \limits_{x \to a}$
### (三)在無窮遠的極限 $\lim \limits_{x \to \infty}$
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**例 1.1.1**$\lim \limits_{x \to \infty}$
# 極限不存在
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我們在求一個函數在某個點的極限時，可能會遇到幾種狀況，使得我們找不出此點的極限值。我們則稱此極限***不存在***
## 連續性

(1) ***可除性不連續 (removable discontinuity)***, 可重新定義 f(x) 在不連續點之值, 以去除此點之不連續性,
![](https://hackmd.io/_uploads/S1eHqHPv3.png =80%x)

ex:
(2) 跳動性不連續 (jump discontinuity),
![](https://hackmd.io/_uploads/S1prcrDP3.png =80%x)

ex:
(3) 無限不連續 (infinite discontinuity),
![](https://hackmd.io/_uploads/Hy7PcBvP2.png =80%x)
ex:

(4) 振盪不連續 (oscilating discontinuity)。
![](https://hackmd.io/_uploads/S10w9HvP3.png =80%x)

ex:




# 1-2 極限的定義 The  Definition of a Limit
## 符號的意義

## 極限的嚴格定義
**定義1.2.1**

![](https://hackmd.io/_uploads/BykJ_CgLn.png)
![](https://hackmd.io/_uploads/ry7v5AgL3.png)

**例 1.1.**      **證明$\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{1}{x}=0$**
(圖)
**例 1.1.** **證明$\lim \limits_{x \to 5}\sqrt{x-1}=2$**
![](https://hackmd.io/_uploads/BkWk6y-Lh.jpg)

**例 1.1.** **證明$\lim \limits_{x \to 3}(4x-5)=7$**
![](https://hackmd.io/_uploads/ry4MVQELh.png)


**例 1.1.** **證明$\lim \limits_{x \to 3}x^2=0$**
![](https://hackmd.io/_uploads/SJhfVmNUn.png)


**例 1.1.** **證明$\lim \limits_{x \to 5}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{5}$**
![](https://hackmd.io/_uploads/HyXQ4mVUh.png)


**例題1.1.** **證明$\lim \limits_{x \to 5}\sqrt{x-1}=2$**

![](https://hackmd.io/_uploads/r16vN74U3.png)


## 無窮遠極限的定義
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![](https://hackmd.io/_uploads/SyhNCAlLn.png)
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**例 1.1.** **證明$\lim \limits_{x \to \infty}\dfrac{1}{x}=0$**

![](https://hackmd.io/_uploads/SkPuNQVIn.png)

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::: warning
![](https://hackmd.io/_uploads/Bk7zlyW8h.png)

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**例 1.1.** **證明(a)$\lim \limits_{x \to \infty}\dfrac{1}{x}=0$**
**(b)$\lim \limits_{x \to -\infty}\dfrac{1}{x}=0$**
![](https://hackmd.io/_uploads/Sy8zjJW82.jpg)

**例 1.1.** **證明$\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{1}{x^2}=0$** 
(圖)





# 夾擊定理
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![](https://hackmd.io/_uploads/ByGGzIvDn.png)

:::
**例題:**
![](https://hackmd.io/_uploads/SkfKgzoK2.jpg)
![](https://hackmd.io/_uploads/S1MtezjY3.jpg)

# 不定型與羅畢達法則
## 極限的不定型
在微積分和數學分析的其他分支中，**不定式**（英語：Indeterminate form），又稱未定式，是指這樣一類極限，其在按極限的運算規則進行代入後，還未能得到足夠訊息去確定極限值。

以下為幾種常見的不定型式子:



| $\cfrac{0}{0}$ |$\cfrac{\infty}{\infty}$ | $$0 · \infty$$ |$\infty- \infty$|$0^0$|$1^\infty$|$\infty^0$|
| -------- | -------- | -------- |--------|--------|--------|--------|

**簡單的範例:**

EX:  $\lim \limits_{x \to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=?$

若我們把x=1帶入上述式子時，我們將會得到$\cfrac{0}{0}$，會發現找不出極限的確切值
因此我們可以透過**因式分解**的方式，把原先的式子畫簡成可計算的式子

$\lim \limits_{x \to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim \limits_{x \to 1}\dfrac{(x+1)(x-1)}{x-1}$

$=\lim \limits_{x \to 1}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{2}$
# 羅畢達法則(L'Hôpital's rule)
給定兩個不同的函數$f(x)$和$g(x)$在以$x=c$  (c $\in \mathbb R$)為端點的區間可微，且$\lim \limits_{x \to c}\dfrac{f(x)}{g(x)}$的值為不定型，則:
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**$$\lim \limits_{x \to c}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \to c}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$$**
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:::warning
**Proof:**
![](https://hackmd.io/_uploads/rknlABwv3.png)



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**例:** $\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{tan^{-1}x}=?$
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![](https://hackmd.io/_uploads/B1yFqVDP2.png)

**例:** $\lim \limits_{x \to 0^+} \  x\ ln(x)=?$
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![](https://hackmd.io/_uploads/B1hURVPP3.jpg)


**例:** ***反例*** $\lim \limits_{x \to 0^+}\dfrac{1}{x} + ln(x)=?$
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![](https://hackmd.io/_uploads/rkF82BPP3.jpg)





**例:** $\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{log_2(x+2)}{log_3(x+3)}=?$
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![](https://hackmd.io/_uploads/Hkh9IzLw2.png)

**例:** $\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{2}}(sec\ x \ - \ tan \ x)=?$
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![](https://hackmd.io/_uploads/BJY2UfLD2.png =180%x)

**例:** $\lim \limits_{x \to 1^+}\dfrac{ln(x^3-1)}{ln(x^8-1)}=?$
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![](https://hackmd.io/_uploads/rk26LzLw2.png =180%x)

**例:**


# 極值定理
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**例題:**
# 中間值定理
:::info

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**例題:**


**例題:**
# 1-4 求極限的方法
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**例 1.1.**

**例 1.1.**

**例 1.1.**
**例 1.1.**
**例 1.1.**
**例 1.1.**
**例 1.1.**




