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title: MOSFET 習題9.12

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![](https://files.catbox.moe/hkrnas.jpg)

這是一題關於CMOS 傳輸閘（Transmission Gate）**或稱**類比開關（Analog Switch）的經典電子學題目。

對於初學者來說，看到一堆電晶體和公式可能會覺得很複雜，但這題的核心觀念其實只有兩個：**「把導通的電晶體當作電阻」**以及**「國中學過的分壓定理」**。

以下為你拆解這份簡報中的符號、公式與解題邏輯。

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### 一、 認識電路與符號

首先，我們來看看電路圖（圖 P9.10）裡面的符號代表什麼意思：

* **$V_i$ (Input Voltage)**：輸入電壓。題目說它是一個 $\pm 2\text{V}$ 的方波，代表它的電壓會是 $2\text{V}$ 或 $-2\text{V}$。
* **$V_o$ (Output Voltage)**：輸出電壓。這是我們這題要求解的目標。
* **$Q_N$ 與 $Q_P$**：分別代表 n-channel (NMOS) 與 p-channel (PMOS) 場效電晶體。你可以把它們想像成由電壓控制的「開關」。
* **$V_n$ 與 $V_p$**：用來控制這兩個開關的「控制電壓」。
* **$R_L$ (Load Resistor)**：負載電阻。訊號傳遞到最後要連接的電阻。
* **$V_t$ (Threshold Voltage)**：臨界電壓。也就是要把這個電晶體「開關」打開所需要的最低門檻電壓。
* **$k$**：導電參數。這是一個與電晶體物理製造特性有關的常數，會影響電晶體導通時的電阻大小。

**這個電路在做什麼？**
這個電路把 $Q_N$ 和 $Q_P$ 並聯在一起，作為一個「通道」。當 $V_n$ 給高電壓、$V_p$ 給低電壓時，這兩個開關會打開，讓左邊的輸入訊號 $V_i$ 可以順利走到右邊變成 $V_o$。

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### 二、 核心觀念與公式解說

為什麼簡報裡要算一堆 $R_{on}$ 呢？

**1. 電晶體的導通電阻 ($R_{on}$)**
在真實世界中，電晶體就算完全導通（開關打開），它也不是完美的，它會有一點點阻礙電流的能力，這稱為「導通電阻（On-resistance）」。
簡報中使用的公式是計算這個電阻值：

* **NMOS 導通電阻 ($R_{on1}$)**：
    $$R_{on1} = \frac{1}{2k(V_G - V_D - V_t)}$$
    * $V_G$ 是控制端（閘極）的電壓，這裡等於 $V_n$。
    * $V_D$ 在這個計算中代入的是輸入電壓 $V_i$。

* **PMOS 導通電阻 ($R_{on2}$)**：
    $$R_{on2} = \frac{1}{2k(V_D - V_G - |V_t|)}$$
    * $V_G$ 是控制端（閘極）的電壓，這裡等於 $V_p$。
    * 因為 $Q_P$ 的 $V_t$ 是負值（$-1\text{V}$），公式裡使用了絕對值 $|V_t|$ 以方便計算。

**2. 並聯電阻 ($R_{on1} \parallel R_{on2}$)**
因為 $Q_N$ 和 $Q_P$ 兩條路是並聯的，所以整個開關的總電阻就是兩個電阻並聯：
$$R_{on} = R_{on1} \parallel R_{on2}$$
*(註：並聯計算公式為 $\frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}$，簡報中直接給出了計算結果。)*

**3. 終極武器：分壓定理**
當我們把中間那包複雜的電晶體算成一個總電阻 $R_{on}$ 後，整個電路就被簡化成：**輸入電壓 $V_i$ 串聯了兩個電阻（$R_{on}$ 和 $R_L$）**。
根據分壓定理，輸出電壓 $V_o$ 就是 $R_L$ 分到的電壓比例：
$$V_o = V_i \times \frac{R_L}{R_{on} + R_L}$$
這個公式就是整個簡報所有計算的最終目的。

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### 三、 解題步驟拆解（以第 1 小題為例）

題目 (1) 給定的條件是：$V_n = 5\text{V}, V_p = -5\text{V}, R_L = 10\text{k}\Omega$。
因為輸入 $V_i$ 是 $\pm 2\text{V}$ 的方波，所以我們必須分別計算 $V_i = 2\text{V}$（高電位）和 $V_i = -2\text{V}$（低電位）時的狀況。

**狀況 A：當輸入 $V_i = 2\text{V}$ 時** (對應第二張圖片上方)
1.  **算 NMOS 電阻**：代入公式，閘極 $V_G = 5\text{V}$，輸入 $V_D = 2\text{V}$，算出來 $R_{on1} = 0.25\text{k}\Omega$。
2.  **算 PMOS 電阻**：代入公式，輸入 $V_D = 2\text{V}$，閘極 $V_G = -5\text{V}$，算出來 $R_{on2} = 0.083\text{k}\Omega$。
3.  **算總並聯電阻**：$0.25\text{k}\Omega$ 和 $0.083\text{k}\Omega$ 並聯，得到 $R_{on} = 0.0623\text{k}\Omega$。
4.  **分壓求輸出**：輸入 $2\text{V}$ 會被 $R_{on}$ 吃掉一點點，剩下的落在 $R_L$ 上。
    $$V_{o(H)} = 2\text{V} \times \frac{10}{0.0623 + 10} = 1.988\text{V}$$
    *(你會發現輸出雖然很接近 $2\text{V}$，但因為開關本身有電阻，所以會衰減一點點。)*

**狀況 B：當輸入 $V_i = -2\text{V}$ 時** (對應第二張圖下方到第三張圖上方)
步驟完全一樣，只是把公式裡的輸入電壓 $V_D$ 換成了 $-2\text{V}$。
1.  重新算出新的 $R_{on1}$ ($0.083\text{k}\Omega$) 和 $R_{on2}$ ($0.25\text{k}\Omega$)。
2.  算出新的並聯電阻 $R_{on}$ ($0.0623\text{k}\Omega$)。
3.  分壓求輸出：
    $$V_{o(L)} = -2\text{V} \times \frac{10}{0.0623 + 10} = -1.988\text{V}$$

**第 (2) 小題在做什麼？**
第 (2) 小題完全是重複上述的動作，只是把控制電壓加大了（變成 $\pm 10\text{V}$），負載電阻也改變了。控制電壓加大會讓電晶體導通得更好（也就是 $R_{on}$ 會變得更小），你可以看到後面的計算結果中，輸出電壓 $1.997\text{V}$ 變得更接近理想的 $2\text{V}$ 了。

這就是整題的解題邏輯。希望這樣的拆解能幫助你理解這份簡報！