---
# System prepended metadata

title: Bitácora 22 - Fundamentos de Matemáticas

---

# Bitácora 22 - Fundamentos de Matemáticas

### _13 de Diciembre de 2022_

## Serie de Taylor

Coñecemos varias derivadas de $f(x)$ nun punto $x_0$:

$$
f(x_0) = f^{(0)}(x_0) \\
f'(x_0) = f^{(1)}(x_0) \\
... \\
f^{(n)}(x_0)
$$

Queremos aproximar o valor da función nun punto $x \neq x_0$.

![Polinomio de Taylor](https://i.imgur.com/QzsXvHK.png)

O polinomio de Taylor de grao n arredor de $x_0$ defínese como:

$$
T_{n,x_0}(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k
$$

Pódese desenvolver como:

$$
T_{n,x_0}(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
$$

O polinomio de Taylor de grao 0 é a recta constante que pasa por $x_0$, mentres que o de grao 1 é a recta tanxente por $x_0$.

![Graos 0 e 1 da serie de Taylor](https://i.imgur.com/XScpzsj.png)

### Exemplo 1

$$
f(x) = \sin(x), x_0 = 0 \\
T_0(x) = f(x_0) = \sin(0) = 0 \\
T_1(x) = 0 + \frac{\cos{0}}{1!}(x-0)^1 = 0 + x = x \\
T_2(x) = x + 0 x^2 = x \\
T_3(x) = x - \frac{x^3}{6} \\
T_4(x) = x - \frac{x^3}{6} \\
T_5(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}
$$

![Exemplo 1](https://i.imgur.com/t5R5KdO.png)

### Límite cando $n \to \infty$

Para certas funcións, o límite da serie de Taylor cando $n \to \infty$ é a función orixinal, por exemplo:

$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...
$$

### Estimación do erro

Chamámoslle resto de grao $n+1$ arredor de $x_0$ a:

$$
f(x) - T_{n, x_0}(x) = R_{n+1, x_0}(x) = \frac{f^{(n+1)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \text{ entre } x \text{ e } x_0
$$

Estimación:

$$
M = \max_{c \in [x,x_0]} |f^{(n+1)}(c)|, |f(x) - T_{n, x_0}(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}
$$

En resume:

$$
|R_{n+1, x_0}| < tol, \text{ casos típicos: }
\begin{cases}
\text{a) dado } x_0, tol, x, \text{ atopar } n\\
\text{b) dado } x_0, tol, n, \text{ atopar } x
\end{cases}
$$

### Caso a: atopar $n$

Que n permite aproximar o valor de $y = e^1 = e$ por unha serie de Taylor arredor de $x_0 = 0$ cunha tolerancia de $tol = 10^{-6}$?

![Caso a](https://i.imgur.com/kcgZSqn.png)

$$
f(x) = e^x \\
f^{(n+1)} = e^x \\
M = \max_{c \in [0, 1]} |e^c| = e^1 \\
\left|R_{n+1, 0}(1) \right| \leq \frac{M}{(n+1)!} (1-0)^{n+1} < 10^{-6} \\
(n+1)! > 3 \cdot 10^6 \\
n = 9
$$