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title: 微積分-基礎數學篇

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# 微積分-基礎數學篇
[TOC]

## 數

N: Natural自然數：$\left\{ ...1,2,3,... \right\}$
Z: Integer整數：$\{{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}}$
Q: Quotient有理數：$\{{x\mid x=\frac{p}{q}\quad p,q \in Z,q\ne0 \}}$
R: Real實數： $N \subset Z \subset Q \subset R$


<font color="#dd0000">**$\sqrt{2}$無理數證明問題：為什麼假設有理數p,q必須互質?**</font>

<font color="#00DD00">解答:</font>
因為如果$a\subset Z,b \subset Z$ ，$\frac{a}{b}$必定存在$p\subset Z,q \subset Z$互質的最簡分數$\frac{p}{q}$。
該證明最後的結果是a,b不論最簡化多少次永遠存在有最大公因數2
故反證


**完備性：數的集合收斂**

$\frac{1}{^{2^{2}}}\quad + \frac{1}{^{3^{2}}}\quad + \frac{1}{^{4^{2}}}\quad+...+ = \frac{\pi}{6}\quad$
<font color="#dd0000">有理數相加=>無理數，故有理數不具有完備性</font>

## 函數

### 函數

定義域不可以重複對應值域
應該是ManyToOne 或 OneToOne
不可為OneToMany

定義域中任一${\displaystyle x}$在對應域中唯一對應的${\displaystyle y}$記為${\displaystyle f(x)}$。

![](https://i.imgur.com/06YY5gA.png)

如果值域每個值都有對應到則為映成

### 合成函數

(g ∘ f )(x) = g(f(x))

兩個函數經過多次對映到達目標值域

![](https://i.imgur.com/vT6H2oE.png)

### 高斯函數

定義: ${\displaystyle f(x)}= [x]$ 表示不大於x的最大整數

範例 [5.4] = 5
    [4.99] = 4
    [7] = [7]
    [$/pi$] = [3]
    [-8] = [-8]
    [-3.4] = [-4]
    
高斯函式的重要不等式

y =[x]

x-1 $<$ [x] $\leq$ x

### 絕對值函數

絕對值意義

$\left | a \right | = \begin{Bmatrix}a\>\> if\>\> a \geq 0\\ -a\>\> if\>\> a < 0\end{Bmatrix}$


![](https://i.imgur.com/iOVtCR7.png)

${\displaystyle f(x)}= |x|$，在x = 0時連續，但不可微

### 反函數

存在條件(一對一且映成)

${\displaystyle f^{-1}}$ : $f$ inverse
${\displaystyle f^{-1} f(x) =x }$
## 直線方程式