---
# System prepended metadata

title: Aide pour Mouad

---

# Aide pour Mouad

---

## Question du 17/03

Sur l’exercice 3 partie À question 2 et 3 du sujet de Polynésie je ne comprend pas la correction donné sur le site de l’Apmep.

## Ma réponse

2. D'après la question 1., la courbe de $f$ est $\mathcal{C}_2$.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$, courbe représentative de la fonction $f$,
au point d’abscisse 4 est égal à $f′(4)$.

D'après la question 1., la courbe de $f'$ est $\mathcal{C}_3$.

On lit donc sur cette courbe l'ordonnée du point d'abscisse 4 : on trouve environ 3.

3. Les points d'inflexion de $\mathcal{C}_1$ sont les points où la courbe change de courbure. On cherche les abscisses de ces points, c'est-à-dire les valeurs de la variable pour lesquelles la fonction correspondante change de convexité.

Sur le graphique la fonction correspondant à la courbe $\mathcal{C}_1$ semble est convexe sur $]-\infty;2]$, concave sur $[2;4]$ et convexe sur $[4;6]$ et concave sur $[6;+\infty[$.

Les points d'inflexion de $\mathcal{C}_1$ semblent donc être les points d'abscisse 2, 4 et 6.

Il y a donc une erreur dans la correction proposée.


---

$\forall t \in\mathbb{R}_+$, $f(t)=\text{e}^3-\text{e}^{-0.5t^2+t+2}$.


## Affirmation 2

"À très long terme, la population dépassera 21 000 bactéries".

## Réponse à ta question

Un raisonnement par récurrence ne s'effectue qu'avec des entiers...et donc des suites.

Ici, il faut étudier les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$ pour voir si oui ou non $f(t)>21000$ au bout d'un certain temps.

Comme somme de fonctions dérivables sur $[0;+\infty[$, la fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.

$\forall t\in [0;+\infty[$, $f'(t)=0-(-2\times 0.5t+1)\text{e}^{-0.5t^2+t+2}=(t-1)\text{e}^{-0.5t^2+t+2}$.

$\forall t\in [0;+\infty[$, $\text{e}^{-0.5t^2+t+2}>0$.

Le signe de $f'(t)$ est donc le même que celui de $(t-1)$.

Ainsi, $f'(t)>0\Leftrightarrow t-1>0 \Leftrightarrow t>1$.

La fonction $f$ est donc décroissante sur $[0;1]$ et croissante sur $[1;+\infty[$.

$f(0)=\text{e}^3-\text{e}^2\approx 12,7$

$f(1)=\text{e}^3-\text{e}^{2.5}\approx 7,9$

Comme $t\mapsto -0.5t^2+t+2$ est une fonction polynôme du second degré avec un coefficient du terme de degré 2 strictement négatif, on a :

$\displaystyle \lim_{t\to +\infty}\left(-0.5t^2+t+2\right)=-\infty$.

Or $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\text{e}^x=0$.

Par composition, $\displaystyle \lim_{t\to +\infty}\text{e}^{-0.5t^2+t+2}=0$.

Comme $\displaystyle \lim_{t\to +\infty}\text{e}^3=\text{e}^3$, on en déduit : $\displaystyle \lim_{t\to +\infty}f(t)=\text{e}^3$.

On en déduit :

![](https://i.imgur.com/b39O2L4.png)


Comme $\text{e}^3\approx 20.09$, on a $f(t)<\text{e}^3<21$ sur $[0;+\infty[$.

L'affirmation est donc fausse puisque $f(t)$ ne dépasse jamais 21.
