---
# System prepended metadata

title: 3月30日 上課筆記
tags: [普通物理]

---

# 3月30日 上課筆記
###### tags:`普通物理`
## 克卜勒第二定律
面積速率定義為 $\dfrac{dA}{dt}$
時間極短，面積可視為三角形
$\Delta A\approx\frac{1}{2}r^2\Delta\theta$，底是 $r\Delta \theta$，高是 $r$

所以面積速率是 $\dfrac{1}{2}r^2\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}=\dfrac{1}{2}r^2\omega$。

角動量定義為 $\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}$
在這裡跟角速率的關係為 $L=mr^2\omega$

太陽和行星之間的連心力無法對行星產生力矩 $\tau=\dfrac{dL}{dt}=0$ ，角動量 $L=mr^2\omega$ 守恆，故面積速率 $\dfrac{1}{2}r^2\omega$ 也守恆。

## 克卜勒第三定律
假設做圓周運動
由重力 $F_g=\dfrac{GMm}{r^2}$ 等於向心力 $F_c=m\dfrac{v^2}{r}$，又使用速率 $v$ 與週期 $T$ 的關係 $v=\dfrac{2\pi r}{T}$

$\dfrac{GMm}{r^2}=mr\dfrac{4\pi^2}{T^2}$
移項，
$\boxed{T^2=\left(\dfrac{4\pi^2}{GM}\right)r^3}$

## 軌道與能量
先考慮圓形軌道
重力位能的定義： $U=-\dfrac{GMm}{r}$ （不變）

動能的定義： $K=\dfrac{1}{2}mv^2$
把等式 $\dfrac{GMm}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}$ 同乘以 $\dfrac{r}{2}$，得到
$\dfrac{GMm}{2r}=\dfrac{1}{2}mv^2=K$

力學能＝動能＋位能
$E=\dfrac{GMm}{2r}-\dfrac{GMm}{r}=\boxed{-\dfrac{GMm}{2r}}$

力學能的公式可以推廣給橢圓軌道使用
$\boxed{E=-\dfrac{GMm}{2a}}$，這裡的 $a$ 是軌道半長軸。

橢圓軌道的動能和位能都不守恆。

## 習題
### 第26題（pdf檔第8題）
$\mathbf{F}_{BA}=\dfrac{Gm^2}{d_1^2}\mathbf{j}$
$\mathbf{F}_{BC}=\dfrac{Gm^2}{d_2^2}\mathbf{i}$
$\mathbf{F}_B=\mathbf{F}_{BA}+\mathbf{F}_{BC}=\dfrac{Gm^2}{d_1^2}\mathbf{j}+\dfrac{Gm^2}{d_2^2}\mathbf{i}$

$d_1=0.300\text{ m}$
$d_2=0.400\text{ m}$
$m=8.00\text{ kg}$

(a) 量值（magnitude）
:::danger
$|\mathbf{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$
:::

$\begin{align}F_B&=\sqrt{\left(\dfrac{Gm^2}{d_2^2}\right)^2+\left(\dfrac{Gm^2}{d_1^2}\right)^2}=Gm^2\sqrt{\dfrac{1}{d_1^4}+\dfrac{1}{d_2^4}}\\&=(6.67\times 10^{-11} \text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2})(8.00\text{kg})\sqrt{\dfrac{1}{(0.300\text{ m})^4}+\dfrac{1}{(0.400\text{ m})^4}}\\&=6.8\times 10^{-9}\text{ N}\end{align}$

(b) 方向（direction）
::: danger
$\tan \theta=\dfrac{A_y}{A_x}$
:::
$\theta =\tan^{-1}\left(\dfrac{\dfrac{Gm^2}{d_1^2}}{\dfrac{Gm^2}{d_2^2}}\right)=\tan^{-1}\left(\dfrac{d_2^2}{d_1^2}\right)=\tan^{-1}\dfrac{(0.400\text{ m})^2}{(0.300\text{ m})^2}=60^o$

## 第38題 （pdf檔第63題）
$m_{小}=2.0\times 10^{-4}M_{地}$
$r_{小}=3r_{地}$

(a) 公轉週期（period of revolution）
由克卜勒第三定律，$T^2\propto r^3$ 或者
$\dfrac{T_{小}^2}{T_{地}^2}=\dfrac{r_{小}^3}{r_{地}^3}$

$\dfrac{T_{小}^2}{(1\text{ yr})^2}=3^3=27$

$T_{小}=\sqrt{27} \text{ yr} = \boxed{5.2\text{ yr}}$

(b) 動能（kinetice energy）
圓形行星軌道的動能為 $K=\dfrac{GMm}{2r}$
故小行星與地球動能的比例為
$\dfrac{K_小}{K_地}=\dfrac{\dfrac{GMm_小}{2r_小}}{\dfrac{GMm_地}{2r_地}}=\dfrac{m_小r_地}{r_小m_地}=\dfrac{2.0\times 10^{-4}}{3}=\boxed{6.7\times 10^{-5}}$

## 第十四章 流體（Fluids）
### 密度（density） $\rho$
$\rho=\dfrac{\Delta m}{\Delta V}$
如果密度均勻：
$\rho=\dfrac{m}{V}$
水的密度：$1\text{ g}/\text{cm}^3$ = $1000\text{ kg}/\text{m}^3$
水銀（汞）的密度：$13.6\text{ g}/\text{cm}^3$


### 壓力（pressure）$P$
$P=\dfrac{\Delta F}{\Delta A}$
$\Delta F$：作用於面積 $\Delta A$ 且垂直於表面的力
$\Delta A$：面積
如果壓力均勻：
$P=\dfrac{F}{A}$

### 表壓力（Gauge pressure）
絕對壓力＝表壓力＋大氣壓力
$p_{abs}=p_{gauge}+p_{atm}$

### 流體壓力（fluid pressure）
$p=p_0+\rho gh$，
- $p_0$：某個參考平面的壓力，
- $\rho$：流體的密度
- $g$：自由落體加速度
- $h$：從某個參考平面往下的深度

### 帕斯卡原理（Pascal’s Principle）
:::success
施加在密閉流體的壓力變化會沒有衰減地傳遞到流體的每一個部分以及容器的壁面。
A change in the pressure applied to an enclosed fluid is transmitted undiminished to every portion of the fluid and to the walls of the containing vessel.
:::
#### 液壓泵（Hydraulic Lever）
$\Delta p=\dfrac{F_i}{A_i}=\dfrac{F_o}{A_o}$
所以
$F_o=F_i\dfrac{A_o}{A_i}$
因為體積不可壓縮
$V=A_id_i=A_od_o$
$d_o=d_i\dfrac{A_i}{A_o}$
功 $W=F_od_o=F_id_i$

### 阿基米德原理（Archimedes’ Principle）
::: success
當一個物體全部或部分泡在液體裡面，周遭流體會對物體施加浮力 $F_b$。該力的方向向上，其量值等於被該物體取代的流體的重量 $m_f g$。
When a body is fully or partially submerged in a fluid, a buoyant force  $F_b$ from the surrounding fluid acts on the body. The force is directed upward and has a magnitude equal to the weight $m_f g$ of the fluid that has been displaced by the body.
:::
換句話說，$F_b=m_f g$

- 漂浮：$F_b=F_g$
- 浮起：$F_b>F_g$
- 沉下：$F_b<F_g$