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title: 状態量と積分経路

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# 状態量と積分経路

注意: confidential 情報は書けない

本書では以下を示したい:

- 状態量$x$ について、 $xdx=0$ から $\int_{x_0}^{x_1} xdx=0$ が言えること。

## 状態量

### 定義

状態量を以下のように定義する:
- 圧力 $p$ 、温度 $T$ 、体積 $V$ は状態量である。（これらを特別に熱力学的状態変数と呼ぶ。）
- 状態量のみから決定的に決まる量は状態量である。
- これらを満たす量のみが状態量である。

### 状態量と完全微分
任意の状態量 $X$ は、定義から $p, T, V$ の関数 $X = f(p, T, V)$ と表わすことができる。ゆえに、任意の変数 $t$ について、 $p(t), T(t), V(t)$ のように、熱力学的状態変数の値をその変数で表して経路を作れば、 $X$ もまた $X = f(p(t), T(t), V(t))$ と $t$ の1変数関数になる。このとき、

$$
\frac{dX}{dt} = \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial p}\frac{dp}{dt} + \frac{\partial f}{\partial T}\frac{dT}{dt} + \frac{\partial f}{\partial V}\frac{dV}{dt}
$$

となる。これは任意の変数 t について成り立つから、両辺から形式的に $\frac{1}{dt}$ を取り除き、

$$
dX = \frac{\partial f}{\partial p}dp + \frac{\partial f}{\partial T}dT + \frac{\partial f}{\partial V}dV
$$

と書いてもよいことにする。こういうやつを完全微分と呼ぶ。状態量は必ずこういう $f$ を持っているので、状態量の微小変化 $dX$ は必ず完全微分の形で書ける。

## 完全微分 （寄り道）

一般に、 
$$
dX = f_1(x_1, \cdots, x_n)d{x_1} + f_2(x_1, \cdots, x_n)d{x_2} + \cdots + f_n(x_1, \cdots, x_n)d{x_n}
$$

という形を考える。この形が、ある関数 $F(x_1, \cdots, x_n)$ があって

$$
dX = \frac{\partial F}{\partial x_1}d{x_1} + \frac{\partial F}{\partial x_1}d{x_2} + \cdots + \frac{\partial F}{\partial x_1}d{x_n}
$$

と書けるとき、 $dX$ は完全微分であるという。逆に、このように書けないとき、 $dX$ は不完全微分であるという。


### 例

$dz=(2x+y)dx+(x+1)dy$ は、$F=x^2+xy+y$ とおけば条件を満たすので、完全微分である。実際、適当な変数 $t$ について（$x$, $y$ について $x=x(t), y=y(t)$ と書けるなら）
$$
\frac{dF}{dt}=(2x+y)\frac{dx}{dt}+(x+1)\frac{dy}{dt}
$$
となり、 $dF$ という書き方はそれっぽい。

### 別の定義

2変数の場合、完全微分の定義として
$$
dX = f_x(x, y)d{x} + f_y(x, y)d{y}
$$

という形に対して $\frac{\partial f_x}{\partial y}=\frac{\partial f_y}{\partial x}$ が成り立つこと、と説明されることも多い。これはちゃんと同値な定義になっている（2階微分は微分の順番を入れ替えてもOK、みたいな式から導出する）。

## 状態量の経路積分

ある状態量 $X$ について、ひとつ経路 $C$ を定め、積分 $\int_{C} f(X) dX$ を計算することを考える。経路を定めるとは、つまり変数 $t$ について $X(t)$ を定め、

$$
I = \int_{C} f(X) dX = \int_{t_0}^{t_1} f(X(t)) \frac{dX}{dt}dt
$$
と変数変換できるようにするということである。

ここで、 $X$ は状態量であるから、熱力学的状態変数の関数 $X = X(p, T, V)$である。ゆえに、これを次のように変数変換してもよい:
$$
I = \int_{C} f(X) dX = \int_{t_0}^{t_1} f(p(t), T(t), V(t)) \left( \frac{\partial X}{\partial p}\frac{dp}{dt} + \frac{\partial X}{\partial T}\frac{dT}{dt} + \frac{\partial X}{\partial V}\frac{dV}{dt} \right)dt
$$

何がいいたかったんだっけ、、、（日記はここで途絶えている）


