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title: 【論文筆記】Black-Scholes Model (1973)
tags: [論文筆記, 財務工程]

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title: 【論文筆記】Black-Scholes Model (1973)
tags: [論文筆記, 財務工程]

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# 【論文筆記】Black-Scholes Model (1973)

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    /* 自訂義字體顏色裝飾 */
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:::info
**論文名稱**：
Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. *Journal of political economy*, *81*(3), 637-654.
:::

:::success
⚠️ 本文採用 **CC BY-NC-SA 4.0** 授權。轉載請註明出處並保持非商業性使用。
**⚠️ 免責聲明 1：** 本筆記僅供學術交流與個人學習使用，完整內容請參考原論文。
**⚠️ 免責聲明 2：** 本文僅為論文筆記，非屬投資建議，請投資人自負風險。
:::

# 前言

在財務工程中，Black-Scholes (BS) 模型是最經典，也是最容易使用的定價模型。該文獻的貢獻不僅是提供了<span class="blue">歐式選擇權買賣權價格的封閉解</span>，在後續其他定價模型中也依然可以看見 BS 模型的概念和推導手法。雖然 BS 模型因其強烈的假設而為人詬病，然而不可否認地是，無論是在實務面上或是理論面上，BS 模型都提供了我們一個強而有力且易於解析的定價公式。

在本篇文獻中，從<span class="blue">選擇權價格與股票價格的關係</span>開始討論，接著進入<span class="blue">複製投組的想法</span>來思考如何達到連續動態避險。後續在封閉解的浮現過程中，在設定理想環境下，我們從 SDE 看見了 BS 模型的 PDE 樣貌。接著，將 BS 模型的 PDE 轉換為<span class="blue">熱傳導方程式</span>，利用在物理學中已知的解法推導出<span class="blue">買權封閉解的形式</span>。最後藉由<span class="blue">買賣權平價關係</span>，我們無須重新計算，便可算出<span class="blue">賣權封閉解的形式</span>。

讓我們跟著論文的想法來看看這些是如何實現的吧。 So, Let's Think.

# 1、Introduction

在 Introduction 中，比較重要的部分是，揭示在無套利風險下，<span class="blue">選擇權與標的股價之間的關係</span>。Figure 1 中，橫軸代表股價 $x$、縱軸代表選擇權價格 $w(x, t)$，並且設定履約價為 $20。圖中，Line A 代表了選擇權最大的價值，而該價值不會超過標的股價 (若超過則代表其中一方有套利機會)；Line B 代表了選擇權最小的價值，可以看到 Line B 其實就是一般在到期日時會看到的買權支付函數， $(x - c)^+$，其中 $x$ 代表股價，$c$ 代表履約價。$T_1$、$T_2$，和 $T_3$ 則說明，隨著時間越靠近到期日，選擇權價格會從 Line A 逐漸接近 Line B。

| ![image](https://hackmd.io/_uploads/BkP9fZOXbx.png) |
| :---: |
| Source: Black & Scholes (1973), Figure 1. |


# 2、The Valuation Formula

文中先對推導選擇權價格的「理想環境」做假設：

:::warning
1. <span class="black">The <span class="red">short-term interest rate</span> is <span class="red">known</span> and is <span class="red">constant</span> through time. </span>
2. <span class="black">The <span class="red">stock price</span> follows a <span class="red">random walk</span> in continuous time with a variance rate proportional to the square of the stock price. Thus the distribution of possible stock prices at the end of any finite interval is <span class="red">log-normal</span>. <span class="red">The variance rate of the return on the stock is constant</span>. </span>
3. <span class="black">The stock pays <span class="red">no dividends</span> or other distributions. </span>
4. <span class="black">The option is "<span class="red">European"</span>, that is, it can only be exercised at maturity. </span>
5. <span class="black">There are no transaction costs in buying or selling the stock or the option. </span>
6. <span class="black">It is possible to borrow any fraction of the price of securiy to buy it or to hold it, at the short-term interest rate. </span>
7. <span class="black">There are no penalties to short selling. </span>
:::

對於我們要推導 BS 模型的封閉解而言，比較重要的假設在前兩項，因為有這兩項假設才使得最終推導出來的封閉解的形式不過於複雜；後幾項則是針對連續動態避險的可行性做出的假設。

## A. Assumption 2.
在開始一連串複雜的推導之前，或許可以先看看第二項假設究竟發生了什麼事？

首先，作者假設股價服從一個動態過程，此動態過程稱為幾何布朗運動 (geometric Brownian motion)。因此，我們有以下 SDE，

$$
dx = \mu x dt + v x dz, 
$$

其中 $\mu$ 為股價預期報酬率、$v$ 為股價變異數，以及 $z$ 為一個 Wiener process。對於將 $v$ 假設為常數為後續的推導省去不少麻煩。

:::spoiler <span class="grey">一些符號的釐清</span>
* 文中對於股價的符號僅使用 $x$ 來表達。然而，事實上我們知道股價應該是時間的函數才對，所以更好的寫法會是 $x_t$。但這裡為求與本文符號的一致性，我們先寫 $x$。

* 但下面的結果需要區分到期日以及初始日，所以僅會在此處與文中符號不一致。
:::

透過 Ito's lemma，令 $f(t, x_t) = \ln x_t$ 我們可以得到，

$$
\begin{align}
d \ln x_t &= \frac{1}{x_t} dx_t + \frac{1}{2} \Big(\frac{-1}{x_{t}^{2}}\Big) (dx_t)^2 \\
&= \Big(\mu - \frac{1}{2}v^2\Big) dt + v dz_t.
\end{align}
$$

接著，對兩側做時間 $0$ 到 $T$ 的積分，

$$
\begin{align}
&\int_{0}^{T} d \ln x_t = \int_{0}^{T} \Big(\mu - \frac{1}{2}v^2\Big) dt + \int_{0}^{T} v dz_t \\
&\Rightarrow \ln x_T - \ln x_0 = \Big(\mu - \frac{1}{2}v^2\Big) T + vz_T \\
&\Rightarrow x_T = x_0 \cdot \exp \Big\{ \Big(\mu - \frac{1}{2}v^2\Big) T + vz_T \Big\}.
\end{align}
$$

因為 $z_t$ 是一個 Wiener process，所以我們可以<span class="blue">得到 assumption 2 的結果</span>，

$$
x_t \sim \text{lognormal}\Big( \ln x_0 + \Big(\mu - \frac{1}{2}v^2\Big) T, v^2 T\Big),
$$

我們也可以再更進一步得到對數價格的分佈為

$$
\ln \frac{x_T}{x_0} \sim N\Big(\Big(\mu - \frac{1}{2}v^2\Big) T, v^2 T \Big).
$$

## B. Replication Portfolio

接下來就是一連串的數學推導了 🥲

首先，我們考慮以下避險投資組合，

$$
\text{Short } n_x \text{ units stock / Long } n_w \text{ units option}
$$

因此，我們可以得到投資組合，$\Pi$，的價值為

$$
\Pi = n_x \cdot x + n_w \cdot w.
$$

在短時間變化，$dt$，之內，投資組合價值的變化為

$$
\begin{equation} \tag{1}
d\Pi = n_x \cdot dx + n_w \cdot dw.
\end{equation}
$$

但我們現在不知道究竟要做多多少單位的標的股票，以及做空多少單位的選擇權？所以，接下來我們就要試圖來找出這兩個值，且該數值是可以使得投資組合達到避險效果的！

## C. The exact values of $n_x$ and $n_w$
針對 $dx$，我們已經知道其服從幾何布朗運動，

$$
\begin{equation} \tag{2}
dx = \mu x dt + v x dz.
\end{equation}
$$

針對 $dw$，我們知道 $w$ 是股價 $x$ 和時間 $t$ 的函數，所以可透過 Ito's lemma，

$$
\begin{align}
dw &= w_t dt + w_x dx + \frac{1}{2} w_{xx} (dx)^2\\
   &= w_t dt + w_x (\mu x dt + v x dz) + \frac{1}{2} w_{xx} (v^2 x^2 dt) \\
   &= \Big[w_t + \mu x w_x + \frac{1}{2} v^2 x^2 w_{xx}\Big] dt + v x w_x dz. \tag{3}
\end{align}
$$

將 (2) 和 (3) 代入 (1)，可以得到

$$
\begin{equation} \tag{4}
d \Pi = \Big[ n_w \Big( w_t + \mu x w_x + \frac{1}{2} v^2 x^2 w_{xx} \Big) + n_x \mu x \Big] dt + \Big[ n_w v x w_x + n_x v x \Big] dz.
\end{equation}
$$

根據無套利條件，$d \Pi = r \Pi dt$，也就是說，在 (4) 中的擴散項係數必須為 $0$，

$$
n_w v x w_x + n_x v x = 0 \Rightarrow w_x = -\frac{n_x}{n_w}.
$$

上面的式子說明，當投資人持有 $1$ 單位的選擇權時，同一時間必須持有 $-w_x$ 單位的股票。

如此，我們便找到了 $n_x = -w_x$ 以及 $n_w = 1$，而這個概念就是基本的 Delta 避險策略。
我們再將這個結果帶回 (4) 就可以看到該投資組合確切的變化為

$$
\begin{align}
d \Pi &= \Big[ \Big( w_t + \mu x w_x + \frac{1}{2} v^2 x^2 w_{xx} \Big) - \mu x w_x \Big] dt \\
&= \Big[ w_t + \frac{1}{2} v^2 x^2 w_{xx} \Big] dt
\end{align}
$$

又因為 $d \Pi = r \Pi dt$，所以

$$
\begin{align}
&\Big[ w_t + \frac{1}{2} v^2 x^2 w_{xx} \Big] dt = r (-w_x \cdot x + w) dt \\
&\Rightarrow w_t + \frac{1}{2} v^2 x^2 w_{xx} + r x w_x - r w = 0. \tag{5}
\end{align}
$$

而 (5) 即為 BS 模型的 PDE。

## D. Heat Equation

文中處理 (5) 的做法是將該 PDE 轉成熱傳導方程式 (heat equation)，其形式如下，

$$
y_t = y_{xx}.
$$

這裡做了一連串的變數變換處理，文中的作法有點天外飛來一筆。此處我們試圖一步步地做轉換，慢慢地將 BS 模型的 PDE 轉換 heat equation。

在解 PDE 很重要的一點是，要知道邊界條件的設定。而我們知道，在到期日 $t^*$ 當天，選擇權的價格為 $w(x, t^*) = (x - c)^+$。因此，我們就可以將支付函數視為 (5) 的邊界條件。

:::warning
<span class="blue">**變數變換 1**</span><span class="black">：換成對數價格，$\displaystyle l = \ln \frac{x}{c} \Rightarrow x = c e^l$</span>
:::

這裡，我們嘗試將 $x$ 給消除。對 (5) 做變數變換 1，會有影響的項有 $w_x$ 和 $w_{xx}$，我們先計算變數變換的結果。

對 $w_x$，

$$
w_x = \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial l} \frac{\partial l}{\partial x} = \frac{1}{x} \frac{\partial w}{\partial l}.
$$

對 $w_{xx}$，

$$
\begin{align}
w_{xx} &= \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = 
\frac{\partial}{\partial x} \Big[ \frac{\partial w}{\partial x} \Big] = 
\frac{\partial}{\partial x} \Big[ \frac{1}{x} \frac{\partial w}{\partial l} \Big] \\
&= \frac{1}{x} \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial l} - \frac{1}{x^2} \frac{\partial w}{\partial l} \\
&= \frac{1}{x} \frac{\partial}{\partial l} \Big[ \frac{1}{x} \frac{\partial w}{\partial l} \Big] - \frac{1}{x^2} \frac{\partial w}{\partial l} \\
&= \frac{1}{x^2} \Big[ \frac{\partial^2 w}{\partial l^2} - \frac{\partial w}{\partial l} \Big].
\end{align}
$$

代回 (5)，可得
$$
\begin{align}
&w_t + \frac{1}{2} v^2 x^2 w_{xx} + r x w_x - r w = 0 \\
&\Rightarrow w_t + \frac{1}{2} v^2 \frac{\partial^2 w}{\partial l^2} + (r - \frac{1}{2} v^2) \frac{\partial w}{\partial l} - rw = 0. \tag{$5^\prime$}
\end{align}
$$

:::warning
<span class="blue">**變數變換 2**</span><span class="black">：換成從到期日折現回現值的選擇權價格，$\displaystyle w(l, t) = e^{r(t - t^*)}y(l, t)$</span>
:::

這裡，我們嘗試將 $rw$ 給消除。對 ($5^\prime$) 做變數變換 2，會有影響的項有 $w_t$ 和 $w$ 都要換成 $e^{r(t - t^*)}y$，我們先計算變數變換的結果。

對 $w_t$，

$$
w_t = \frac{\partial w}{\partial t} = re^{r(t - t^*)}y + e^{r(t - t^*)} \frac{\partial y}{\partial t}.
$$

代回 ($5^\prime$)，可得

$$
\begin{align}
&w_t + \frac{1}{2} v^2 \frac{\partial^2 w}{\partial l^2} + (r - \frac{1}{2} v^2) \frac{\partial w}{\partial l} - rw = 0 \\
&\Rightarrow \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{1}{2} v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial l^2} + (r - \frac{1}{2} v^2) \frac{\partial y}{\partial l} = 0. \tag{$5^{\prime \prime}$}
\end{align}
$$

:::warning
<span class="blue">**變數變換 3**</span><span class="black">：去除飄移項，$u = l - (r - \frac{1}{2} v^2)(t - t^*)$</span>
:::

這裡，我們嘗試將 **飄移項係數** 給消除，對 ($5^{\prime \prime}$) 做變數變換 3 要注意的地方是，我們將座標系從 $(l, t)$ 轉換到 $(u, t)$，所以對於折現價格 $y$ 而言，可以視為是 <span class="pink">$y(u(l, t), t)$</span> 函數。我們先計算變數變換的結果。

對於 $\partial y / \partial l$，

$$
\frac{\partial y}{\partial l} = 
\frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial l} = 
\frac{\partial y}{\partial u}.
$$

對於 $\partial^2 y / \partial l^2$，

$$
\frac{\partial^2 y}{\partial l^2} = 
\frac{\partial}{\partial l} \Big[ \frac{\partial y}{\partial l} \Big] = 
\frac{\partial^2 y}{\partial l \partial u} = 
\frac{\partial}{\partial u} \Big[ \frac{\partial y}{\partial l} \Big] = 
\frac{\partial^2 y}{\partial u^2}.
$$

對於 $\partial y / \partial t$，這裡要注意價格之間的函數關係，

$$
\frac{\partial y}{\partial t} \Big|_l = 
\frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial t} + 
\frac{\partial y}{\partial t} \Big|_u = 
-(r - \frac{1}{2} v^2) \frac{\partial y}{\partial u} + 
\frac{\partial y}{\partial t}.
$$

代回 ($5^{\prime \prime}$)，可得

$$
\begin{align}
&\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{1}{2} v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial l^2} + (r - \frac{1}{2} v^2) \frac{\partial y}{\partial l} = 0 \\
& \Rightarrow -(r - \frac{1}{2} v^2) \frac{\partial y}{\partial u} + 
\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{1}{2} v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial u^2} + (r - \frac{1}{2} v^2) \frac{\partial y}{\partial u} = 0 \\
& \Rightarrow \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{1}{2} v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial u^2} = 0.
\tag{$5^{\prime \prime \prime}$}
\end{align}
$$

:::warning
<span class="blue">**變數變換 4**</span><span class="black">：去除多餘係數，$s = -\frac{1}{2} v^2 (t - t^*)$</span>
:::

這裡，我們嘗試將 **多餘係數** 給消除。對 ($5^{\prime \prime \prime}$) 做變數變換 4，會有影響的項有 $\partial y / \partial t$ ，我們先計算變數變換的結果。

對 $\partial y / \partial t$，

$$
\frac{\partial y}{\partial t} = 
\frac{\partial y}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial t} = 
-\frac{1}{2} v^2 \frac{\partial y}{\partial s}.
$$

代回 ($5^{\prime \prime \prime}$)，可得

$$
\begin{align}
&\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{1}{2} v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial u^2} = 0 \\
&\Rightarrow -\frac{1}{2} v^2 \frac{\partial y}{\partial s} + \frac{1}{2} v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial u^2} = 0 \\
&\Rightarrow y_s = y_{uu}. \tag{6}
\end{align}
$$

$y_s$ 可視為選擇權價格對時間做偏微分，$y_{uu}$ 則是選擇權價格對股價做二次偏微分。如此，我們就從 BS 模型的 PDE 轉到了 heat equation。

## E. Solving BS PDE via Heat Equation

現在我們有了轉換過後的 PDE，但是別忘記我們的邊界條件也要做相對應的轉換，

$$
\begin{align}
w(x, t^*) &= (x - c)^+ \\
\Rightarrow y(u, 0) &= (ce^u - c)^+. \tag{7}
\end{align}
$$

藉由卷積積分 (convolution integral)，我們知道

$$
y(u, s) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\xi) \cdot H(u, s, \xi) d\xi,
$$

其中 $H$ 稱為熱核 (heat kernel)。該 heat kernel 具有不同形式，我們使用以下形式的 kernel，

$$
H(u, s, \xi) = \frac{1}{\sqrt{4 \pi s}} \exp \Big\{ -\frac{(u - \xi)^2}{4s} \Big\}.
$$

將 heat kernel 和邊界條件 (7) 代入 convolution integral，可以得到

$$
\begin{align}
y(u, s) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(\xi) \cdot H(u, s, \xi) d\xi \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} y(\xi, 0) \cdot \frac{1}{\sqrt{4 \pi s}} \exp \Big\{ -\frac{(u - \xi)^2}{4s} \Big\} d\xi \\
&= \int_{0}^{\infty} c(e^\xi - 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{4 \pi s}} \exp \Big\{ -\frac{(u - \xi)^2}{4s} \Big\} d\xi \\
&= \left[ \int_{0}^{\infty} c e^\xi \cdot \frac{1}{\sqrt{4 \pi s}} \exp \Big\{ -\frac{(u - \xi)^2}{4s} \Big\} d\xi \right] - \\
&\quad \quad \left[ \int_{0}^{\infty} c  \cdot \frac{1}{\sqrt{4 \pi s}} \exp \Big\{ -\frac{(u - \xi)^2}{4s} \Big\} d\xi \right]
\end{align}
$$

我們看到這裡跑出了兩項互減的積分，感覺已經是離答案不遠了！我們先處理後項的積分，
令 $q = (\xi - u) / \sqrt{2s}$，則 $d\xi = \sqrt{2s} dq$，

$$
\begin{align}
&\int_{0}^{\infty} c  \cdot \frac{1}{\sqrt{4 \pi s}} \exp \Big\{ -\frac{(u - \xi)^2}{4s} \Big\} d\xi \\
&= c \int_{-\frac{u}{\sqrt{2s}}}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4 \pi s}} \exp \Big\{ -\frac{q^2}{2} \Big\} \sqrt{2s} dq \\
&= c \int_{-\frac{u}{\sqrt{2s}}}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \Big\{ -\frac{q^2}{2} \Big\} dq \\
&= c \cdot \left[ 1 - N \left( -\frac{u}{\sqrt{2s}} \right) \right] \\
&= c \cdot N \left( \frac{u}{\sqrt{2s}} \right),
\end{align}
$$

其中 $N(\cdot)$ 為標準常態分佈之累積密度函數。

接著，我們處理前項的積分。這裡需要用到配方法的技巧，所以我們先對指數部做一些處理，

$$
\begin{align}
\xi - \frac{(u- \xi)^2}{4s} &= \frac{4s \xi - (u^2 - 2 u \xi + \xi^2)}{4s} \\
&= \frac{-(u^2 - 2(u + 2s)\xi + \xi^2)}{4s} \\
&= \frac{-[(\xi - (u + 2s))^2 - (u + 2s)^2 + u^2]}{4s} \\
&= \frac{-[(\xi - (u + 2s))^2 - 4us - 4s^2]}{4s} \\
&= \frac{-(\xi - (u + 2s))^2}{4s} + (u + s).
\end{align}
$$

所以，前項的積分會變成

$$
\begin{align}
c \cdot e^{u + s} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 \pi s}} \int_{0}^{\infty} \exp \left\{ \frac{-(\xi - (u + 2s))^2}{4s}  \right\} d\xi.
\end{align}
$$

令 $q = \xi - (u + 2s) / \sqrt{2s}$，則 $d\xi = \sqrt{2s} dq$，

$$
\begin{align}
&c \cdot e^{u + s} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 \pi s}} \int_{0}^{\infty} \exp \left\{ \frac{-(\xi - (u + 2s))^2}{4s}  \right\} d\xi \\
&= c \cdot e^{u + s} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{\frac{-(u + 2s)}{\sqrt{2s}}}^{\infty} \exp \left\{ \frac{-q^2}{2} \right\} dq \\
&= c \cdot e^{u + s} \cdot N\left(\frac{u + 2s}{\sqrt{2s}}\right)
\end{align}
$$

因此，我們就將原先的 convolution integral 變成

$$
y(u, s) = c \cdot e^{u + s} \cdot N\left(\frac{u + 2s}{\sqrt{2s}}\right) - c \cdot N \left( \frac{u}{\sqrt{2s}} \right),
$$

其中: 
$$
\begin{align}
u &= \ln \frac{x}{c} + \left( r - \frac{1}{2} v^2 \right)(t^* - t) \\
s &= -\frac{1}{2} v^2 (t - t^*) \\
w &= e^{r (t - t^*)}y(u, s)
\end{align}
$$

將變數變換的結果代回去就可以得到歐式選擇權的定價公式:
$$
\begin{equation} \tag{8}
w(x, t) = x N(d_1) - ce^{r(t -  t^*)} N(d_2), 
\end{equation}
$$

其中: 
$$
d_1 = \frac{\ln \frac{x}{c} + (r + \frac{1}{2} v^2)(t^* - t)}{v \sqrt{t^* - t}} \quad \quad d_2 = d_1 - v \sqrt{t^* - t}.
$$

:::spoiler <span class="grey">代回變數變換的過程</span>
<span class="blue">1</span><span class="black">：
    $$
    y = w \cdot e^{r (t^* - t)}
    $$
</span>

<span class="blue">2</span><span class="black">：
    $$
    \begin{align}
    & e^{-r (t^* - t)} \cdot c \cdot e^{u + s} \\
    & = \exp \left\{ \ln c - r(t^* - t) + \ln x - \ln c + \left( r - \frac{1}{2} v^2 \right)(t^* - t) + -\frac{1}{2} v^2 (t - t^*)\right\} \\
    & = e^{\ln x} = x
    \end{align}
    $$
</span>

<span class="blue">3</span><span class="black">：
    $$
    c \cdot e^{-r (t^* - t)} = c \cdot e^{r (t - t^*)}
    $$
</span>

<span class="blue">4</span><span class="black">：
    $$
    \begin{align}
    \frac{u + 2s}{\sqrt{2s}} &= \frac{\ln \frac{x}{c} + \left( r - \frac{1}{2} v^2 \right)(t^* - t) + v^2 (t^* - t)}{v \sqrt{t^* - t}} \\
    &= \frac{\ln \frac{x}{c} + \left( r + \frac{1}{2} v^2 \right)(t^* - t)}{v \sqrt{t^* - t}}
    \end{align}
    $$
</span>

<span class="blue">5</span><span class="black">：
    $$
    \frac{u}{\sqrt{2s}} = \frac{\ln \frac{x}{c} + \left( r - \frac{1}{2} v^2 \right)(t^* - t)}{v \sqrt{t^* - t}}
    $$
</span>

<span class="blue">6</span><span class="black">：
    $$
    \begin{align}
    & \frac{u + 2s}{\sqrt{2s}} - \frac{u}{\sqrt{2s}} = \sqrt{2s} \\
    & \Rightarrow d_1 - d_2 = v \sqrt{t^* - t} \\
    & \Rightarrow d_2 = d_1 - v \sqrt{t^* - t}
    \end{align}
    $$
</span>
:::

# 4、More Complicated Options

前面我們花了一番功夫找到了歐式買權的價格封閉解，但我們有需要按照相同的步驟來求賣權的價格封閉解嗎？
答案是 NO，我們可以透過<span class="blue">買賣權平價關係 (put-call parity) </span>直接求得賣權價格封閉解。

我們考慮以下兩個避險組合 $P_A$ 和 $P_B$

$$
P_A = w(x, t) + ce^{r(t^*-t)} \quad \quad P_B = u(x, t) + x
$$

其中 $u(x, t)$ 為歐式賣權的價格。

從中可以發現，在到期日時，無論兩個組合如何變化，其支付函數皆為 $x_T - c$。因此，我們就知道 $P_A = P_B$ 必須成立。所以，

$$
\begin{align}
& w(x, t) + ce^{r(t - t^*)} = u(x, t) + x \\
& \Rightarrow x N(d_1) - ce^{r(t -  t^*)} N(d_2) + ce^{r(t - t^*)} = u(x, t) + x \\
& \Rightarrow u(x, t) = -x [1 - N(d_1)] + c [1 - N(d_2)] \\
& \Rightarrow u(x, t) = -x N(-d_1) + ce^{r(t - t^*)} N(-d_2).
\end{align}
$$

如此，我們就可以快速地找到歐式賣權價格的封閉解。

# 7、Empirical Test

實證結果大致有以下現象與結論：

- 實際交易價格 和 歐式買權價格 (8) 存在系統性的偏離。
- 對於低波動性的股票，其偏離(高於)價格的幅度，比高波動性的股票要來得大。
這意味著市場低估了波動度差異對選擇權價值的影響能力。
💡 <span class="pink">用白話文說就是，市場投資人不願意為高風險的股票支付 BS 算出來這麼高的溢酬；同時也不認為低風險的股票如 BS 算出來的如此不值錢。</span>
- 儘管存在系統性的偏離，也不代表這之中存在套利機會 (因為可能會被交易成本覆蓋)。

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:::spoiler <span class="grey">Last updated: Dec 23, 2025 Created: Dec 18, 2025</span>

- Dec 23, 2025：更新圖片連結。
- Dec 19, 2025：完成初版內容。
- Dec 18, 2025：創建筆記。
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