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# System prepended metadata

title: DSP數位訊號處理
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tags: Class
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# DSP數位訊號處理



# 一、 期中考大禮包
## 系統判斷

### 判斷系統是否Stable?
* BIBO
* 總和小於無限大
* z-transform: 包含unit circle。
* 看到h()函數，把h()取sigma看是否有限
* h型：u[]前面要有 (小於1)^n ，才穩定。
* -n公比就會大於1
補充:
![](https://i.imgur.com/JFJkRbH.png)
不確定的話則帶入定義判斷

補充:遞迴函式，公比大於一。(會發散)

### 判斷系統Linear?
* 無互乘
* 無非線性項
* 沒有Bias
* <font color="#b02">有出現max、min都不是線性。</font>

補充:
可以用Superposition(重疊)判斷。
y函式為鋸齒狀函式也沒差，主要是"轉換的關係式"是否為線性。


### 判斷系統Time-invariant?
* 無時間相依係數乘項(不會乘n)
* 無Up/Down sampling -> <font color="#b02">[n]內部之n係數只能為1，既不能為[2n]、[0.5n].....</font>
* <font color="#f00">出現h[]、H{}就是</font>
* 初始條件要是0。

### 判斷系統Causal?
* 不能出現"未來的"時間(n+1)。<font color="#f00">u跟delta不用管。</font>

* h[n]=0，for n<0。(零點之前都是零是因果型;零點前面有東西，就不是因果型。)
* z-transform: |z|> cons(向右)。

### 判斷系統Memory?
* 只有當下的一根 h[n]=c $\times$ δ[n]才是非記憶型。
* h[n] $\neq$ 0 for n $\neq$ 0(例如n+1等等)是記憶型。
* h[n],n要是常數才是記憶。

## 初/終值 位置與大小判斷
* 笨笨解:
Z-inverse transform後再看差分方程式判斷。

* 初/終值定理 速解:[cited by BC Tsai]
![](https://i.imgur.com/cWtj3Pq.jpg)
以H1作為範例:
1. 看ROC，小於找最小，大於找最大。(橘1)
2. 小於向左(所以是"終值")、大於向右(所以是"初值")
3. 找Value → 
分母最小次方是-2次(係數為2)，
分子最小次方為-2次(係數為2)。
口訣: <font color="#f00">Value = (最X分子係數)/(最X分母係數) </font>
= 2/2 = 1
4. 找Position →
分母最小次方是-2次，
分子最小次方為-2次，
口訣:<font color="#f00">Position = 最X分母次方-最X分子次方 </font>
= (-2)-(-2) = 0


## Fourier-Transform



## Z-Transfrom
$x[n] = Re{x[n]}$ $+$ $jImx[n]$
1. Real function of $x[n]$ : $Re$ ${x[n]}$ = $\cfrac{x[n]+x^*[n]}{2}$

2. Imaginary function of $x[n]$ : $Im$ ${x[n]}$ = $\cfrac{x[n]-x^*[n]}{2j}$

3. Even function of $x[n]$: $x_e[n]$ = $\cfrac{x[n]+x^*[-n]}{2}$

4. Odd function of $x[n]$: $x_o[n]$ = $\cfrac{x[n]-x^*[-n]}{2}$


<font color="#f00" size=7>記得ROC!!!</font><br>
<font size=5>定義：</font>
![](https://i.imgur.com/TdLzTh2.png)
<br><br>
範例：
![](https://i.imgur.com/PdzIpW6.png)
1. 用定義組合出“等比級數”
2. u[n]去修改Sigma上下限
3. 把公比直接抓去分母（1-公比），分子直接是公比的第幾次方（直接帶入）。
4. 記得寫“收斂半徑”！
<br>

<font size=5>微分：</font>
![](https://i.imgur.com/1PXjuR8.png)
<br>
* 無腦解：
1. 背下公式
![](https://i.imgur.com/d6Mudm3.png)
2. 把有帶n的x[n]放著，寫一個沒有n的y[n]
3. 用一般z-transform解法
4. z Y[z]/dz &hArr; -ny[n] = -x[n]
範例：
![](https://i.imgur.com/70xxSpU.png)

- Properteis of Z-transform
![](https://i.imgur.com/HqbHn11.png) 
    - $nx[n]$證明:
    　　　　　　　　![](https://i.imgur.com/jIEb4ap.png)
    - $x^*[n]$證明:
　　　　　　　　![](https://i.imgur.com/IK7dVv5.png)



## Z-Inverse Transfrom

1. 部分分式
2. 用ROC帶入分母公比的地方，小於1就除掉公比（翻素肚）調整。