# [線性代數] 矩陣 (Matrix)

[TOC]

 
# 矩陣定義
* 矩陣是由**純量** (scalars) 組合而成的矩形陣列
* 若矩陣含有 $m$ 列 (rows)，$n$ 行 (columns)，則我們說這個矩陣的大小是 *$m×n$*
* 如果 $m=n$，則稱為**方形矩陣**
* 矩陣從左上角數起的第 $i$ 列 (rows)，第 $j$ 行 (columns) 的元素稱為第 $i$ , $j$ 項

$$
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & a_{ij} & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
$$

 
# 矩陣相等 (Equal)
若兩矩陣**大小相同**，每個**對應元素相等**，則我們說這兩個矩陣**相等**。
$$
A = B \Leftrightarrow a_{ij} = b_{ij}
$$

 
# 子矩陣 (Submatrix)
若 $A$ 矩陣刪除其中幾個raw或column，形成一個 $B$ 矩陣，則我們說 $B$ 矩陣是 $A$ 矩陣的**子矩陣**。

$$
B = \begin{bmatrix}
3 & 4 \\
5 & 6 \\
\end{bmatrix}
\quad \text{is a submatrix of}\quad
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \\
\end{bmatrix}
$$

 
# 零矩陣 (Zero matrix)
若矩陣內元素**全部為零**，則我們說這個矩陣為**零矩陣**。
$$
O_{mn} =
\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & o_{mn}
\end{bmatrix}
$$
零矩陣還有以下兩個特性：
* 任何矩陣**加上零矩陣**還是**原本的矩陣**
$$
A + O = A
$$
* 任何矩陣**乘上零矩陣**會變成**零矩陣**
$$
A \cdot O = O
$$

:::warning
:astonished: 若A、B矩陣**大小不同**，雖然乘上零矩陣都會變成O，不過這兩個矩陣**並不相等**，因為**大小不同**。
:::

 
# 基礎矩陣運算

 

## 矩陣相加 (Matrix Addition)
令 $A$、$B$ 兩矩陣大小為 $m \times n$ ，$C$ 矩陣為 $A$、$B$ 相加後矩陣。
$$
C = A+B = a_{ij} + b_{ij}
$$

 
## 矩陣常數相乘 (Scalar multiplication)
令 $A$ 矩陣大小為 $m×n$ ， $c$ 為一純量，$C$ 矩陣為相乘後矩陣。
$$
C = ca_{ij}
$$

 
## 矩陣相減 (Matrix subtraction)
令 $A$、$B$ 兩矩陣大小為 $m×n$ ，將 $B$ 矩陣乘上 $-1$ 後與 $A$ 矩陣相加，即可達到相減的效果。
$$
C = A+(-1)B = a_{ij} - b_{ij}
$$

 
 

## properties of matrix addtion and scalar multiplication
若$A,B,C$為$M \times N$的矩陣，且$s,t$為任意純量，則以下成立:
>* $A + B = B + A$
>* $C+(A+B) = (C+A)+B$
>* $A+O = A$
>* $A+(-A)=O$
>* $s(tA) = (st)A$
>* $s(A+B)=sA +sB$
>* $(s+t)A = sA + tA$

 
 

## *矩陣相乘 (Matrix multiplication)
令 $A$ 矩陣大小為 $m×r$，$B$ 矩陣大小為 $r \times n$ ，則相乘後 $C$ 矩陣大小為 $m×n$。
$$
\underset{m\times r}{A} \quad \cdot \quad \underset{r\times n}{B}
\quad = \quad \underset{m\times n}C
$$

 
### 範例
設 $A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{bmatrix}$ 、 $B =
\begin{bmatrix}
5 & 1 & 3 & 1 \\
7 & 9 & 2 & 4 \\
6 & 7 & 8 & 3 \\
\end{bmatrix}$，那相乘後的矩陣大小就是 $2\times 4$ 。

 
## *矩陣轉置
若有一矩陣$A$，將其轉置後得一轉置矩陣$A^T$。則矩陣$A^T$任一元素$A^T$ $_i\times_j$等同於$A_j\times_i$。

$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix} \quad
A^T =
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
 

## properties of the transpos
>* $(A+B)^T = A^T+B^T$
>* $(sA)^T = sA^T$
>* $(A^T)^T = A$

  

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